Основы алгебры высказываний. Логические операции

Вид материала

Урок

Содержание Формы человеческого мышления Формы человеческого мышления А) форма мышления, которая имеет две основные логические характеристики: содержание и логическую форму. В) форма мышления, которая что-либо утверждает или отрицает о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Б) А- Школьники А) Некоторые S есть Р. Следовательно, у него должна быть повышенная температура Логическое отрицание (инверсия) Аристотель основоположник логики Таблица истинности Мнемоническое правило Логическое умножение (конъюнкция) Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказыва Мнемоническое правило Логическое сложение (дизъюнкция) Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай Данное существительное во множественном или единственном числе Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывани Мнемоническое правило Таблица истинности ... Полное содержание

Подобный материал:

• Сумцова Ольга Владимировна Логические основы построения компьютера Темы игры: Основные, 54.64kb.
• Вопросы по курсу: Математическая логика и теория алгоритмов (2 курс), 30.21kb.
• Лекция Логические основы компьютеров , 369.25kb.
• Контрольная работа. Основы логики. 1 вар. 1) Приведите по два примера сложных истинных, 20.33kb.
• Функции алгебры логики, 47.25kb.
• Календарно-тематический план учебная дисциплина: «Математика», 34.71kb.
• Курсовая работа по информатике на тему: «применение алгебры высказываний в информатике», 221.48kb.
• Законы алгебры логики, 44.21kb.
• Время, требуемое для выполнения проекта 7 недель, 14 часов, 8.75kb.
• Программа курса лекций по математике для учащихся 10-11 «Е» класса гимназии №1 Лектор, 84.04kb.

Урок №1 ¹

Основы алгебры высказываний. Логические операции (урок 1 по теме)

(урок комбинированный, включающий контроль знаний, введение нового материала, закрепление)

Цели урока:

- сформировать у учащихся представление об алгебре высказываний;

- рассмотреть основные логические операции и сформировать первичные навыки их применения;

- рассмотреть связь логических операций и теории множеств (в качестве дополнительного материала);

- проверить основные знания, умения и навыки по теме: Формы человеческого мышления;

- тренировка учащихся в написании тестов;

- развитие внимательности, памяти, логического мышления;

- развитие навыков научной речи

- воспитание навыков самоорганизации, самоконтроля.

Этапы урока

1. Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.
   
2. Проверка домашнего задания. 5 мин.
   
3. Контроль знаний (проведение теста). 7 мин.
   
4. Введение нового материала. 21 мин.
   
5. Первичное закрепление. 7 мин.
   
6. Подведение итогов урока. 1 мин.
   
7. Постановка домашнего задания. 2 мин.
   

Ход урока

Проверяем домашнее задание.

Далее осуществляем контроль знаний по теме Формы человеческого мышления. Проводится он в виде теста, созданного в программе PowerPoint. Учащиеся самостоятельно запускают тест, ответы записывают на листок, который предварительно раздаётся учителем. Тест предлагается в 3 вариантах. Время работы 5-7 минут. Вместе с учителем проверяются результаты. Самостоятельно выставляют оценки.

Образец для 1 варианта.

Вариант 1.
1. В формальной логике понятием называется
А) форма мышления, которая имеет две основные логические характеристики: содержание и логическую форму.	Б) форма мышления, в которой отражаются отличительные существенные признаки предметов или явлений.	В) форма мышления, которая что-либо утверждает или отрицает о предметах, их свойствах или отношениях между ними.
Данная диаграмма Эйлера-Венна иллюстрирует отношения между следующими объёмами понятий:
А) А- Река; В- Океан.	Б) А- Школьники; В- Спортсмены.	В) А- Молочный продукт; В- Сметана.
3. Определите логическую форму высказывания Чайка и дельфин не являются животными.
А) Некоторые S есть Р.	Б) Некоторые S не есть Р.	В) Все S не есть Р.
4. Выберите неправильную логическую форму умозаключения:
А) Все S есть Р1. А есть Р1. А есть S.	Б) Все S есть Р1. А есть S. А есть Р1.	В) Все есть Р1. Все Р1 есть Р2. Все S есть Р2.
Составьте логическую форму умозаключения: Если у человека повышена температура, то он болен. Этот человек болен. Следовательно, у него должна быть повышенная температура. Является ли она правильной? (Да/Нет).
А) Все S есть Р. А есть S. А есть Р.	Б) Если S есть Р1, то S есть Р2. А есть Р1. А есть Р2.	В) Если S есть Р1, то S есть Р2. А есть Р2. А есть Р1.

Листок для ответов может выглядеть следующим образом:

Вариант 1
Фамилия			Класс
	1	2	3	4	5
А
Б
В

Далее вводим новый материал.

§2. Алгебра логики. Логические операции

Алгебра логики (алгебра высказываний)- раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Таким образом, объектами изучения алгебры логика являются высказывания.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:

Если высказывание А истинное, будем писать «А=1», иначе высказывание ложное и будем писать «А=0».

Рассмотрим примеры:

1. А= {Солнце светит для всех} = 1- истинное высказывание.
   
2. В={Все ученики любят информатику} = 0 – ложное высказывание.
   
3. D ={А ты любишь информатику? } – не высказывание.
   
4. Е= {Посмотри в окно }– не высказывание.
   
5. C= {x*x<0}= 0 – ложное высказывание, так как для всех х данное неравенство будет неотрицательным.
   
6. K= {2*х-5>0} – не высказывание, так как для одних значений х это выражение будет верным, а для других нет.
   

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому, как в алгебре чисел определены операции сложения, умножения, деления, возведения в степень над числами). При помощи логических операций над простыми высказываниями получаются составные или сложные высказывания. На естественном языке составные высказывания образуются с помощью союзов.


Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Рассмотрим основные логические операции.

Логическое отрицание (инверсия)

Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» или использования оборота речи «неверно, что…».

Обозначения: ¬А; Ā.

Пример.

А= { Аристотель основоположник логики.}

Ā= {Неверно, что Аристотель основоположник логики.}

Таблица истинности		Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
А	Ā
0	1
1	0

Мнемоническое правило: слово «инверсия» означает, что белое меняется на чёрное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.

Примечания:

1. Логики при образовании инверсии предпочитают иметь дело с оборотом речи «неверно, что», поскольку тем самым подчёркивают отрицание всего высказывания.
   
2. 
   

Логическое умножение (конъюнкция)

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначения: А·В; АВ; А&В.

Пример.

А= {3+4=8}.

В= {2+2=4}.

А&В={3+4=8 и 2+2=4}

Таблица истинности	Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
А В А·В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Обращаем внимание на то, что в таблице истинности значения входящих высказываний пишутся по возрастанию.

Мнемоническое правило: конъюнкция – это логическое умножение, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0·0=0; 0·1=0; 1·0=0; 1·1=1, верные для обычного умножения, верны и для операции конъюнкции.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать приём пищи с просмотром телепередач.)

В высказывании Данное существительное во множественном или единственном числе союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция называется строгой дизъюнкцией.

Определите самостоятельно вид дизъюнкции:

Высказывание	Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона.	Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу.	Нестрогая
Ты выйдешь замуж или за Петю, или за Сашу.	Строгая
Ты женишься на Вале или на Свете	Строгая
Завтра дождь будет или не будет.	Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать.	Нестрогая
Учителя бывают или строгие , или не наши.	Нестрогая

Далее будем рассматривать только нестрогую дизъюнкцию.

Обозначение: АВ.

Таблица истинности	Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
А В АВ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Мнемоническое правило: дизъюнкция – это логическое сложение и легко заметить, что равенства 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 11=1.


Логическое следование (импликация)

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если….., то…..».

Обозначения: А→В, АВ.

Пример. А={2·2=4} и В={3·3=10}.

АВ={Если 2·2=4, то 3·3=10 }

Таблица истинности	Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
А В АВ 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Логическое равенство (эквивалентность)

Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «….тогда и только тогда, когда…».

Обозначение эквивалентности: А=В; АВ; А~В.

Пример:

А={Угол прямой}; В={Угол равен 90⁰}

АВ={Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90⁰}

Таблица истинности	Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
А В АВ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Приоритет операций:

1. инверсия;
   
2. конъюнкция;
   
3. дизъюнкция;
   
4. импликация и эквивалентность.
   

Для закрепления материала выполняются следующие задания:

1. Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные логические союзы (связки), с помощью которых в естественном языке строятся сложные высказывания. Заполните правую колонку таблицы соответствующими названиями логических операций.
В естественном языке	В логике
…….и…….	*конъюнкция
……или……	*дизъюнкция
…..Неверно, что…..	*инверсия
…..в том и только в том случае….	эквивалентность
……но…..	конъюнкция
…..а…..	конъюнкция
Если…., то…..	*импликация
……однако….	конъюнкция
….тогда и только тогда, когда….	эквивалентность
Либо….либо…	*строгая дизъюнкция
….необходимо и достаточно….	*эквивалентность
Из ………следует….	*импликация
……влечёт….	импликация
……равносильно….	эквивалентность
*- выполняется дома.
2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний: А) { Неверно, что город Нью-Йорк является столицей США}; Б) {Коля решил все 6 заданий контрольный работы}; В) {Неверно, что число 3 не является делителем числа 198}.
Найдите значения выражений: А) ((10)1)1; Б) ((10)& (1&1))& (01); В) ((0&0)0)& (11).
Даны два высказывания: А={Число 5- простое}, В={Луна- спутник Венеры}. Очевидно, что А=1, В=0. В чём заключаются следующие высказывания: А) ; Б) А&В; В) АВ; Г) А; Д) В. Какие из этих высказываний истинны?

Подведение итогов урока

- Мы рассмотрели основные логические операции:

• инверсию (логическое отрицание);
  
• конъюнкцию (логическое сложение);
  
• дизъюнкцию (логическое умножение);
  
• импликацию (логическое следование) и эквивалентность (логическое равенство).
  

- Именно в таком порядке реализуется приоритет логических операций.

Постановка домашнего задания

1. Прочитать §3.2. [1].
   
2. Выучить конспект урока (логические операции: название, обозначение, таблицу истинности, правило).
   
3. Выполнить до конца задание 1 из классной работы.
   
4. Выполнить упражнения с карточки в тетради. Листочек с классной работой вклеить в тетрадь, карточку принести.
   

Все пункты заданий на карточке учитель должен прокомментировать.

Карточка для домашней работы:

Даны два простых высказывания: А={2·2=4}, В={4·4=15}. Составьте следующие сложные высказывания. Какие из них истинны? А) ; Б) А& В; В) АВ; Г) ; Д) АВ.

Найдите значения выражения: А) (11)(10); Б) (0 & 1)& 1; В) ((1& 0) (0&1)) 1; Г) ((1&1)0)·& (01).

*3. Даны простые высказывания: А={Принтер- устройство ввода информации}, В={Процессор- устройство обработки информации}, С= {Монитор- устройство хранения информации}, D={Клавиатура- устройство ввода информации}. Определите истинность составных высказываний: А) (А&В)&(СD); Б) (А& В)(В& С); В) (АВ)(С& D); Г) .

Дополнительное задание. Дано составное высказывание не (неА и В), где А и В – простые высказывания. В каком случае данное высказывание будет ложным?

*Задание на «5».