Geum.ru

Вопросы к вступительному экзамену в магистратуру для специальности

Вид материалаДокументы

Содержание


Теория вероятностей и математическая статистика
Подобный материал:
Вопросы к вступительному экзамену в магистратуру для специальности

«6N0601-Математика»


Математический анализ

  1. Целая степень действительного числа и действительная степень положительного числа. Логарифм. Теорема о существовании логарифма. Свойства логарифма (точные формулировки, без доказательства).
  2. Полнота: существование предела монотонной последовательности. Определение числа е.
  3. Подпоследовательности и частичные пределы. Полнота: теорема Больцано - Вейерштрасса.
  4. Полнота: критерий Коши о сходимости последовательностей. Комментарии.
  5. Верхний и нижний пределы последовательности. Полнота: основная теорема о существовании наибольшего и наименьшего частичных пределов последовательности.
  6. О строении произвольной действительнозначной функции в окрестности каждой точки.
  7. Линейная функция. Дифференцирование в точке как локальная линеаризация. Дифференциал. Геометрическая интерпретация дифференциала.
  8. Формула Тейлора для многочленов. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша.
  9. Интеграл Римана. Классы интегрируемых по Риману функций: класс непрерывных и класс монотонных функций.
  10. Линейная числовая функция многих переменных и ее общий вид. Определение дифференцируемости функций многих переменных в точке. Дифференциал и частные производные. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
  11. Определение неявной функции (двумерный случай). Существование и непрерывность неявной функции.
  12. Дифференцируемость неявной функции (двумерный случай). Вычисление производных неявных функций.
  13. Определение условного экстремума. Сведение задачи исследования функции на условный экстремум к исследованию на экстремум локальный. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа.
  14. Интегральный критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Следствия для рядов .
  15. Определение абсолютно сходящегося ряда и теорема о его сходимости. Произведение рядов по Коши. Теорема Мертенса.
  16. Перестановки рядов. Перестановки абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана - перестановки неабсолютно сходящегося ряда.
  17. Равномерная сходимость и непрерывность функциональных рядов. Равномерная сходимость и интегрирование функциональных рядов.
  18. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Структура множества сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда, непрерывность суммы.
  19. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
  20. Криволинейный интеграл первого рода как обобщение одномерного интеграла Римана: определение, достаточные условия существования.
  21. Интегрирование дифференциальной формы – криволинейный интеграл второго рода вдоль непрерывно дифференцируемой кривой: определения, достаточные условия существования, зависимость от направления обхода кривой, линейное свойство, аддитивность.
  22. Формула Грина. Аддитивное свойство формулы Грина.
  23. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Примеры: из сходимости интеграла от ½¦(x)½ не следует существование интеграла от ¦(x); сходящийся, но не абсолютно сходящийся интеграл.
  24. Равномерная сходимость интеграла, зависящего от параметра: определение, непрерывность и интегрирование по ограниченному промежутку.
  25. Ряд Фурье по ортогональной и тригонометрической системам. Ортогональный ряд и ряд Фурье. Полиномы по ортогональной системе. Минимальное свойство частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Достаточное условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке разрыва функции.
  26. Интегральный признак Дини сходимости в точке тригонометрического ряда. Сходимость ряда Фурье функции с односторонними производными в точке, непрерывно дифференцируемой функции, функции из классов Гельдера.
  27. Счетные множества. Счетные множества как наименьшие бесконечные множества. Определение бесконечного множества по Р. Дедекинду. Счетность не более чем счетного объединения счетных множеств.
  28. Несчетность сегмента [0, 1]. Определение множества мощности континуума. Мощность не более чем счетного объединения множеств мощности континуума.
  29. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна. Существование множества мощности большей, чем мощность любого данного множества.
  30. Внешняя мера на R1, монотонность и счетная полуаддитивность внешней меры. Теорема об аппроксимации по внешней мере.
  31. Определение Каратеодори меры Лебега. Структура измеримых по Лебегу числовых множеств.
  32. Измеримые функции. Измеримость непрерывной функции. Применение арифметических действий к измеримым функциям сохраняет измеримость.
  33. Измеримость функции, предельной для последовательности измеримых функций, сходящейся всюду и почти всюду.
  34. Сходимость по мере сходящейся почти всюду последовательности измеримых функций (теорема Лебега).
  35. Теорема Н.Н. Лузина о структуре измеримых функций.
  36. Интегрируемость по Лебегу измеримой и ограниченной функции. Взаимоотношения между интегралами Римана и Лебега.
  37. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
  38. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
  39. Теорема Лебега о восстановлении абсолютно непрерывной функции по ее производной.
  40. Дифференцируемость в смысле R2 и в смысле С. Их связь: условия Коши – Римана. Производная и ее связь с дифференцируемостью. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
  41. Интегральная формула Коши (значения в области G голоморфной в функции полностью определяются её значениями на границе ).
  42. Теорема о представлении в окрестности каждой точки области своего определения голоморфной функции рядом Тейлора. Неравенство Коши. Теорема Лиувилля.
  43. Теорема о голоморфности суммы степенного ряда в своем круге сходимости. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций. Теорема Морера.
  44. Ряды Лорана, область сходимости. Теорема о разложении голоморфных в кольце функций в ряд Лорана. Единственность разложения.
  45. Изолированные особые точки голоморфных функций. Классификация изолированных особых точек на основе разложения функций в ряд Лорана.
  46. Выделение ветвей. Теорема о монодромии. Теорема Пуанкаре–Вольтерра. Элементарные функции: корень, логарифм, обратные тригонометрические функции, общая степенная функция, общая показательная функция.
  47. Римановы поверхности элементарных функций. Изолированные особые точки аналитических функций. Принцип аргумента. Теорема Руше.


Теория вероятностей и математическая статистика

  1. Теория вероятностей как аксиоматизируемая математическая дисциплина. Предмет теории вероятностей. Вероятностное пространство (, А, P) как математическая модель испытания. Аксиомы А.Н.Колмогорова.
  2. Теоретико-вероятностная (статистическая) независимость (независимость функции от чего-либо; независимость условной вероятности Р(А|В) от В, симметричность понятия независимости) и зависимость двух событий. Пример Бернштейна.
  3. Математическая модель, описывающая "n испытаний - независимых и повторяющихся при неизменных условиях". Важнейшие примеры: схема Бернулли и полиномиальная схема.
  4. Предельные теоремы (локальная и интегральная Муавра-Лапласа) для схемы Бернулли. Центральная предельная теорема.
  5. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывно распределенной случайной величины. Свойства математического ожидания и дисперсии.
  6. Теорема Чебышева. Следствия: теорема Бернулли. Закон больших чисел в форме Чебышева.
  7. Вероятностно-статистическая модель. Оценка вероятности "успеха" в схеме Бернулли: несмещенность, состоятельность. Эффективная оценка вероятности "успеха" в схеме Бернулли, информация Фишера, неравенство Рао-Крамера.
  8. Построение доверительного интервала для вероятности "успеха" в схеме Бернулли. Проверка статистических гипотез для вероятности "успеха" в схеме Бернулли.
  9. Оценка неизвестного параметра. Несмещенные и состоятельные оценки математического ожидания: n () и дисперсии - n().
  10. Выбор из двух гипотез: статистический критерий, критическое множество, вероятности ошибок, уровень значимости критерия, наиболее мощный критерий. Критерий Пирсона (для проверки гипотезы о виде распределения).


Литература

  1. Г.И. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. I, II, III, М.: Наука, 1969.
  2. У.Рудин. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
  3. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. М.: 1979.
  4. Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков. Лекции по математическому анализу. М.: Изд-во механико-математического факультета Московского университета, часть 1 - 1995; часть 2 - 1997; часть 3 - 1997; часть 4 - 1997.
  5. Н.Темiрғалиев. Математикалық анализ. Алматы: т.I, "Мектеп",1987; т.II, "Ана тiлi", 1991; т.III, "Бiлiм", 1997.
  6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
  7. Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М.: Учпедгиз, 1940.
  8. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
  9. Титчмарш Е. Теория функций. М.: ГИТЛЛ, 1951.
  10. Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И., Казарян К.С., Сифуэнтес П. Действительный анализ в задачах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  11. И.П.Привалов "Введение в теорию функций комплексного переменного".М.:Наука,1977.
  12. Б.В.Шабат "Введение в комплексный анализ" .М.:Наука,1985
  13. А.И.Маркушевич "Краткий курс теории аналитических функций".М.:Наука,1978.
  14. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат "Методы теории функций комплексного переменного".М.:Наука,1973.
  15. М.А.Евграфов "Аналитические функции".М.:Наука,1991.
  16. Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк, М.И.Шабунин "Лекции по теории функций комплексного переменного".М.:Наука,1989.
  17. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. M.:- «Наука», 1974.
  18. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. т.1. M.: «Мир», 1969.
  19. Лоэв М. Теория вероятностей. M.: «ИЛ», 1962.
  20. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей. M.: «Наука», 1983.
  21. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. M.: «Наука», 1969.
  22. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. M.: «Наука», 1989.
  23. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. M.: «Наука», 1969.
  24. Ротарь В.И. Теория вероятностей. M.: «Высшая школа», 1992.


Алгебра и геометрия

  1. Скалярное и векторное произведение векторов, их свойства и приложения. Выражение скалярного и векторного произведения векторов через координаты векторов.
  2. Смешанное произведение векторов. Свойства и приложения. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
  3. Взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Теорема о необходимых и достаточных условиях параллельности и перпендикулярности двух прямых.
  4. Определение векторного пространства. Основные свойства и примеры. Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы векторов.
  5. Понятие линейного преобразования векторного пространства. Матрица линейного преобразования. Матрица перехода от одного базиса к другому.
  6. Классификация кривых 2-го порядка.
  7. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
  8. Определители n-го порядка, их свойства. Теорема о разложении определителя по строке или столбцу.
  9. Правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений.
  10. Матрицы, действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Теорема о вычислении обратной матрицы.
  11. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексных чисел. Операции над комплексными числами.
  12. Извлечение корней из комплексных чисел. Формула Муавра.
  13. Кольцо многочленов от одной переменной. Кратные корни многочлена.
  14. Сравнения и их основные свойства. Теорема Эйлера и Ферма.
  15. Кольцо классов вычетов по данному модулю.


Функциональный анализ

  1. Изоморфизм между всеми конечномерными пространствами данного числа измерений.
  2. Нормированные пространства Lp(а,в) (1р<). Неравенства Гельдера и Минковского.
  3. Гильбертовы (унитарные, евклидовы) пространства Н. Норма в Н. Пространства l2 и L2(а, b). Неравенство Шварца. Непрерывность скалярного произведения.
  4. Принцип вложенных шаров.
  5. Принцип сжимающих отображений.
  6. Теорема Бэра-Хаусдорфа о категориях. Множества меры 1 и первой категории, меры 0 и второй категории на [0,1].
  7. Теорема Арцела (критерий предкомпактности множества в С[а.b]).
  8. 0бщий вид линейных функционалов в С[0,1] [1, стр.182-185], Lp (0,1),(1
    l    p (с доказательствами).
  9. Принцип равномерной ограниченности - теорема Банаха-Штейнхауса. Теорема о полноте в смысле поточечной в себе сходимости пространства L(BB).
  10. Теорема Банаха об обратном операторе. Принцип открытости отображения.
  11. Теорема Хана-Банаха. Следствия.
  12. Теорема Гильберта-Шмидта (ортогональность собственных векторов, конечность числа взаимно ортогональных векторов с данным собственным значением  0 , одновременная инвариантность симметрического оператора относительно подпространства и его ортогонального дополнения). Следствие: теорема Гильберта.


Литература


1. Люстерник. Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. M.: Наука, 1965.

2. Садовничий В. А. Теория операторов. M.: изд. МГУ, 1986.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. M.: Наука, 1972.

4. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. M.: Наука, 1974.

5. Рудин У. Функциональный анализ. M.:Мир, 1975.

6. Иосида К. Функциональный анализ. M.:Мир, 1967.

7. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая теория). M.: ИЛ, 1962.

8. Лузин Н. Н. Теория функции действительного переменного. M.:Учпедгиз,1949.

9. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. M.: Мир, 1952.

10. Темiргалиев Н. Математикалық анализ. Алматы:Ана тiлi, 1991, т. 2.

11. Вайнберг М . М. Функциональный анализ. - Просвещение, 1979.

12. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. M.:Физматгиз, 1961.

13. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. M.: Физматгиз, 1965.

14. Рисc Ф., Секевальфи-Надь Б. Лекции по Функциональному анализу. 1979.

15. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. M.: Мир, 1967.

16. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. M.: Мир, 1965.

17. Никольский С.М. Курс математического анализа. т.2. M.: Наука, 1973.


Дифференциальные уравнения

  1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
  2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общие свойства
  3. Однородные ОДУ. Фундаментальная система решений. Вронскиан-формула Лиувилля. Общее решение однородного ОДУ. Построение фундаментальной системы решений.
  4. Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее решение. Метод Лагранжа вариации постоянных.
  5. Однородная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица-Вронскиан. Формула Лиувилля. Структура общего решения однородной системы ОДУ.
  6. Постановка краевых задач для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Функция Грина и ее явные представления.



Литература.

  1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Факториал пресс, 2005.
  2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенные дифференциальных уравнений СПб.: Лань, 2003.
  3. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения СПб.: Лань, 1996.



Заведующий кафедрой

математического анализа,

д.ф.-м.н., проф. Н. Темірғалиев