Утверждаю

Вид материала

Рабочая программа

Содержание 2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дис­циплины «Алгебра и геометрия». 4. Структура и содержание дисциплины алгебра и геометрия 1. Матрицы и определители 2. Системы линейных уравнений 3. Векторная алгебра 4. Уравнения линий и поверхностей 5. Линейные образы на плоскости и в пространстве 6. Линии II-го порядка 7. Поверхности II-го порядка 8. Алгебраические структуры 9. Линейные пространства Элементы аналитической геометрии в n – мерном пространстве 11.Евклидовы и унитарные пространства Линейные операторы 13.Канонические формы матрицы линейного оператора Линейные, билинейные и квадратичные формы Линейные операторы в унитарном пространстве Билинейные и квадратичные формы на унитарном пространстве. Гипер­поверхности второго порядка Форма промежуточ­ной аттестации (по семестрам) ... Полное содержание

Подобный материал:

• Утверждаю утверждаю, 21.26kb.
• «утверждаю» «утверждаю», 262.03kb.
• Утверждаю утверждаю, 393.06kb.
• «Утверждаю» «Утверждаю» Председатель Совета доу заведующий мдоу №25, 113.74kb.
• Кикбоксинг против наркомании и детской преступности «Утверждаю» «Утверждаю», 78.29kb.
• Утверждаю: утверждаю, 156.74kb.
• «утверждаю» «утверждаю» Председатель республиканского Директор маоудод «цдтт №5» совета, 42.86kb.
• Утверждаю» «Утверждаю», 163.81kb.
• «Динамо», 49.89kb.
• Утверждаю: утверждаю: Председатель Глава администрация оо «Гомельский рыболовный клуб», 78.23kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ


УТВЕРЖДАЮ


Декан ФПМК


___________А.М.Горцев


"_____"__________________2011 г.


Рабочая программа дисциплины

Алгебра и геометрия


Направление подготовки

010400 Прикладная математика и информатика


Квалификация выпускника

Бакалавр


Форма обучения

очная


Томск

2011 г.

1. Цели освоения дисциплины.


Целями освоения дисциплины алгебра и геометрия являются :

– обучение студентов методам алгебры и геометрии, необходимых им при изучении остальных курсов;

– привитие студентам навыков исследования с использованием методов алгебры;

– обучение студентов методам логически строгого построения доказательств;

– формирование навыков и умений, необходимых при практическом применении математических идей и методов для анализа и моделирования сложных систем, процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших способов еализации.

В результате освоения данной дисциплины обеспечивается достижение целей основной образовательной программы «Прикладная математика и информатика»; приобретенные знания, умения и навыки позволяют подготовить выпускника к научно-исследовательской деятельности в области прикладной математики и информатики, к проектной и производственно-технологической деятельности в области создания современных систем обработки информации, организацинно-управленческой и педагогической деятельности.


2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата


Дисциплина «Алгебра и геометрия» находится в цикле Б.2. Математический и естественнонаучный цикл.

Для изучения курса необходимо знание школьного курса математики.

Знания, полученные при изучении данного курса, используются при изучении всех дисциплин, для которых необходим аппарат матричного анализа, теории линейных пространств и теории линейных операторов. Сюда можно отнести, например, курсы «Дифференциальные уравнения», «Теория оптимального управления», «Исследование операций» и многие другие.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дис­циплины «Алгебра и геометрия».


В результате освоения дисциплины бакалавр должен сформировать общекуль­турные компетенции:

– способностью владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно строить устную и писменную речь (ОК-1);

– способностью работы с информацией из различных источников, включая се­тевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных задач (ОК-14).

В результате освоения дисциплины бакалавр должен сформировать профессио­нальные компетенции:

– способностью понимать и применять в исследовательской деятельности со­временный математический аппарат (ПК-3);

– способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, ис­пользуя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

– теорию матриц, определителей и систем линейных уравнений;

– векторную алгебру;

– аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве;

– теорию линейных, точечно-векторных и унитарных пространств;

– теорию линейных операторов на конечномерных пространствах;

– теорию билинейных и квадратичных форм на конечномерных пространствах.

Уметь:

– решать задачи, связанные с вычислением матриц, определителей и решением систем линейных уравнений;

– решать задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве;

– решать задачи, связанные с исследованием линейных операторов и квадратич­ных форм.

Владеть:

– математическим аппаратом алгебры и геометрии;

– навыками использования аппарата алгебры и геометрии при решении конкрет­ных задач.

4. Структура и содержание дисциплины алгебра и геометрия

Общая трудоемкость дисциплины составляет 11.7 зачетных единиц, 420 часов.


Содержание курса


1. Матрицы и определители

Матрицы и действия над ними. Блочные матрицы. Определение определителя. Оп­ределители II и III порядков. Основные свойства определителей. Алгебраические допол­нения, миноры. Связь миноров с алгебраическими дополнениями. Теорема Лапласа. Вычисление определителей. Обратная матрица и ее вычисление. Линейная зависимость

вектор-столбцов. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Способы вычисления ранга матрицы.


2. Системы линейных уравнений

Основные понятия. Теорема Кронекера-Копелли. Формулы Крамера. Общая тео­рия. Число решений линейной системы. Метод Гаусса. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение неоднородной системы.


3. Векторная алгебра

Скалярные и векторные величины. Действия над векторами. Базис и координаты вектора. Линейная зависимость векторов. Признаки линейной зависимости. Понятие век­торного пространства. Размерность и базис векторного пространства. Координаты век­тора. Условие коллинеарности векторов. Аффинные и декартовы координаты точки.

Ортогональная проекция вектора. Скалярное произведение векторов. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение. Двойное векторное произведение. Простейшие задачи аналитической геометрии. Преобразование базиса и системы координат.


4. Уравнения линий и поверхностей


Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности Парамет­рические уравнения линий и поверхностей. Сфера. Конусы. Цилиндры.

5. Линейные образы на плоскости и в пространстве


Уравнения прямых и плоскостей. Поверхности и линии I-го порядка. Неполные уравнения плоскости и прямой на плоскости. Уравнения плоскости и прямой в отрезках. Нормальные уравнения плоскости и прямой. Приведение общих уравнений к нормаль­ному виду. Расстояние от точки до прямой (плоскости).Условия ортогональности и парал­лельности прямых и плоскостей. Параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Угол между прямыми в пространстве. Угол ме­жду прямой и плоскостью. Параметрические уравнения плоскости. Пучок и связка пря­мых. Пучок плоскостей. Связка плоскостей.


6. Линии II-го порядка

Каноническое уравнение эллипса. Гипербола. Парабола. Уравнения линий второго порядка в полярных координатах. Касательные к линиям II-го порядка. Приведение урав­нения линии II-го порядка к каноническому виду .Инварианты линии II-го порядка.


7. Поверхности II-го порядка

Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конусы II-го порядка.

Поверхности вращения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Касательные к поверхностям II-го порядка. Касательная плоскость.


8. Алгебраические структуры

Множества и подмножества. Операции над множествами. Бинарные отношения. Отношения порядка и эквивалентности. Отображения. Композиция отображений. Алгеб­раические операции. Обратная операция. Группа. Кольцо. Поле. Поле комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Кольцо многочленов. Делимость многочленов. Основная теорема алгебры и следствия из нее


9. Линейные пространства

Линейные пространства. Определение. Базис и координаты. Размерность. Изо­морфизм конечномерных линейных пространств. Преобразование базисов и координат и векторов. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка. Пересечение и сумма линейных подпространств. Прямая сумма. Размерность суммы и пересечения ли­нейных подпространств. Линейные многообразия.


10 .Элементы аналитической геометрии в n – мерном пространстве

Точечно-векторное аффинное пространство. Система координат и ее преобразова­ние. К-мерные плоскости. Прямая и отрезок прямой. Гиперплоскость. Выпуклые множе­ства. Полупространства. Выпуклые оболочки. Симплексы.


11.Евклидовы и унитарные пространства

Евклидовы пространства. Определение. Неравенства Шварца. Длина вектора. Рас­стояние. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства. Ортого­нальное дополнение. Проектирование вектора на подпространство. Изоморфизм евклидо­вых пространств. Унитарные пространства.


12. Линейные операторы

Линейные операторы. Определение. Сложение и умножение на число. Произведе­ние операторов. Ранг и дефект линейного оператора. Невырожденные операторы. Обрат­ный оператор. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного опера­тора при переходе к новому базису.


13.Канонические формы матрицы линейного оператора

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Определение и основные свойства. Характеристический многочлен оператора. Нахождение собствен­ных значений и векторов. Операторы простой структуры. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор. Операторный многочлен. Теорема Кэли-Гамильтона. Тре­угольная форма матрицы оператора. Нильпотентные операторы. Канонический базис нильпотентного оператора. Приведение матрицы оператора к канонической жордановой форме.


14. Линейные, билинейные и квадратичные формы

Линейные и билинейные формы. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Метод Якоби. Закон инерции квадратич­ных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Матрица Грама. Критерий Сильве­стра.


15. Линейные операторы в унитарном пространстве

Линейные операторы в унитарном пространстве. Сопряженные операторы. Нор­мальные операторы. Унитарный оператор. Самосопряженный оператор. Положительно определенные операторы. Полярное разложение оператора. Линейные операторы в веще­ственном евклидовом пространстве. Вариационное описание собственных значений само­сопряженного оператора. Норма оператора.


16. Билинейные и квадратичные формы на унитарном пространстве. Гипер­поверхности второго порядка

Билинейные и квадратичные формы на евклидовом пространстве. Связь между билинейными формами и линейными операторами. Приведение квадратичной формы в ортонормированном базисе. Одновременное приведение двух квадратичных форм

Темы практических занятий

По курсу предусмотрены следующие практические занятия:

1.Операции над матрицами - 2 час.

2.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка - 2 час.

3.Вычисление определителей - 2 час.

4.Вычисление определителей - 2 час.

5.Вычисление определителей - 2 час.

6.Теорема Лапласа - 2 час.

7.Обратная матрица - 2 час.

8.Ранг матрицы - 2 час.

9.Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера - 2 час.

10.Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса - 2 час.

11.Решение однородных систем линейных уравнений - 2 час.

12.Решение однородных систем линейных уравнений . Общее решение неоднород­ной системы.- 2 час.

13.Операции над векторами - 2 час.

14.Линейная зависимость векторов. Базис и координаты вектора - 2 час.

15.Скалярное произведение. Ортогональное проектирование вектора - 2 час.

16.Векторное произведение -2 час.

17.Смешанное и двойное векторное произведение - 2 час.

18.Решение простейших задач аналитической геометрии - 2 час.

19.Прямая на плоскости - 2 час.

20.Прямая на плоскости - 2 час.

21.Плоскость - 2 час.

22.Плоскость - 2 час.

23.Прямая в пространстве – 2 час.

24.Прямая и плоскость в пространстве - 2 час.

25.Прямая и плоскость в пространстве - 2 час.

26.Эллипс. Окружность - 2 час.

27.Гипербола - 2 час.

28.Парабола - 2 час.

29.Кривые 2-го порядка в полярных координатах - 2 час.

30.Приведение кривых 2-го порядка к каноническому виду - 2 час.

31.Сфера - 2 час.

32.Конус и цилиндр - 2 час.

33.Алгебраические структуры - 2 час.

34.Линейные пространства. Базис и координаты вектора - 2 час.

35.Линейные подпространства - 2 час.

36.Прямая и плоскость - 2 час.

37.Евклидовы пространства - 2 час.

38.Евклидовы пространства - 2 час.

39.Матрица линейного оператора - 2 час.

40.Образ и ядро линейного оператора - 2 час.

41.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора - 2 час.

42.Инвариантные подпространства - 2 час.

43.Каноническая форма Жордана - 2 час.

44.Метод Лагранжа. Метод Якоби – 2 час.

45.Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах - 2 час.

46.Самосопряжекнные операторы – 2 час.

47.Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе - 2 час.

48.Гиперповерхности II-го порядка - 2 час.

№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Виды учебной работы, включая самостоятель­ную работу студентов и трудоемкость (в часах)			Формы текущего контроля успевае­мости Форма промежуточ­ной аттестации (по семестрам)
			лек-ции	прак-ти- чес- кие заня-тия	само-стоя-тель­ная работа
1	Матрицы и опре­делители	1	14	16	24	Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа
2	Системы линей­ных уравнений	1	6	8	18	Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа
3	Векторная алгебра	1	12	12	16	Опрос на занятиях, проверка дом. работ
4	Уравнения линий и поверхностей	1	4	-	-	-
5	Линейные образы на плоскости и в пространстве	1	9	14	20	Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа
6	Линии второго порядка	1	8	10	10	Опрос на занятиях, проверка дом. работ
7	Поверхности вто­рого порядка	1	6	4	4	Опрос на занятиях, проверка дом. работ
8	Алгебраические структуры	1	7	2	-	Опрос на занятиях, проверка дом. работ
						Зачет, экзамен
9	Линейные про­странства	2	7	2	6	Опрос на занятиях, проверка дом. работ
10	Элементы анали­тической геомет­рии в n-мерном пространстве	2	5	2	2	Опрос на занятиях, проверка дом. работ
11	Евклидовы и уни­тарные простран­ства	2	6	4	8	Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа
12	Линейные опера­торы	2	5	4	6	Опрос на занятиях, проверка дом. работ,
13	Канонические формы матрицы линейного опера­тора	2	15	6	10	Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа
14	Линеные, били­нейные и квадра­тичные формы	2	8	2	4	Опрос на занятиях, проверка дом. работ,
15	Линейные опера­торы в унитарном пространстве	2	8	4	8	Опрос на занятиях, проверка дом. работ,
16	Билинейные и квадратичные фо­римы на унитар­ных пространст­вах. Гиперповерх­ности второго по­рядка	2	6	4	4	Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа
						Зачет, экзамен
	ИТОГО		126	96	140	58

5. Образовательные технологии


В процессе обучения для достижения планируемых результатов освоения дисцип­лины используются следующие методы образовательных технологий:

– работа в команде;

– опережающая самостоятельная работа;

– междисциплинарное обучение;

– проблемное обучение;

– обучение на основе опыта.

Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы организации учеб­ного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов, индиви­дуальные и групповые консультации.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оце­ночные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.


Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой об­разовательной и познавательной деятельности студента в период обучения. Текущая са­мостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов, разви­тие практических умений. Текущая самостоятельная работа включает в себя : работу с лекционным материалом, опережающую самостоятельную работу, подготовку к зачету и экзамену.

Контроль самостоятельной работы студентов и качество освоения дисциплины осуще­ствляется посредством:

– опроса студентов при проведении практических занятий;

– проведения контрольных работ;

– выполнения студентами самостоятельных домашних работ по вариантам;

– проверки выполнения домашних заданий.


При изучении данной дисциплины студентам предлагается следующий перечень контрольных вопросов для самостоятельной работы.


Перечень контрольных вопросов

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


1.Понятие матрицы. Равенство матриц. Транспонирование матриц.

2.Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Свойства.

3.Умножение матрицы на матрицу. Свойства

4.Понятие определителя матрицы n-го порядка. Член определителя. Определение знака члена определителя путем подсчета инверсий.

5.Основные свойства определителя.

6.Алгебраические дополнения. Формулы разложения определителя

по столбцу и строке.

7.Понятие миноров и дополнительных миноров матрицы. Связь миноров с алгебраи­ческими дополнениями. Формулы разложения определителя по столбцу и строке.

8.Теорема Лапласа.

9.Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие

существования. Формулы вычисления. Основные свойства.

10.Понятие линейной зависимости. Необходимое и достаточное условие.

11.Понятие ранга матрицы. Основные свойства.

12.Теорема о базисном миноре. Второе определение ранга матрицы.

13.Вычисление ранга матрицы сведением ее к канонической.

14.Понятие системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные

системы. Матричная запись. Совместность и определенность.

15.Условие совместности системы (Теорема Кронекера-Копелли).

16.Квадратные системы. Формулы Крамера.

17.Теорема о числе решений. Базисная система уравнений. Главные и свободные не­известные.

18.Метод Гаусса.

19.Однородные системы. Условие нетривиальной совместности.

20.Фундаментальная система решений. Связь числа фундаментальных

решений с рангом системы.

21.Структура общего решения однородной и неоднородной систем.


ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.


1.Определение вектора. Длина вектора. Равенство векторов.

2.Сложение векторов. Свойства.

3.Умножение вектора на число. Свойства.

4.Понятие линейной зависимости векторов. Признаки линейной зависимости.

5.Понятие векторного пространства (V₁,V₂,V₃).Размерность.

6.Базис и координаты вектора (V₁,V₂,V₃).Связь между операциями над векторами и их координатами.

7.Условие коллинеарности векторов.

8.Аффинные и декартовы координаты точек на прямой, плоскости и в пространстве.

9.Ортогональная проекция вектора. Свойства. Связь с координатами вектора.

10.Скалярное произведение и его свойства.

11.Векторное произведение и его свойства.

12.Смешанное произведение и его свойства.

13.Формулы преобразования базиса на плоскости и в пространстве.

14.Формулы преобразования системы координат на плоскости и в пространстве.


АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


1. Понятия об уравнении линии на плоскости.

2. Понятия об уравнении поверхности и линии в пространстве.

3. Алгебраические линии и поверхности.

4. Параметрические уравнения линий и поверхностей.

5. Типы уравнений прямой на плоскости.

6. Типы уравнений плоскости.

7. Типы уравнений прямой в пространстве.

8. Уравнения линий второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

9. Виды поверхностей второго порядка.

10. Метод приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду.


ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.


1.Множества.Отображения.Алгебраические операции.

2.Понятие линейного пространства. Линейная зависимость.

Размерность. Базис и координаты вектора. Линейные

подпространства. Пересечение и сумма. Линейная оболочка.

3.Точечно-векторное аффинное пространство. Система координат.

Прямая и плоскость в V_n.

4.Понятие евклидова пространства. Скалярное произведение. Длина

вектора. Ортогональность. Ортонормированный базис.


ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.


1.Понятие линейного оператора. Действия над линейными операторами.

Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы оператора при изменении базиса.

2.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Характеристическое уравнение и характеристический многочлен.

Операторы простой структуры.

3.Нормальные операторы. Самосопряженный оператор.


БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.


1.Понятие билинейной и квадратичной формы. Матрица квадратичной

формы.

2.Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

3.Метод Якоби.

4.Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном ба­зисе.


Итоговая аттестация предусматривает сдачу зачета по темам практических занятий и экзамена по теоретическому курсу. Для итоговой аттестации подготовлены билеты – 30 шт. Билеты содержат два теоретических вопроса и задачу.


7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины


а) основная литература:


1. Лившиц К.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, ч.I. – Томск: Изд. НТЛ, 2008.

2. Лившиц К.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, ч.II. – Томск: Изд. НТЛ, 2008.

3.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия .-М.: Наука,1971.

4.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. -М.: Физматлит, 2004.

5.Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. -М.: Наука,1972.

6.Всеводин В.В. Линейная алгебра. -М.: Наука,1974.

7.Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Наука,1974.

8.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. -М.: Наука,1970

9.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - М.: Наука,1970.

10.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука,1975.


б) дополнительная литература:


1.Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука,1970.

2.Скорняков Л.А. Элементы алгебры. М.: Наука,1986.

3.Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука,1978.

4.Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Наука,1989.

5.Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.

6.Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю. Матрицы. Учебно-методическое пособие. ТГУ. Томск, 2002.

7.Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю. Системы линейных уравнений. Учебно-методиче­ское пособие. ТГУ. Томск,2002.

8.Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю. Линейные пространства. Учебно-методическое по­собие. ТГУ. Томск, 2004.

9.Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю. Линейные операторы. Квадратичные формы. Учебно-методическое пособие. ТГУ. Томск,2005.


в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы не предусмотрены.


8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)


В Научной библиотеке ТГУ имеется достаточное колическтво необходимой учеб­ной литературы по дисциплине.


Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки прикладная математика и информатика .


Автор : доктор техн. наук, профессор кафедры ПМ ФПМК Лившиц К.И.


Рецензент : доктор техн. наук, зав. кафедрой ИО ФПМК Горцев А.М.


Программа одобрена на заседании Ученого совета ФПМК ТГУ

от «____»___________ 2011 года, протокол № ________.