Geum.ru

Ю. А. Самарский 17 июня 2006 г. Программ а по курсу вычислительная математика по направлению 511600 факультет факи, ффкэ кафедра вычислительной математики курс III семестр 5 лекции

Вид материалаЛекции

Содержание


Список литературы
Задача №20.
Задача № 10.
Подобный материал:

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

17 июня 2006 г.


П Р О Г Р А М М А


по курсу ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

по направлению 511600

факультет ФАКИ, ФФКЭ

кафедра вычислительной математики

курс III

семестр 5

лекции – 34 часа Экзамен – нет

практические (семинарские)

занятия – нет Диф. зачет – 5 семестр

лабораторные занятия – 34 часа Самостоятельная работа –

2 часа в неделю


ВСЕГО ЧАСОВ 68

Программу составил д.ф.-м.н., профессор В. В. Демченко


Программа обсуждена на заседании

кафедры вычислительной математики

12 апреля 2006 года.


Заведующий кафедрой А.С. Холодов


I. Погрешности при решении прикладных задач. Классификация погрешностей, особенности возникновения и накопления ошибок.


II. Системы линейных уравнений высокого порядка. Неустранимая погрешность. Число обусловленности.

II.1. Точные методы решения.
  1. Метод Гаусса.
  2. Метод ортогонализации.

II.2. Итерационные методы.
  1. Метод простой итерации.
  2. Метод Зейделя.

Теорема о необходимых и достаточных условиях сходимости.


III. Нелинейные уравнения и системы уравнений.

III.1. Задача локализации корней. Алгебраические уравнения. Теоремы Декарта, Бюдана–Фурье, Штурма.

III.2. Численные методы нахождения корней скалярных уравнений с заданной точностью. Принцип сжимающих отображений. Условие Липшица.
  1. Метод половинного деления.
  2. Метод простой итерации.
  3. Метод секущих.
  4. Метод Ньютона.
  5. Методы высших порядков сходимости.

Условия сходимости. Порядок сходимости итерационного процесса. Условия достижения заданной точности.

III.3. Решение нелинейных систем уравнений.
  1. Метод простой итерации.
  2. Метод Ньютона.
  3. Метод наискорейшего спуска.

Условия сходимости итерационного процесса.


IV. Приближение функций, заданных в конечномерных

пространствах.

IV.1. Интерполяция. Понятие об обобщенном интерполяционном многочлене. Существование и единственность интерполяционного многочлена, представление его в форме Ньютона. Конечные и разделенные разности. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, Эрмита. Остаточный многочлен интерполяции.

Сплайн-интерполяция.

IV.2. Среднеквадратичное приближение. Ортонормирванные системы в гильбертовом пространстве. Переопределенные линейные системы уравнений.

IV.3. Равномерное приближение. Многочлены Чебышева.

  1. Численное дифференцирование. Вывод формул численного дифференцирования. Оценка погрешности.

Оптимальный шаг численного дифференцирования.

  1. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса. Метод Гаусса. Метод Монте-Карло. Оценка погрешности.



  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Метод Эйлера. Сходимость, невязка, аппроксимация, устойчивость. Теорема о сходимости, являющейся следствием аппроксимации и устойчивости.



  1. ОДУ. Задача Коши. Нежесткие уравнения.

VIII.1. Вывод формул метода Рунге–Кутты. Таблицы Бутчера. Оценка погрешности и выбор длины шага интегрирования. Неявные методы Рунге–Кутты.

VIII.2. Вывод формул метода Адамса. Особенности численной реализации и сохранения порядка.

VIII.3. Системы уравнений. Уравнения второго и более высоких порядков.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука–Физматлит, 1994. —335 с.

2. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные

методы. — М.: Наука, 1987.

4. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. Вводный курс. — М.: Изд-во МФТИ, 1995. — 175 с.

5. Хайрер Э., Нёрсетт С.,Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (Нежесткие задачи). — М.: Мир, 1990.

6. Демченко В.В. Распад произвольного гидродинамического разрыва. — М.: изд. МФТИ, 1998. — 54 с.

7. Сборник задач для упражнений по курсу вычислительной математики / Под ред. Рябенького В.С. – М.: МФТИ, 1988.

8. Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике. — М.: Наука, 1980.

9. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. — М.: Высшая школа, 2000.


ЗАДАНИЕ 1
  1. Погрешности – задачи: [7] – (I.1);

Задача № 2.

Пусть приближенное значение производной функции определяется при << 1 по одной из формул:




или

,

а сами значения вычисляются с абсолютной погрешностью . Какую погрешность можно ожидать при вычислении производной, если ,

k = 0, 1, … ?

  1. Линейные системы — задачи: [7] – (II.2), (II.4), (II.9);


Задача № 6.

Доказать, что если С – симметричная положительно определенная матрица, то есть норма вектора x.

Задача № 7.

Доказать, что всякая норма матрицы согласована с некоторой нормой вектора.


Задача № 8.

Доказать, что норма подчинена норме .


Задача № 9.

Доказать, что норма подчиненa норме .


Задача № 10.

При каком векторе и произвольной погрешности , допущенной при его задании, максимальна величина в оценке относительной погрешности решения



для системы линейных уравнений , где

, и чему равна ?

.


Задача № 11.

При каких значениях параметра метод сходится с произвольного начального приближения для системы линейных уравнений с матрицей .


Задача № 12.

Найти , при которых метод Гаусса–Зейделя будет сходящимся для систем уравнений с матрицами:

.


  1. Нелинейные уравнения и системы — задачи: [7] – (IV.8 в, м), (IV.12 б, г);


Задача № 15.

Отделить действительные корни, выбрать точку начального приближения, написать итерационную формулу метода Ньютона для уточнения одного из действительных корней уравнения, проверить выполнение условий сходимости метода и привести оценку достижения заданной точности при вычислениях

.

Задача № 16.

Локализовать действительные корни алгебраического уравнения .


Задача № 17.

Определить порядок сходимости итерационного метода при вычислении корня по формуле

.


Задача № 18.

Предложить метод простой итерации и определить область его сходимости для решения уравнения .


Задача № 19.

Уравнение , имеющее корень , предлагается решить одним из методов простой итерации:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Исследовать эти методы и сделать выводы о целесообразности использования каждого из них.


Задача №20.

Указать начальное приближение и оценить число итераций в методе Ньютона, требующихся для достижения точности для системы уравнений:

.


ЗАДАНИЕ 2

  1. Приближение функций.

IV.1. Интерполяция — задачи: [7] – (V.1), (V.3), (V.5).


Задача №4.

Для заданной таблицы значений достаточно гладкой функции построить интерполяционный многочлен, обеспечивающий погрешность интерполяции, соответствующую точности задания таблицы, и вычислить его значение при .

x
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500

y
1,0000
1,0101
1,0202
1,0305
1,0407
1,0513




x
0,0600
0,0700
0,0800
0,0900
0,1000

y
1,0618
1,0725
1,0833
1,0942
1,1053


Задача № 5.

Для заданной таблицы значений достаточно гладкой функции оценить погрешность квадратичной (линейной) интерполяции при

x
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500

y
1,0000
1,0101
1,0202
1,0305
1,0407
1,0513




x
0,0600
0,0700
0,0800
0,0900
0,1000

y
1,0618
1,0725
1,0833
1,0942
1,1053


IV.2. Cреднеквадратичное приближение — задачи: [7] – (III.1), (III.9).


Задача № 8.

Задана таблица приближенных значений функции

. Определить коэффициенты методом наименьших квадратов


x
-3
-2
-1
0
1
2
3

y
-10
-5
-2
0
2
5
10


Задача № 9.

Для заданной таблицы значений функции, где в качестве узлов выбраны нули многочлена Чебышева , определить элемент ( –постоянные) наилучшего среднеквадратичного приближения


x








y
0,0000
-1,0000
0,0000
0,0000
















x










y
1,0000
0,0000







Задача № 10.

Для заданной таблицы значений функции, где в качестве узлов выбраны точки , построить обобщенный многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения


x
0
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4

y
1
0,000
5,000
2,000
-1,000
2,000
5,000
0,000


IV.3. Равномерное приближение.


Задача № 11.

Найти все экстремумы многочлена Чебышева на отрезке [– 1, 1].


Задача № 12.

Среди всех многочленов вида найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на [0, 2].


V, VI. Численное дифференцирование и интегрирование — задачи: [7] – (VI.1а, в), (VI.з).


Задача № 15.

Определить порядок точности формулы численного дифференцирования, приближающей первую производную в точке



.


Задача № 16.

Оценить минимальное число разбиений N отрезка интегрирования для вычисления по методу трапеции с точностью интеграла .


Задача № 17.

Вычислить приближенное значение интеграла

, используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами.

  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ): [7] – (VII.1).


Задача № 19.

Для решения задачи Коши а) на (0,1) предложена разностная схема б). Исследовать разностную задачу на аппроксимацию и определить порядок сходимости ее решения к решению дифференциальной задачи при

.

а)


б) .

VIII. ОДУ. Задача Коши: [7] – (VII.3).


Задание для практического решения на ЭВМ дается преподавателем и состоит из трех задач:
  1. по первому заданию – одна задача;
  2. по второму заданию – две задачи.



Срок сдачи: первого задания – 2-ая неделя октября;

второго задания – 2-ая неделя декабря.

Семестровая потоковая

контрольная работа – 2-ая неделя декабря.


Усл. печ. л. Тираж экз.