Тема: «Нелинейные электрические цепи в режиме постоянного тока»
Вид материала | Литература |
- Законы Ома и Кирхгофа для линейных цепей постоянного тока, 71.88kb.
- Учебник является единым комплексом программ, который, 38.85kb.
- Программа вступительных испытаний в магистратуру гоу впо пгути в 2011 г. Направление:, 37.23kb.
- Календарный план учебных занятий по дисциплине «Радиоэлектроника», нр-301 Недели, 44.89kb.
- Программа вступительных экзаменов в магистратуру по специальности 6М071800 «Электроэнергетика», 590.06kb.
- Электрические цепи постоянного тока, 1039.6kb.
- Электрические цепи постоянного тока, 344.69kb.
- Электрические цепи постоянного тока, 86.63kb.
- Программа курса лекций, 64.32kb.
- Нелинейные цепи. Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один, 148.7kb.
Академия России
Кафедра Физики
Тема: «Нелинейные электрические цепи в режиме постоянного тока»
Орел-2009
Содержание
Нелинейные резистивные (безинерционные) двухполюсные и четырехполюсные элементы
Анализ нелинейных цепей с двухполюсными элементами
Графоаналитические методы анализа нелинейных цепей
Анализ цепей с четырехполюсными нелинейными элементами
Заключение
Литература
Нелинейные резистивные (безинерционные) двухполюсные и четырехполюсные элементы
Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от значений токов и напряжений, называется нелинейным элементом (НЭ). Цепь, схема замещения которой не содержит реактивных элементов, называется безинерционной или резистивной. Термин “безинерционный” обусловлен тем, что в данных цепях переходный процесс заканчивается мгновенно.
При описании любого нового элемента электрической цепи устанавливается функциональная зависимость между напряжениями и токами на его зажимах, т.е. необходимо получит математическую модель элемента. Свойства нелинейных двухполюсных резистивных элементов описываются своей вольтамперной характеристикой (ВАХ), которую можно представить в виде
![](images/307463-nomer-304dfcef.gif)
Для НЭ эта функция является нелинейной, например
![](images/307463-nomer-m48d8edca.gif)
или
![](images/307463-nomer-4a615c1f.gif)
Нелинейный четырехполюсник, как и линейный, описывается двумя уравнениями, которые связывают напряжения и токи на его входе и выходе. При анализе транзисторов часто используется следующая система уравнений:
![](images/307463-nomer-m232b9bda.gif)
Г
![](images/307463-nomer-6ff43855.gif)
рафическое изображение уравнений для транзистора (входная и выходная характеристики) в схеме с общим эмиттером показано на рис. 1.1.
Рис. 1.1.
Для резистивных НЭ важным параметром является их сопротивление, которое зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и динамическое. Статическое сопротивление
![](images/307463-nomer-12f148c4.gif)
![](images/307463-nomer-m10cbb652.gif)
Это сопротивление постоянному току, оно характеризуется тангенсом угла наклона прямой, проходящей через рабочую точку А и начало координат.
Под действием напряжения малой амплитуды:
![](images/307463-nomer-m1f7a8094.gif)
ток повторит по форме напряжение:
![](images/307463-nomer-14f8b885.gif)
переменное напряжение
![](images/307463-nomer-2104eccc.gif)
![](images/307463-nomer-m55cf2593.gif)
Для определения динамического (дифференциального) сопротивления
![](images/307463-nomer-75eee7a1.gif)
![](images/307463-nomer-72d8fb5c.gif)
![](images/307463-nomer-44fba18a.gif)
![](images/307463-nomer-2d985c76.gif)
Это сопротивление представляет собой сопротивление НЭ переменному току малой амплитуды.
Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде:
![](images/307463-nomer-m70959fe6.gif)
Различают нелинейные элементы с монотонной и немонотонной ВАХ. Нелинейные элементы с немонотонной ВАХ имеет падающие участки и называется НЭ с отрицательным сопротивлением. Типичным НЭ с немонотонной ВАХ является тунельный диод (рис. 1.2)
Р
![](images/307463-nomer-48ce8b4e.gif)
ис. 1.2.
В заключение отметим, что в теории нелинейных цепей не изучаются устройства НЭ, а используются внешние характеристики (модели) подобно тому, как при изучении теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов, конденсаторов и катушек и пользуются только их математическими моделями с параметрами
![](images/307463-nomer-4a0a2f49.gif)
![](images/307463-nomer-mea001cd.gif)
Анализ нелинейных цепей с двухполюсными элементами
Составление уравнений состояния цепи на основании законов Кирхгофа.
По первому закону Кирхгофа записываются уравнения вида:
![](images/307463-nomer-23011979.gif)
где m – число ветвей, сходящихся в узле.
По второму закону Кирхгофа записываются уравнения вида:
![](images/307463-nomer-59a9ab7e.gif)
где n – число ветвей, входящих в контур.
Если цепь содержит, кроме линейных, также НЭ, то в системе уравнений, описывающей состояние цепи появятся уравнения вида
![](images/307463-nomer-m6b8a06e4.gif)
Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 1.3. Пусть ВАХ нелинейного элемента определена выражением:
![](images/307463-nomer-5c73c808.gif)
Р
![](images/307463-nomer-2a64dad.gif)
ис. 1.3.
Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур и один независимый узел. Уравнения, записанные по законам Кирхгофа, имеют следующий вид:
![](images/307463-nomer-3b4c83ac.gif)
К этим уравнениям дописываем уравнение
![](images/307463-nomer-62d33ead.gif)
![](images/307463-nomer-537a1cc.gif)
![](images/307463-nomer-2672fbb1.gif)
![](images/307463-nomer-m2d188eae.gif)
Составление уравнений состояния цепи методом узловых напряжений.
Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 1.4. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выражениями
![](images/307463-nomer-m1121d03e.gif)
![](images/307463-nomer-4ed5e76f.gif)
![](images/307463-nomer-m11b68fc.gif)
Рис. 1.4.
Приняв узел 2 за базисный, имеем три независимых узла, но уравнения будем составлять для 1 и 4 узлов. Узловое напряжение
![](images/307463-nomer-m47ec9138.gif)
![](images/307463-nomer-m5d5ce6ce.gif)
![](images/307463-nomer-223118fe.gif)
Составим уравнения для узлов 1 и 4 по первому закону Кирхгофа:
![](images/307463-nomer-10b21b1b.gif)
Подставив в эти уравнения значения токов, получим:
![](images/307463-nomer-7fa2c1b9.gif)
Уравнения узловых напряжений получены в виде системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными узловыми напряжениями.
Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона-Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.
Графоаналитические методы анализа нелинейных цепей
Сущность графоаналитических методов состоит в том, что путем подстановки систему уравнений сводят к системе, состоящей из двух уравнений от двух неизвестных. Потом эти уравнения изображают на графике. Точка пересечения графиков даст искомое решение.
Данные методы используются также в случаях, когда ВАХ нелинейного элемента задана графически и получить аналитическое выражение для нее затруднено (ВАХ описывается сложной функцией).
Для демонстрации графоаналитического метода решим следующую систему уравнений для схемы на рисунке 1.3:
![](images/307463-nomer-14ad65b9.gif)
![](images/307463-nomer-70f5b6ba.gif)
Из второго уравнения выразим ток
![](images/307463-nomer-3453bb91.gif)
![](images/307463-nomer-m7e723363.gif)
Решим уравнение относительно тока в НЭ:
![](images/307463-nomer-7c0e858c.gif)
Это уравнение прямой
![](images/307463-nomer-m6f2dfb8.gif)
![](images/307463-nomer-mfd34230.gif)
![](images/307463-nomer-m1c3439d1.gif)
Точка пересечения ВАХ нелинейного элемента
![](images/307463-nomer-62d33ead.gif)
Метод эквивалентного генератора
Если цепь содержит один НЭ, то применяют метод эквивалентного генератора. При этом линейная цепь относительно зажимов НЭ заменяется эквивалентным генератором напряжения или тока (рис. 1.5).
![](images/307463-nomer-m6c0c414d.gif)
![](images/307463-nomer-7150fa88.gif)
(a) (б) (в)
Рис. 1.5.
Ток в НЭ и напряжение на нем находится из системы, состоящей всего из двух уравнений. Так, применяя второй закон Кирхгофа к схеме рис. 1.5, б получаем:
![](images/307463-nomer-m34f06a51.gif)
Дописывая к данному равенству уравнение НЭ
![](images/307463-nomer-m6bb2f0eb.gif)
![](images/307463-nomer-6876cf0f.gif)
и график ВАХ
![](images/307463-nomer-m12883baf.gif)
![](images/307463-nomer-m3ae77a57.gif)
![](images/307463-nomer-m296c3e20.gif)
Эквивалентное преобразование схем с нелинейными элементами
Суть эквивалентных преобразований состоит в замене участков цепи с параллельным или последовательным соединением ветвей одной эквивалентной ветвью путем суммирования их токов или напряжений по заданным характеристикам ветвей цепи.
Пусть два НЭ с уравнениями (ВАХ)
![](images/307463-nomer-m1dda99f8.gif)
![](images/307463-nomer-32935b7c.gif)
Необходимо найти уравнение НЭ, эквивалентного данному соединению элементов. Так как элементы соединены параллельно, то
![](images/307463-nomer-134b10f2.gif)
![](images/307463-nomer-17edba3c.gif)
![](images/307463-nomer-m3304efc.gif)
Рис. 1.6. Рис. 1.7.
Задаемся значением напряжения. При этом значении напряжения находим токи НЭ и суммируем их. Задаемся новым значением напряжения и опять суммируем токи. Таким образом, находим серию точек, соединяя которые, получаем ВАХ эквивалентного НЭ.
Рассмотрим последовательное соединение НЭ (рис. 1.8).
![](images/307463-nomer-m6aab109e.gif)
Рис. 1.8. Рис. 1.9.
В данном случае
![](images/307463-nomer-m38a5b21f.gif)
![](images/307463-nomer-26fa7e8.gif)
Поочередное применение правил эквивалентного преобразования участков с последовательным и параллельным соединением элементов позволяет постепенно "свертывать" участки цепей со смешанным соединением линейных и нелинейных сопротивлений с монотонными ВАХ.
Цепи, состоящие из линейных и нелинейных сопротивлений, можно использовать для стабилизации напряжения.
Отношение относительного приращения напряжения на входе таких цепей к относительному приращению выходного напряжения называется коэффициентом стабилизации.
![](images/307463-nomer-ae35b0d.gif)
Следует подчеркнуть, что эффект стабилизации напряжения в принципе не может иметь места в цепях, составленных из элементов с линейными ВАХ.
Вопрос к аудитории: Может ли иметь место стабилизация в линейных цепях?
Анализ цепей с четырехполюсными нелинейными элементами
Рассмотрим анализ резистивных цепей, если в их состав входят нелинейные четырехполюсники, которые описываются нелинейными уравнениями. На рис. 1.10 показана схема включения нелинейного четырехполюсника, а на рис. 1.11 – семейство его входных (а) и выходных (б) ВАХ.
![](images/307463-nomer-m34cde8f6.gif)
Рис. 1.10.
![](images/307463-nomer-m7b59d5b8.gif)
Рис. 1.11.
По второму закону Кирхгофа для входной и выходной цепей схемы 1.10 можно записать:
![](images/307463-nomer-m7e21dc44.gif)
![](images/307463-nomer-m6aa139a7.gif)
Решая эти уравнения относительно токов
![](images/307463-nomer-m2515457d.gif)
![](images/307463-nomer-m236945aa.gif)
![](images/307463-nomer-1011b111.gif)
![](images/307463-nomer-6199cbe6.gif)
которые называются уравнениями нагрузочных прямых.
На рис. 1.11 построены графики этих прямых и графических входных и выходных ВАХ четырехполюсного НЭ. Точки пересечения нагрузочных прямых и ВАХ определяют режимы постоянного тока (рабочие точки) на входе и выходе четырехполюсного НЭ.
Заключение
В подавляющем большинстве практических задач анализа нелинейных резистивных цепей конфигурация цепи не бывает произвольно сложной; в цепи, как правило, действует один источник переменного сигнала, и требуется определить реакцию в одной или двух ветвях. Задача анализа сводится к следующему: при заданной цепи, содержащей резистивные элементы с известными характеристиками, источники постоянного напряжения и тока и один источник переменного сигнала
![](images/307463-nomer-6f02dc57.gif)
![](images/307463-nomer-47da5037.gif)
Литература
- Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.
- Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.
- Качанов Н.С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.
- В.П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000