1 Основные физические свойства жидкостей Определение жидкости

Вид материала

Закон

Содержание 2 Основы статики и динамики жидкости Поверхностные силы Р — действующая поверхностная сила, p Условия действия поверхностных сил при равновесии жидкости. М ее граничной поверхности действует сила R Взаимодействие между частицами покоящейся жидкости. Q в пределах сечения является граничной поверхностью этой части. Поэтому на частицу M' Гидростатическое давление в точке Основная теорема гидростатики. Общие дифференциальные уравнения равновесия жидкости Основное дифференциальное уравнение гидростатики. Характеристическое уравнение. Поверхность уровня. Равновесие капельной жидкости в поле земного тяготения Уравнение поверхности уровня и свойства этой поверхности. C=const — произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей (параллельных осям 0х Распределение гидростатического давления. A, лежащей на поверхности, р=р Измерение давления в данной точке. Закон Паскаля. ... Полное содержание

Подобный материал:

• Фгоу впо «академия гражданской защиты мчс россии» перечень вопросов аттестационного, 222.62kb.
• Свойства жидкостей и твёрдых тел. Закон Гука, 107.94kb.
• Оборудование для хранения, транспортирования и дозирования жидкостей, 232.53kb.
• Связанные с механическим движением жидкости в различных природных и техногенных условиях, 1539.22kb.
• 24. Расчет мазутопровода при движении вязкопластичной жидкости, 71.73kb.
• Тема урока: Сера, ее физические и химические свойства, 107.64kb.
• Примерная программа дисциплины гидравлика (механика жидкости и газа) Рекомендуется, 377.85kb.
• Тема: Введение в гидравлику Лекция, 328.7kb.
• Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу «Механические и физические, 114.99kb.
• План механические свойства жидкостей и газов > 1 Текучесть и сжимаемость 2 Вязкость, 397.49kb.

2 Основы статики и динамики жидкости

Равновесное состояние жидкости и действующие силы

Если на некоторую массу жидкости не действовали и не действуют внешние силы, то каждая частица этой массы или остается неподвижной относительно данной системы координат, или движется прямолинейно c одинаковой для всех частиц скоростью, так что взаимное расположение частиц этой массы жидкости остается неизменным. Такое механическое состояние массы жидкости называется равновесным. При действии внешних сил рассматриваемая масса жидкости может или сохранить равновесное положение, или перейти в состояние движения. Для равновесия необходимо, чтобы эти силы удовлетворяли некоторым условиям, которые будут рассмотрены далее.

Внешние силы могут быть поверхностными и объемными (массовыми).

Поверхностные силы — это силы, действующие в точках граничной поверхности данной массы. Они пропорциональны размеру площадки Δω, взятой на этой поверхности, для которой можно написать равенство:

(22)

где Δ Р — действующая поверхностная сила, p — коэффициент пропорциональности, физический смысл которого очевиден из отношения р=ΔР/Δω, т.e. этот коэффициент представляет собой так называемое «напряжение».

Объемные (или массовые) силы — это внешние силы, пропорциональные объему жидкости (если данная масса однородна, т.e. плотность ее одинакова во всем объеме). Для объемных сил справедлива зависимость:

(23)

где k — коэффициент пропорциональности, физический смысл которого заключается в условии k=ρj (здесь ρ — плотность, j — ускорение данной объемной силы).


Условия действия поверхностных сил при равновесии жидкости.

Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять поверхностные силы при равновесии жидкости.

Представим некоторую массу жидкости, находящуюся в равновесном состоянии (рис. 5). Пусть в некоторой точке М ее граничной поверхности действует сила R. Разлагая эту силу по направлению нормали и касательной к граничной поверхности в этой точке, мы найдем две силы: силу N — нормальную к указанной поверхности и силу T — касательную к той же поверхности.



Рис. 5 Условия действия поверхностных сил


Сила N сжимает частицу M, и, поскольку жидкость сопротивляется сжатию; в этой точке (где расположена частица) может возникнуть реакция, которая уравновесит силу N; следовательно, частица М останется в равновесии. Сила Т — касательная сила - стремится сдвинуть частицу M. Чтобы сдвига не произошло и равновесное состояние не нарушалось, необходимо соблюдение условия T=0, или, иначе, для равновесия частицы М необходимо, чтобы равнодействующая сила R, действующая на частицу M, была направлена (по внутренней нормали n) к граничной поверхности, т.e. была сжимающей, a не растягивающей силой. Отсюда следует вывод — для сохранения равновесия массы жидкости необходимо, чтобы внешние силы, действующие в точках ее граничной поверхности, были направлены только по внутренним нормалям к этой поверхности.


Взаимодействие между частицами покоящейся жидкости. Рассмотрим силовое взаимодействие между частицами внутри массы жидкости. C этой целью пеpeсечем пространство, занятое покоящейся жидкостью, произвольной поверхностью Q (см. рис. 5); которая разделит массу жидкости на две части — верхнюю нижнюю. Рассмотрим затем равновесие, например, нижней части.

Поверхность Q в пределах сечения является граничной поверхностью этой части. Поэтому на частицу M', лежащую на этой поверхности, окружающие ее частицы верхней части действуют c некоторой сжимающей силой N'. Ввиду произвольности выбор секущей поверхности Q можем (проводя через точку M' произвольные поверхности Q₁, Q₂ и т. д.) сделать вывод, что все частицы внутри покоящейся массы жидкости испытывают всестороннее сжатие.

Гидростатическое давление в точке

Рассмотрим площадку Δω, на которую действует сила ΔР (рис. 6). Отношение р=ΔР/Δω, очевидно, представляет собой «напряжение», т.e. силу, приходящуюся на единицу площади.



Рис. 6 К понятию гидрастического давления


Так как при равновесии жидкости ΔР является сжимающей силой, то p представляет собой среднее для данной площадки напряжение сжатия, которое называют средним гидростатическим давлением на площадке. Для получения точного значения p в данной точке надо определить предел этого отношения при Δω_, что и определит гидростатическое давление в данной точке:

(24)


Размерность [p] равна размерности напряжения, Па.

Основная теорема гидростатики.

Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которой она расположена:

(25)

где p_x, p_y, p_z —гидростатические давления по направлению координатных осей, р_n — то же, по произвольному направлению n.

Для доказательства выберем внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, объем в форме тетраэдра (рис. 7) и, полагая его отвердевшим, напишем для него (как для твердого тела) условия равновесия в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:



Рис. 7 К теореме о независимости гидростатического давления от направления


(26)

При уменьшении объема тетраэдра в пределе до нуля система действующих сил преобразуется в систему сил, проходящих через одну и ту же точку, и, таким образом, уравнения моментов теряют смысл.

Составим уравнение проекций сил на ось Ox.

На рассматриваемый тетраэдр действуют четыре поверхностные силы (по числу граней тетраэдра), направленные по нормалям к соответствующим граням, и объемная сила dF. Проектируя эти силы на ось 0x, получим:

(27)

Где:

(28)

(29)

так как _ представляет собой проекцию площадки _ на плоскость, перпендикулярную оси 0х.

Объемная сила

(30)

где dm — масса тетраэдра, равная:

(31)

j — ускорение, создаваемое этой силой.

Введем обозначение:

(32)

где Х, Y и Z — проекции ускорения внешней объемной силы

После подстановки (28), (29), (30) с учетом (31) и (32) в (27) получим уравнение:

(33)

сокращая (33) на _, найдем:

(34)

Опуская в (34) третье слагаемое как величину высшего порядка малости по сравнению c двумя первыми, получим:

(34)

Очевидно, по аналогии можем написать:

(35)

(36

и, наконец,

(37)

что доказывает теорему.

Гидростатическое давление в точке, будучи одинаковым по любому направлению, неодинаково в различных точках пространства, т. е. р есть функция координат:

(38)

Общие дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Уравнение Эйлера. Выберем внутри покоящейся жидкости параллелепипед c ребрами, расположенными параллельно координатным осям 0x, 0y и 0z (рис. 8) и равными соответственно dx, dy и dz. Составим уравнения равновесия этого параллелепипеда в виде уравнений проекций сил (согласно предыдущим рассуждениям уравнения моментов теряют смысл):

(39)

Проектируя силы на ось 0х, согласно рис. 8 имеем:

(40)

Определим каждое из слагаемых выражения (40).

Поверхностные силы dP и dP’ соответственно равны:

(41)

(42)

где p и р' — средние гидростатические давления соответственно на площадки ABCDA и А'В'С'D'А' (рис. 8).



Рис. 8 К выводу уравнений равновесия жидкости


Так как гидрoстатическое давление является функцией координат, среднее гидростатическое давление на площадке А'В'С'D'А' будет равно:

(43)

потому что при переходе от площадки ABCDA к площадке А'В'С'D'А' изменяется только координата x. Тогда выражение (42) для поверхностной силы примет вид:

(44)

Проекция объемной силы для массы dm=ρdxdydz равна:

(45)

Подставляя в (40) значeния слагаемых (41), (43), (45) запишем:

(46)

Раскрывая в (46) скобки и (после приведения подобных членов) сокращая на dх dy dz, получим уравнение проекций сил на ось 0x в виде:

(47)

Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси 0у и 0z, в результате чего система трех уравнений равновесия жидкости (уравнения Эйлера) запишется в виде:

(48)

Основное дифференциальное уравнение гидростатики. Перепишем уравнения Эйлера в несколько другом порядке:

(49)

Умножив каждое из уравнений (49) соответственно на dx, dу и dz и произведя сложение правых и левых частей уравнений, получим:

(50)

Так как гидростатическое давление p зависит только от трех независимых переменных координат x, y и z, левая часть этого равенства представляет собой полный дифференциал функции _

(51)

Делая подстановку, находим окончательно:

(52)

Уравнение (52) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики, так как его использование позволяет решать основные задачи гидростатики.


Характеристическое уравнение.

В основном дифференциальном уравнении гидростатики (52) неизвестны две величины: p и ρ (значения X, Y и Z, а также координаты точки обычно заданы.) Таким образом, для определенности решения необходимо иметь еще одно независимое уравнение, в качестве которого используется так называемое характеристическое уравнение, определяющее собой особенности данной жидкости.

Например, рассматривая равновесие капельной жидкости и считая ее абсолютно несжимаемой, характеристическим уравнением будет условие

(53)

а для газа – уравнение (11):

В общем виде условия равновесия можно записать в виде функции, характеризующей особенности сжатия данной жидкости:

(54)


Поверхность уровня.

Поверхностью уровня называется такая поверхность, все точки которой имеют одно и то же значение рассматриваемой функции: например, поверхность равной температуры (изотермическая поверхность), поверхность равного потенциала и т. д. Для рассмотрения задач гидравлики особо важное значение имеет поверхность равного давления. Имея в виду в дальнейшем изложении именно поверхность равного давления, будем условно называть ее кратко поверхностью уровня.

Равновесие капельной жидкости в поле земного тяготения

Поверхность уровня. Рассмотрим равновесие жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Тогда ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально. Расположим координатную ось 0z вертикально; при этом ускорение свободного падения g=9,81 м/с² будет направлено параллельно оси 0z.

Уравнение поверхности уровня и свойства этой поверхности. Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, т.e. p=const, то dp=0 и из основного дифференциального уравнения гидростатики (52) получим:

(55)

Так как плотность _то:

(56)

где X, Y и Z – функции координат.

Уравнение (56) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности, для которой p = const, т.е. уравнение поверхности уровня.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z, входящие в общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (56), будут равны соответственно:

(58)

где g_x, g_y, g_z – проекции ускорения g по координатным осям.

Подставляя значения (58) в уравнение (56), получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

(59)

Интегрируя уравнение (59), находим:

(60)

Так как C=const — произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей (параллельных осям 0х и 0у).

Итак, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Пусть, например, резервуар заполнен водой или иной жидкостью (Рис. 2.7, а).



Рис. 9 Поверхности уровня


Так как во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково и равно атмосферному, то свободная поверхность жидкости будет поверхностью уровня и, следовательно, будет горизонтальной плоскостью.

Проведем произвольную горизонтальную плоскость n—n. Эта плоскость также будет поверхностью уровня, и, следовательно, во всех точках этой плоскости давление будет одинаковым (что справедливо и для любой плоскости n₁ —n₁).

Так как плоскости n—n и свободной поверхности параллельны между собой, то все точки плоскости n—n находятся на одной и той же глубине. Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины точки погружения и на одинаковой глубине гидростатическое давление в любой точке будет одним и тем же.


Распределение гидростатического давления. Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (52).

В случае равновесия жидкости в поле земного тяготения основное уравнение имеет вид:

 (61)

Но произведение _где _ — удельный вес данной жидкости.

Делая подстановку и деля обе части уравнения (61) на _, перепишем его в следующем виде:

(62)

и, интегрируя, найдём (при _)

 (63)

Чтобы определить постоянную интегрирования С, рассмотрим резервуар, наполненный водой (рис. 10), со свободной поверхностью (атмосферное давление).



Рис. 10 К определению постоянной интегрирования

Тогда для точки A, лежащей на поверхности, р=р₀ и z=z₀. Подставляя эти значения в (63), находим, что произвольная постоянная интегрирования:

(64)

и уравнение (63) запишется в виде:

(65)

или:

(66)

Уравнение (66) называют основным уравнением гидростатики.

Рассмотрим уравнение (66) более подробно.

Все слагаемые, входящие в него, имеют линейную размерность: z и z_o — координаты свободной поверхности и произвольной точки М, т.e. высоты расположения свободной поверхности и точки М; р_о/_ и р/_ — высоты, соответствующие гидростатическому давлению на поверхности р_о и p в точке M.

Постоянная интегрирования C имеет также линейную размерность; обозначим ее через H.

Величины z и р/_ часто называют в гидравлике геометрической и пьезометрической высотами, тогда Н как сумма двух высот будет также высотой — ее называют гидростатическим напором. Согласно рис. 10, величина Н представляет собой ординату горизонтальной плоскости, именуемой плоскостью гидростатического напора. Эта плоскость расположена выше плоскости свободной поверхности на высоту р_о/_.

Измерение давления в данной точке. Гидростатическое давление более удобно вычислять по формуле (66). Так как разность (z_o-z) представляет собой глубину h погружения данной точки под уровень свободной поверхности, то можно написать уравнение (66) в виде:

(67)

Именно в такой записи и используют это уравнение для вычисления гидростатического давления.

Закон Паскаля. Из уравнения (67) видно, что в любой точке жидкости (на любой глубине h) гидростатическое давление р зависит от величины внешнего давления р_о на свободной поверхности. При увеличении внешнего давления точно на ту же величину увеличится и давление в данной точке. Таким образом, жидкость обладает свойством передавать внешнее давление всем расположенным внутри ее частицам жидкости без изменения. B этом заключается закон Паскаля.

Абсолютное и избыточное давление. Вакуум

Абсолютным давлением p называется гидростатическое давление, определяемое по формуле (67).

Из этой формулы следует, что абсолютное давление слагается из двух составляющих: внешнего давления р_о, передаваемого жидкостью по закону Паскаля, и давления, определяемого величиной _. Последнее называют относительным или, если на свободной поверхности жидкости действует атмосферное давление, избыточным давлением.

Равновесие газов

Основные уравнения и поверхность уровня

Как отмечалось выше, газы относятся к сжимаемым жидкостям, и уравнения равновесия и движения газов отличаются от таковых для капельной жидкости лишь тем, что они должны учитывать сжимаемость газов. Поэтому полученные ранее дифференциальные уравнения равновесия являются общими для капельной жидкости и газов.

Итак, для газов справедливы:

• дифференциальное уравнение равновесия (52)
  
• характеристическое уравнение (54)
  
• уравнение поверхности уровня (56)
  

Рассмотрим равновесие газов в условиях земного тяготения и решим основную задачу — распределение гидростатического давления, т.e. определим функцию _.

Поверхность уровня.

Расположим координатную систему так, чтобы оси 0х и 0у были горизонтальны, a ось 0z была направлена вверх. Тогда проекции ускорения объемной силы (силы земного тяготения) соответственно равны: X=0, Y=0 и Z=-g (Рис. 3.1).

Подставляя эти значения в уравнение поверхности уровня, получим (так же, как и для капельной жидкости)

-_=0 (3.1)

и, интегрируя это уравнение, найдем -_ или z=C, т. e. уравнение семейства горизонтальных плоскостей. Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остается неизменным. При равновесии газа гидростатическое давление в точке изменяется только c высотой расположения этой точки _.

Эту зависимость находится путем совместного решения основного дифференциального уравнения гидростатики (52) и характеристического уравнения (11)