Сингулярность напряжений в вершине изотропных и анизотропных конусов
Вид материала | Документы |
- Авторефе ра тдиссертация на соискание ученой степени, 283.2kb.
- Пространственная модуляция интенсивности фотолюминесценции анизотропных кристаллов,, 360.72kb.
- Вестн. Самар. Гос. Техн. Ун-та. Сер. Технические науки. 2010. №4 (27) Машиностроение, 371.42kb.
- Методика №6 Измерение напряжений и токов питающей сети москва, 70.72kb.
- Методика расчёта остаточных напряжений при нарезании резьбы с учётом ультразвуковых, 21.57kb.
- Ведет: С. Л. Гнатченко, 38.19kb.
- Тема Плоские акустические и электромагнитные волны в однородных изотропных средах., 28.93kb.
- Определение параметров волновых процессов в анизотропных оболочках вращения при обтекании, 201.51kb.
- Продольно-поперечные движения изотропных цилиндрических оболочек, имеющих искажения, 27.11kb.
- Хамидов Лутфулла Абдуллаевич количественные модели концентрации напряжений в зонах, 724.19kb.
СИНГУЛЯРНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ В ВЕРШИНЕ ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ КОНУСОВ
Накарякова Т.О., Севодина Н.В.
(г. Пермь, Россия)
На сегодняшний день существуют различные математические подходы к построению решений в окрестности особых точек упругих тел, среди которых наибольшее распространение получили подходы, связанные с именами М.Л. Вильямса и Меллина. Первый подход заключается в отыскании решения определенного вида, удовлетворяющего однородным уравнениям и однородным граничным условиям вблизи особой точки. Второй – использует преобразование Меллина и теорию вычетов. Каждый из этих подходов приводит исходную задачу к трансцендентному (характеристическому) уравнению относительно показателя сингулярности
![](images/359541-nomer-5ac13b8a.gif)
В двумерной постановке характеристики концентрации напряжений в угловых точках линейно-упругих тел, в том числе и для разномодульных соединений, изучены практически исчерпывающе. Анализ сингулярности напряжений в вершине пространственных клиньев продолжает оставаться актуальной проблемой. Среди частично решенных проблем этой серии является задача о характере сингулярности напряжений в вершине правильного изотропного и анизотропного конусов.
![](images/359541-nomer-1f0a8b58.gif)
Рис. 1.
Для решения трехмерных задач о сингулярности напряжений в подавляющем большинстве используются различные варианты численных методов. В работе [1] был изложен метод, позволяющий получить результаты о характере сингулярности напряжений в вершине изотропного конуса с эллиптическим основанием при однородных краевых условиях. Настоящая работа является продолжением этих исследований.
Рассматривается пространственное тело в виде конуса, выполненное из упругого ортотропного материала. Решение будем вести в сферической системе координат
![](images/359541-nomer-2c936bfe.gif)
Для анализа характера сингулярности напряжений строятся собственные решения, совпадающие по виду с асимптотическим представлением решения [2],
![](images/359541-nomer-m26de8814.gif)
![](images/359541-nomer-54101c6.gif)
и удовлетворяющие в рассматриваемой области уравнениям равновесия [3]
![](images/359541-nomer-44e79013.gif)
![](images/359541-nomer-452619cb.gif)
![](images/359541-nomer-994b72c.gif)
и однородным граничным условиям на боковой поверхности конуса, где могут быть заданы либо нулевые перемещения
![](images/359541-nomer-30fb025.gif)
либо нулевые напряжения
![](images/359541-nomer-2938e641.gif)
В случае ортотропного материала со сферической анизотропией связь компонент тензора напряжений и тензора деформаций запишется в виде
![](images/359541-nomer-m3ad10d.gif)
![](images/359541-nomer-m6b0e98f5.gif)
![](images/359541-nomer-650e7f21.gif)
где
![](images/359541-nomer-1a2c0d61.gif)
![](images/359541-nomer-m29d9bc20.gif)
![](images/359541-nomer-18ff559e.gif)
![](images/359541-nomer-17f6543.gif)
![](images/359541-nomer-2b9f3964.gif)
![](images/359541-nomer-m2f3c15e.gif)
![](images/359541-nomer-m241398bb.gif)
Суть метода, изложенного в работе [1], состоит в применении метода Галеркина - записи исходных дифференциальных уравнений (1) в слабой форме, а затем интегрирования их по области
![](images/359541-nomer-34037d85.gif)
- для правильного конуса можно произвести разложение в гармонический ряд Фурье по углу
функций
, что позволяет понизить размерность задачи и свести искомое решение исходной задачи к последовательности не взаимосвязанных краевых задач относительно амплитудных функций ряда Фурье, зависящих от координат ,,
![](images/359541-nomer-m484f4eb0.gif)
2. проводятся тождественные преобразования с целью понижения порядка производных функций решений
![](images/359541-nomer-ccc184a.gif)
![](images/359541-nomer-m7fea1262.gif)
![](images/359541-nomer-5a438127.gif)
![](images/359541-nomer-m6f1a5abf.gif)
![](images/359541-nomer-72ad6854.gif)
![](images/359541-nomer-3ef494bc.gif)
![](images/359541-nomer-m6066de17.gif)
![](images/359541-nomer-m383a4bd0.gif)
![](images/359541-nomer-m5231daf6.gif)
![](images/359541-nomer-m5331c279.gif)
![](images/359541-nomer-4cd14673.gif)
![](images/359541-nomer-m1101f4e6.gif)
![](images/359541-nomer-528df959.gif)
Здесь
![](images/359541-nomer-m40d21b1c.gif)
3. используется метод конечных элементов (МКЭ) [4]. Разложение в гармонический ряд Фурье по углу
![](images/359541-nomer-m2c714700.gif)
![](images/359541-nomer-26c506d1.gif)
4. процедура Галеркина в совокупности с МКЭ приводит поставленную задачу к отысканию собственных значений
![](images/359541-nomer-775b0c29.gif)
Далее приводятся результаты решения ряда задач.
![](images/359541-nomer-m2b89c40.gif)
Рис. 2. Зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора изотропного конуса для различных значений коэффициента Пуассона при однородных граничных условиях в напряжениях
Если материал конуса изотропный, то показатели сингулярности напряжений зависят только коэффициента Пуассона. На рис. 2 приведена зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора правильного конуса для различных значений коэффициента Пуассона при однородных граничных условиях в напряжениях (3).
В качестве примера расчета показателей сингулярности в вершине анизотропного конуса приведем исследования для конуса, выполненного из трансверсально-изотропного материала с поверхностью изотропии, перпендикулярной радиальной координате. В этом случае имеем пять независимых материальных констант
![](images/359541-nomer-m5ecaee49.gif)
![](images/359541-nomer-m5cb441cf.gif)
![](images/359541-nomer-56233d6a.gif)
На рис. 3. приведена зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора правильного конуса для различных значений коэффициента Пуассона
![](images/359541-nomer-6209a1bf.gif)
![](images/359541-nomer-76e7a063.gif)
![](images/359541-nomer-m3f87ea0a.gif)
Рис. 3. Зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора трансверсально-изотропного конуса для различных значений коэффициента Пуассона
![](images/359541-nomer-3ffa2b72.gif)
На рис. 4 приведено влияние отношения модулей упругости
![](images/359541-nomer-m8c1ca78.gif)
![](images/359541-nomer-m6c258489.gif)
![](images/359541-nomer-10c7d38.gif)
![](images/359541-nomer-m6250f989.gif)
Рис. 4. Влияние отношения модулей упругости
![](images/359541-nomer-7c3074f2.gif)
![](images/359541-nomer-1c540fb9.gif)
В отличие от изотропного конуса
![](images/359541-nomer-8f9249d.gif)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-01-00488-а).
Литература
1. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В., Шардаков И.Н. Исследования сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием // Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 3. С. 326 – 329.
2. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. о-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.
3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.М: Наука, 1988. 712с.
4. Strang G., Fix G.J. An Analysis of the Finite Element Method. Englewood, N.J.: Prentice-Hall, 1973 = Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.
5. Muller D.E. A method for solving algebraic equation using an automatic computer//Mathematical Table. 1956. P. 208-215.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736С.
7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука. 1987. 360 с.