Лекции по математике выпуск 40

Вид материала

Лекции

Содержание А в виде суммы 17 где каждый из коэффициентов 6 31 § 12. несколько слов о вычислительных машинах «предпочитает» двоичную систему О (начало отсчета), положительное на­правление (вправо) и единицу масштаба — отрезок О А А — единицу. Отложив от точки О Ь\ номер того частичного отрезка, на котором находится точка х. ОА, разделим его на три рав­ные части и выбросим среднюю часть (считая, что сами точки деления относятся к этой средней части, т ОА\ И все же описанный выше процесс оставляет на от­резке невыброшенными, кроме точек О Системы счисления Популярные лекции по математике

Подобный материал:

• План лекции: Предмет теории и методики обучения математике. Задачи школьного курса, 521.87kb.
• Начало лекций по математике в 11-00, по физике в 12-45, продолжительность каждой лекции, 33.53kb.
• Программа по математике Лекции по математике, 200.83kb.
• Программа по математике, 361.56kb.
• Критерии оценки качества лекции, 33.79kb.
• Научная программа включает презентации, лекции, круглые столы, выпуск сборника статей, 31.02kb.
• Список научных статей и тезисов конференций преподавателей университета «Дубна» филиал, 348.59kb.
• Квн по математике в начальных классах, 71.67kb.
• План проведения предметной недели по математике 1 день, 14.4kb.
• Справочник работ и профессий рабочих Выпуск 50 Раздел "Добыча и переработка рыбы, 1756.24kb.

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 40

С. В. ФОМИН

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

издание пятое

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ .ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1987

ББК 22.131

Ф76 УДК 511.2(021]

Фомин С. В.

Ф76 Системы счисления. — 5-е изд. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 48 с.—(Попул. лекции по мат.)

5 коп. 127 000 экз.

В брошюре рассказывается об истории возникновения, свойствах и применении различных систем счисления: десятичной, двоичной и некоторых других. В связи с двоичной системой счисления да­ются элементарные сведения о вычислительных машинах.

4-е изд. — 1980 г.

Для учащихся старших классов средней школы.

© Издательство «Наука». Главная редакция-физико-математической литературы. 1980

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 4

§ 1. О круглых и некруглых числах 5

§ 2. Происхождение десятичной системы счисления 7

§ 3. Другие системы счисления и их происхождение .... 8

§ 4. Позиционные и непозиционные системы 11

§ 5. Арифметические действия в различных системах счисления 12

§ 6. Перевод чисел из одной системы в другую 15

§ 7. О признаках делимости 19

§ 8. Двоичная система 21

§ 9. Игра «ним» (игра в три кучки спичек) 25

§ 10. Двоичный код в телеграфии 27

§ 11. Двоичная система — хранительница тайн 29

§ 12. Несколько слов о вычислительных машинах 32

§ 13. Почему электронная машина «предпочитает» двоичную систему счисления 34

§ 14. Об одном замечательном свойстве троичной системы ... 37

§ 15. О бесконечных дробях . 40

ПРЕДИСЛОВИЕ

Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всем земном шаре, алфавитом служат десять цифр, от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не вез­де люди пользовались десятичной системой. С точки зре­ния чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.

В последнее время с десятичной системой серьезно конкурируют двоичная и отчасти троичная система, ко­торыми «предпочитают пользоваться» современные вы­числительные машины.

О свойствах, истории возникновения и применении различных систем счисления будет рассказано в этой книжке. Ее чтение не требует математических познаний, выходящих за пределы школьной программы.

Во втором издании добавлены два новых параграфа (§§ 9 и 11) и сделаны некоторые мелкие исправления. Пятое издание печатается без изменений.

§ 1. О КРУГЛЫХ И НЕКРУГЛЫХ ЧИСЛАХ

«Из подъезда вышел человек лет около 49; пройдя по улице метров 196, он зашел в магазин, купил там две семерки яиц и пошел дальше...». Не правда ли, такое описание звучит несколько странно? Когда мы оцениваем какую-то величину — возраст человека, расстояние и т. п. — приблизительно, то мы всегда пользуемся круглыми числами и говорим обычно «метров 200», «человек лет 50» и т. п. С круглыми числами проще оперировать, чем с некруглыми, их легче запомнить, с ними удобней производить арифметические действия. Например, ни для кого не составит труда умножить в уме 100 на 200, если же нужно перемножить два некруглых трехзначных чис­ла, скажем 147 и 343, то далеко не всякий сделает это без карандаша и бумаги.

Говоря о круглых числах, мы обычно не отдаем себе отчета в том, что деление чисел на круглые и некруглые, по существу, условно и что одно и то же число может быть круглым или некруглым в зависимости от того, какой системой записи чисел или, как обычно говорят, какой системой счисления мы пользуемся. Чтобы разобраться в этом вопросе, посмотрим прежде всего, что представляет собой наша обычная десятичная система счисления, которой мы все пользуемся. В этой системе каждое целое положительное число представляется 9 виде суммы единиц, десятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно. Например, запись

•2548

означает, что рассматриваемое число содержит 8 единиц, 4 десятка, 5 сотен и 2 тысячи, т. в. 2548—это сокращенное

обозначение выражения

2- 10³+5- Ю² + 4-10 + 8- 10°.

Однако можно было бы с таким же успехом предста­вить каждое число в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого целого числа (кроме 1), на­пример числа 7. В этой системе, называемой «семерич­ной системой счисления» или «системой счисления с основанием 7», мы вели бы счет от 0 до 6 обычным обра­зом, а число 7 приняли бы за единицу следующего раз­ряда. Его естественно обозначить в нашей новой семеричной системе символом

10

(единица второго разряда). Чтобы не путать это обозна­чение с десятичным числом 10, припишем к нему зна­чок 7, т. е. окончательно вместо 7 будем писать

(Ю)₇.

Единицами следующих разрядов должны служить числа 7², 7³ и т. д. Их естественно обозначить

(100)₇, (ЮООЬ и т. д.

Любое целое число можно скомбинировать из степе­ней числа 7, т. е. представить в виде

где каждый из коэффициентов ао,а\, ..., a_k может при­нимать любое целое значение от 0 до 6. Как и в случае десятичной системы, естественно опускать при записи чисел в системе с основанием 7 сами степени этого осно­вания и писать это число в виде

отметив опять-таки значком ? тот факт, что в основу системы счисления, которой мы пользуемся, положено именно число 7.

Рассмотрим пример. Десятичное число 2548 можно представить в виде

Г- 7⁴ + 0 • 7³ + 3 • 7² + 0 • 7 + О, т. е., в принятых нами обозначениях, в виде

(10300)7.

Таким образом,

(2548)₁₀ = (10300)₇.

Обратим внимание на то, что при пользовании этой но­вой «семеричной» системой записи круглыми будут со­всем не те числа, которые были круглыми в десятичной системе. Например,

(147)_ш = (300)₇₎ (343)_ш = (1000)₇

(так как 147 = 3-7² и 343 = 7³); в то же время (100)₁₀ = (202)₇₎ (500),„ = (1313)_г

и т. д. Поэтому в семеричной системе умножить в уме (147)₁₀ на (343) ю проще, чем (100)ю на (200) ю-Если бы мы пользовались семеричной системой, то, несомненно, возраст 49 лет (а не 50) воспринимался бы как «круглая дата» и отмечался бы как юбилей, мы говорили бы «метров 98» или «метров 196», прикидывая расстояние на глаз (поскольку (98)ю = (200)₇ и (196)₁₀ = (400)₇ — круглые числа в семеричной системе), считали бы пред­меты семерками, а не десятками и т. д. Короче говоря, если бы семеричная система была общепринятой, то та фраза, с которой мы начали изложение, никого бы не удивила.

Однако на самом деле семеричная система не имеет сколько-нибудь широкого распространения и никак не может конкурировать с повсеместно распространенной десятичной системой. В чем же причина этого?

§ 2. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Почему именно числу 10 отведена такая привилеги­рованная роль? Человек, далекий от этих вопросов, от­ветил бы, вероятно, не задумываясь, так: дело просто в том, что число 10—круглое, на него удобно умножат любое число, поэтому удобно считать десятками, сотнями и т. д. Мы, однако, уже выяснили, что дело обстоит как раз наоборот: число 10 потому и круглое, что оно при­нято за основание системы счисления. При переходе к

1

какой-либо иной системе счисления, скажем семеричной (где оно записывается в виде (13);), его «круглость» немедленно исчезнет.

Причины, по которым именно десятичная система оказалась общепринятой, совсем не математического ха­рактера. Десять пальцев рук — вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начи­ная с доисторических времен. По пальцам удобно счи­тать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т. е. ис­пользовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т. д. Таким образом, именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющимся.

мер, что сервиз бывает, как правило, на 12 или на 6 че­ловек и значительно реже на 10 или на 5.) Сейчас уже крайне редко встречается слово «гросс», означающее «дюжину дюжин» (т. е. единицу третьего разряда в две-надцатеричной системе), но еще несколько десятков лет тому назад оно было довольно широко распространено, особенно в торговом мире. Дюжина гроссов называлась «масса», однако сейчас такое значение слова «масса» мало кому известно*).

Несомненные остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан — в системе мер (напри* мер, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шил­линг = 12 пенсам).

Заметим, что с математической точки зрения двенад-цатеричная система имела бы, пожалуй, некоторые пре­имущества перед десятичной, поскольку число 12 делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 только на 2 и 5, а боль­ший запас делителей, у числа, служащего основанием си­стемы счисления, создает известные удобства в ее ис­пользовании. К этому вопросу мы еще вернемся в § 7, в связи с признаками делимости.

В древнем Вавилоне, культура которого, в том числе и математическая, была довольно высока, существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Мнения ис­ториков по поводу того, как именно возникла такая си­стема, расходятся. Одна из гипотез, впрочем не особенно достоверная, состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых пользовалось шестерич­ной системой, а другое — десятичной. Шестидесятерич­ная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что ва­вилоняне считали продолжительность года равной 360 сут­кам, что, естественно, связывалось с числом 60. Однако это предположение тоже нельзя считать достаточно об­основанным: астрономические познания древних вавило­нян были довольно значительны, поэтому следует думать, что погрешность, с которой они определяли продол­жительность года, была значительно меньше, чем 5 су­ток. Несмотря на то, что происхождение шестидесяте-ричной системы остается неясным, самый факт ее

*) Хотя, возможно, именно в нем лежит корень таких употреби­тельных выражений, как «масса дел», «масса людей» и т. п. (ср. с выражениями «тысяча дел» и т. д.).

2 Зак. 336 9

существования и широкого распространения в Вавилон­ском государстве достаточно хорошо установлен. Эта си­стема, как и двенадцатеричная, в какой-то степени сохра­нилась и до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты — на 60 секунд и в аналогичной си­стеме измерения углов: градус = 60 минутам, 1 мину­та = 60 секундам). В целом, однако, эта система, тре­бующая шестидесяти различных «цифр», довольно гро­моздка и менее удобна, чем десятичная.

По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распростра­нена пятеричная система счисления. Связь этой си­стемы со строением человеческой руки — первоначаль­ной «счетной машины» — достаточно очевидна.

У ацтеков и майя — народов, населявших в течение многих столетий обширные области американского кон­тинента и создавших там высокую культуру, почти пол­ностью уничтоженную испанскими завоевателями в 16—• 17 вв., — была принята двадцатеричная система. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, на­селявших Западную Европу, начиная со второго тысяче­летия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы кельтов сохранились в современном француз­ском языке: например, «восемьдесят» по-французски бу­дет quatre-vingts, т. е. буквально «четырежды двадцать». Число 20 встречается и во французской денежной систе­ме: основная денежная единица — франк —делится на 20 су.

Из четырех перечисленных выше систем счисления (двенадцатеричной, пятеричной, шестидесятеричной и двадцатеричной), сыгравших наряду с десятичной замет­ную роль в развитии человеческой культуры, все, кроме шестидесятеричной, источники которой неясны, связаны с тем или иным способом счета по пальцам рук (или и рук, и ног), т. е. имеют, подобно десятичной системе, не­сомненное «анатомическое» происхождение.

Как показывают приведенные выше примеры (их число можно было бы значительно увеличить), много­численные следы этих систем счисления сохранились до наших дней и в языках многих народов, и в принятых денежных системах, и в системах мер. Однако для за­писи чисел и для выполнения тех или иных вычислений мы всегда пользуемся десятичной системой.

10

§ 4. ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Все те системы счисления, о которых мы говорили выше, строятся по одному общему принципу. Выбирает­ся некоторое число р — основание системы счисления, и каждое число N представляется в виде комбинации его степеней с коэффициентами, принимающими значения от О до р— 1, т. е. в виде

ak-P* + a_k-fP^k-^l+ ••- + a_t-_P + a_u. Далее такое число сокращенно записывается в виде

В этой записи значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает. Например, в числе 222 двойка участвует три раза. Но самая правая из них означает две единицы, вторая справа — два десятка,т.е. двадцать, а третья — две сотни. (Здесь мы имеем в виду десятичную систему. Если бы мы пользовались какой-либо другой системой счисления, скажем с основанием р, то эти три двойки означали бы соответственно величины 2, 2р и 2р².) Системы счисления, построенные, таким об­разом, называются позиционными.

Существуют и другие — непозиционные систе­мы счисления, построенные на иных принципах. Обще­известный пример такой системы — так называемые рим-¹ ские цифры. В этой системе имеется некоторый набор основных символов, а именно единица I, пять V, десять X. пятьдесят L, сто С и т. д., и каждое число представ­ляется как комбинация этих символов. Например, число 88 в этой системе запишется так:

LXXXVIII.

В этой системе смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Так, в приведенной выше записи числа 88 цифра X, участвуя три раза, каждый раз означает одну и ту же величину — десять единиц.

2* 11

Римские цифры мы часто встречаем и сейчас, напри­мер на циферблатах часов, однако в математической практике они не применяются. Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие чис­ла с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем — это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах. (Попробуйте для сравнения, например, перемножить два трехзначных числа, записав их римскими цифрами.)

Дальше мы будем говорить только о позиционных системах счисления.

§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Для чисел, записанных в десятичной системе, мы пользуемся правилами сложения и умножения чисел «столбиком», деления — «углом». Эти же правила пол­ностью применимы и для чисел, записанных в любой другой позиционной системе.

Рассмотрим сложение. Как в десятичной, так и в лю­бой другой системе мы складываем сначала единицы, за­тем переходим к следующему разряду и т. д. до тех пор, пока не дойдем до самого старшего из имеющихся раз­рядов. При этом необходимо помнить, что всякий раз, когда при сложении в предыдущем разряде получается сумма, большая чем основание той системы счисления, в которой ведется запись, или равная ему, надо сделать перенос в следующий разряд. Например,

1) , (23651),

⁺ (17043)₈

(42714)₈

2) (423)₆
+ (1341)_в

(521),

(3125)₆

Перейдем теперь к умножению. Для определенности выберем какую-нибудь конкретную систему, скажем ше

12

стеричную. Основой для перемножения любых чисел служит таблица умножения, определяющая произведе­ния чисел, меньших, чем основание системы счисления. Нетрудно убедиться в том, что для шестеричной системы таблица умножения выглядит так:

	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1 1 2		3	4	5
2	0	2 1 4		10	12	14
3	0	3	10	13	20	23
4	0	4	12	20	24	32
5	0	5	14	23	32	41

Здесь в каждой клетке стоит произведение чисел, пред­ставляющих собой номера строки и столбца, на пересе­чении которых стоит эта клетка, причем все числа запи­саны здесь в шестеричной системе (указывающий на это значок мы здесь опустили, чтобы не загромождать таб­лицу).

Пользуясь этой таблицей, легко перемножить «стол­биком» числа, содержащие любое количество разрядов. Например,

X

(352)₆ (245)₆

Вот ее решение:

(120101)₃|(102)з ¹⁰²)з

(1П)з (102)₃

(201)₃ (Ю2)з

(22),

'[(Запишите делимое, делитель, частное и остаток в деся­тичной системе и проверьте правильность результата.) Задача 1. На доске сохранилась полустертая за­пись

23 — 5 — ⁺ 1 - 6 42

42423

Выяснить, в какой системе счисления написаны слагае­мые и сумма?

Ответ. В семеричной.

Задача 2. Один школьный учитель на наш вопрос, много ли у него в классе учеников, ответил: «У меня в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки». Сначала его ответ нас удивил, но потом мы поняли, что просто учитель пользовался не десятичной системой. Ка­кую систему имел в виду учитель?

Решение этой задачи не сложно. Пусть х — основа­ние той системы счисления, о которой идет речь. Тогда" слова учителя означают следующее: у него х² учеников, из них 2л;+ 4 мальчика и 3.x+ 2 девочки. Таким обра­зом,

или

х² — 5х — 6 = О,
откуда

'' — 5 ± Л/25 + 24 5±7

^х 2 2 *

т. е.

Л| ⁼⁼⁼ О| J&2 " «

Так как —1 не может быть основанием системы счисле­ния, то х = 6. Итак, ответ учителя был дан в шесте-

14

ричной системе; при этом у него было тридцать шесть учеников., из них шестнадцать мальчиков и двадцать девочек.