Geum.ru

Програма співбесіди зі спеціальності „математика" для вступників на навчання за освітньо-кваліфікаційними рівнями "спеціаліст", „магістр" 2012 2013 навчальний рік

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
ПРОГРАМА

співбесіди зі спеціальності „математика”

для вступників на навчання за освітньо-кваліфікаційними рівнями "спеціаліст", „магістр”

2012 - 2013 навчальний рік

1. Математичний аналіз
  1. Поняття границі послідовності: числової, функцій (поточкова і рівномірна), елементів ме­тричного простору.. Теореми про три послідовності, про арифметичні дії зі збіжними послідовностями.
  2. Неперервні та рівномірно неперервні функції. Типи розривів. Неперервність елементарних функцій.
  3. Похідна та диференціал функцій однієї та кількох змінних. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші. Необхідні й достатні умови диференційовності функцій кількох змінних.
  4. Формула Тейлора з різними формами залишкових членів. Основні розклади.
  5. Достатні умови локального екстремуму функції кількох змінних.
  6. Інтеграл Рімана, умови його існування. Формула Ньютона - Лейбніца.
  7. Числові та функціональні ряди. Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність. Рів­номірна збіжність. Властивості суми функціонального ряду: теореми про неперервність, інтегровність, диференційовність.
  8. Ряд Тейлора. Умови розкладу функції в ряд Тейлора. Основні розклади.
  9. Кратні інтеграли. Формула зведення кратного інтеграла по брусу до повторного.

Формула заміни змінних у кратному інтегралі.
  1. Формули Гріна, Гаусса - Остроградського, Стокса.
  2. Теорема Банаха про стискаючі відображення.
  3. Ряд Фур'є. Достатні умови збіжності в точці.

2. Теорія міри та інтеграла
  1. Конструкція міри Лебега.
  2. Теорема про у-адитивність міри Лебега - Стільтьєса.
  3. Вимірні функції. Критерій вимірності.
  4. Збіжність за мірою та збіжність майже всюди.
  5. Конструкція інтеграла Лебега.
  6. Теореми про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

3. Функціональний аналіз
  1. Гільбертів простір. Ортонормовані базиси. Теорема про ортогональний розклад гільбертового простору.
  2. Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала в гільбертовому просторі.
  3. Теорема Гана - Банаха.
  4. Лінійні, неперервні, обмежені оператори. Норма оператора.
  5. Теорема Банаха про обернений оператор.
  6. Компактні оператори. Теорема про спектр компактного оператора. Теореми Фредгольма.

4. Лінійна алгебра
  1. Матриці та дії над ними. Обернена матриця.
  2. Лінійні перетворення. Ранг і дефект лінійного перетворення. Теорема про ранг матриці.
  3. Теорема про рівнопотужність баз у скінченновимірному векторному просторі.
  4. Формули зміни координат вектора і матриці лінійного перетворення при зміні бази.
  5. Визначники, їх властивості та застосування.
  6. Жорданова нормальна форма лінійного оператора (матриці).
  7. Канонічний вигляд самоспряженого оператора в евклідовому просторі.
  8. Закон інерції дійсних квадратичних форм.
  9. Критерій Сільвестра.


5. Алгебра та теорія чисел
  1. Поняття групи та кільця. Гомоморфізми та ізоморфізми.
  2. Теорема Лагранжа про порядки групи та підгрупи.
  3. Дія групи на множині і лема Коші - Фробеніуса - Бернсайда.
  4. Основна теорема про гомоморфізм груп.

6. Дискретна математика
  1. Теорема Кантора про потужність множини всіх підмножин даної множини.
  2. Теорема Холла про існування представників.

7. Математична логіка
  1. Критерій Поста розв'язності множини
  2. Теорема дедукції для числення висловлювань

8. Аналітична геометрія
  1. Векторний та мішаний добутки векторів, вираз через координати векторів-співмножників.
  2. Взаємне розміщення двох прямих (умова мимобіжності, паралельності, перетину, збігу).
  3. Рівняння спільного перпендикуляра до двох прямих.
  4. Головні напрями ліній другого порядку. Характеристичне рівняння. Інваріанти ліній другого порядку.
  5. Зведення рівняння поверхні другого порядку до найпростішого вигляду.
  6. Прямолінійні твірні однопорожнинного гіперболоїда та гіперболічного параболоїда.

7. Диференціальна геометрія та топологія
  1. Тригранник Френе, кривина та скрут кривої.
  2. Повна та середня кривина поверхні. Класифікація точок на поверхні. Теорема Гаусса про повну кривину поверхні.
  3. Аксіоми відомкремлюваності. Регулярні та нормальні простори. Лема Урисона.
  4. Зв'язні простори та множини. Лінійна зв'язність.
  5. Гомотопічні відображення і гомотопічна еквівалентність.

8. Диференціальні рівняння
  1. Теореми Пікара та Пеано для нормальної системи.
  2. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків лінійної однорідної системи.
  3. Теорема про існування повного набору перших інтегралів для нормальної системи.
  4. Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим.
  5. Теорема про стійкість лінійної однорідної системи зі сталою матрицею.
  6. Теорема про стійкість за першим наближенням.
  7. Теореми Ляпунова про стійкість і асимптотичну стійкість.

9. Варіаційне числення
  1. Теореми про апроксимацію в нормованих і гільбертових просторах.
  2. Теорема Куна – Таккера.
  3. Теорема про апроксимацію в гільбертовому просторі.
  4. Необхідні умови локального екстремуму в задачі Лагранжа.
  5. Необхідні умови локального екстремуму в гладких задачах.
  6. Необхідні умови локального екстремуму в задачах Лагранжа, Больца та ізопериметричній задачі.

5) Принцип максимуму Понтрягіна в задачах Больца та оптимальної швидкодії.

10. Комплексний аналіз
  1. Поняття аналітичної функції в точці. Теорема про диференційовність функцій комплексної змінної. Умови Коші - Рімана.
  2. Геометричний зміст модуля і аргументу похідної функції комплексної змінної. Конформні відображення.
  3. Класифікація аналітичних функцій за їх особливими точками: цілі функції, мероморфні
    функції. Теорема про мероморфну функцію.
  4. Теорема Коші про інтеграл від аналітичної функції.
  5. Теорема про аналітичність суми степеневого ряду в крузі збіжності.
  6. Теорема Коші про лишки.
  7. Основні поняття теорії аналітичного продовження.
  8. Принцип симетрії Рімана - Шварца.

11. Рівняння математичної фізики
  1. Постановки основних задач математичної фізики та їх фізичний зміст.
  2. Інтеграл енергії. Єдиність розв'язку основних крайових задач для хвильового рівняння.
  3. Задача Штурма - Ліувілля. Основні властивості власних функцій та власних значень.
  4. Гармонічні функції та їх властивості.
  5. Єдиність розв'язку внутрішньої задачі Діріхле для рівняння Пуассона.
  6. Поняття фундаментального розв'язку для рівняння теплопровідності.
  7. Функція Гріна неоднорідної крайової задачі Діріхле в крузі.

12. Теорія ймовірностей
  1. Загальне означення випадкової величини та вектора, борелєва у-алгебра, критерій вимірності.
  2. Функція розподілу та її властивості, породжена міра Лебега - Стілтьєса.
  3. Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.
  4. Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки). Обчислення математичного сподівання функції від випадкової величини через її функцію розподілу.
  5. Функція розподілу та щільність суми незалежних величин.
  6. Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин.
  7. Посилений закон великих чисел Колмогорова.
  8. Граничні теореми Пуассона, Муавра-Лапласа.
  9. Класична центральна гранична теорема.

13. Математична статистика
  1. Статистики, оцінки та їх властивості.
  2. Статистичні критерії, рівень та потужність, найбільш потужні критерії.
  3. Властивості вибіркових моментів.

14. Інформатика
  1. Поняття типу даних.
  2. Перша теорема про рекурентні співвідношення.

15. Методи обчислень
  1. Метод скінченних різниць розв'язування крайових задач.
  2. Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа, його побудова і похибка.
  3. Теорема про коректність методу прогонки розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною структурою матриці.


Програму затверджено на засіданні Вченої ради механіко-математичного факультету,
протокол № 5 від 16 грудня 2011 року.


Декан механіко-математичного факультету М.Ф.Городній