Ю. П. Драница Судоводительский факультет мгту, кафедра высшей математики и программного обеспечения ЭВМ

Вид материала

Документы

Содержание М., Недра

Подобный материал:

• Н. И. Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра Математического, 169.45kb.
• Н. И. Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра Математического, 172.6kb.
• Н. И. Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра Математического, 123.69kb.
• Н. И. Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра Математического, 132.68kb.
• Н. Э. Баумана Факультет "Инженерный бизнес и менеджмент" Кафедра "Менеджмент", 786.11kb.
• И. И. Мечникова Институт математики, экономики и механики Кафедра математического обеспечения, 900.66kb.
• По ЭВМ перечень примерных контрольных вопросов и заданий для текущей работы, 40.23kb.
• Кафедра системного анализа, 34.57kb.
• Программа дисциплины «компьютерная подготовка», 147.49kb.
• Правительство Российской Федерации Национальный исследовательский университет Высшая, 320.55kb.

где R(i) - значение функции автокорреляции при i-ом сдвиге.

Это выражение позволяет по известной последовательности чисел А_il, i = 1,2,...,l и дисперсии ошибки прогноза D_l вычислить значение ФАК в l-ой точке. Обобщим это уравнение на многомерный случай. Для перспективного прогноза аналог выражения (17) будет выглядеть следующим образом

R(0) R(-1) … R(-l)		E		Dbl
R(1) R(0) … R(-l+1)		Abl1	=	0
… … … …		…		…
R(l) R(l-1) … R(0)		Abll		0	(18)

где E - единичная матрица размера m´m; R(k) - искомые субматрицы автокорреляций при сдвиге k; 0 – нулевая матрица размера m´m.

Нетрудно показать, что аналогом формулы (17) в случае ретроспективного прогноза является выражение следующего вида

R(0) R(-1) … R(-l)		Apll		0
R(1) R(0) … R(-l+1)		Ap,(l-1),1	=	0
… … … …		…		…
R(l) R(l-1) … R(0)		E		Dpl	(19)

Уравнение (18) позволяет вычислить матрицу R(l), если известны матрицы R(0), R(1), ... , R(l-1) по следующей формуле


R(l) = -å_i R(l-i)A_bil, i = 1,2,…,l. (20)


Аналогичным образом уравнение (19) дает возможность определить матрицу R(-l), если известны матрицы R(0), R(-1), ... , R(-l+1) по следующему выражению


R(-l) = -å_i R(-i) A_p(l-i)l, i = 1,2,…,l. (21)


Как видно из приведенного алгоритма, для начального старта метода требуется знать матрицу R(0), а остальные могут быть получены по формулам (20), (21). Матрица дисперсий R(0) в данном алгоритме вычисляется по стандартным методикам. Практические расчеты корреляционных матриц по алгоритмам (20), (21) совмещены с последовательностью вычисления матриц A_bl, A_pl по формулам (16), что способствует минимизации затрат общего времени расчетов.

Отметим, что полученные по данному методу ВФАК имеют принципиальные отличия от аналогичных параметров, рассчитанных по классическому варианту. Для стационарного случая в обеих методиках имеет место равенство

R_b(t) = R¢_p(-t),

A_b(k) = A¢_p(k). (22)


Рассмотрим теперь нестационарный процесс. Формально и в этом случае для классического метода соотношения (22) будут выполняться, так как соответствующие матрицы получаются простым их усреднением по прямому и обратному временам. В то же время анализ формул (12-14, 16, 18-22) показывает, что для разработанного приближения соотношение (22) не выполняется и, следовательно, будет наблюдаться некоторое рассогласование корреляционных функций, рассчитанных в перспективном и ретроспективном направлениях. Это явление можно объяснить, как несоответствие статистической структуры процесса в прямом и обратном времени. Этот факт кажется почти тривиальным, если принять во внимание, что прогнозируемость информации зависит от целого ряда статистических факторов, которые могут по-разному локализоваться во времени, определяя неравноправность прямого и обратного прогнозов. В частности, одной из причин, во многом определяющих прогнозируемость процесса, является тренд.

С другой стороны, алгоритмы (20), (21) можно рассматривать как прогноз матриц ВФАК на l-ой временной задержке по их значениям на предыдущих сдвигах с помощью параметров линейной модели A_bi, A_pi. Так как, по сравнению с классическим вариантом, эти параметры учитывают более тонкие особенности статистической структуры данных, полученные оценки ВФАК являются статистически более обоснованными и точными и, следовательно, обеспечивают более достоверное продолжение корреляционных функций. Известно (Рожков, Трапезников, 1990), что для одномерных векторов и в стационарном приближении этот метод используется для построения спектров. По сравнению с классическими схемами расчета спектра, этот подход обеспечивает большее разрешение по частоте и устойчивость полученных результатов. Учитывая, что спектр и ВФАК имеют взаимно однозначное соответствие, такой результат обеспечивается за счет достоверной экстраполяции корреляционных функций по нескольким начальным и наиболее достоверным ее значениям. Таким образом, предлагаемая методика позволяет строить более достоверные оценки ВФАК с более высоким разрешением и точностью даже при больших лагах модели. Все эти рассуждения могут быть перенесены и на более общий, многомерный стационарный случай.

Мера рассогласования корреляционных матриц для прямого и обратного времен может служить критерием тренда процесса. Вычисление автокорреляций прогноза и ретроспекции по реальным данным показывает, что это рассогласование проявляется в форме систематического смещения этих функций относительно друг друга (даже для одномерного случая). Степень этого рассогласования как раз и связана с систематическим смещением составляющих фазового вектора. Более тщательный анализ этой проблемы показывает, что имеется принципиальная возможность разделить корреляционную функцию на трендовую, "сигнальную" и "шумовую" компоненты, что является шагом к явному определению этих составляющих фазового вектора. Корреляционные матрицы могут быть использованы и для проверки полноты информационного базиса. Здесь под полнотой информационного базиса понимается возможность в рамках линейного подхода по имеющимся в наличии данным построить модель с заданными свойствами по точности. Успешный прогноз может быть построен только для достаточно связанных данных, что может быть проверено по матрицам взаимной корреляции.

В данной статье рассмотрен одношаговый предсказатель, однако метод легко может быть изменен и для прогноза с большей задержкой. Действительно, пусть требуется осуществить прогноз на s шагов (s > 1). Для этого достаточно в качестве стартовой итерации выбрать итерацию с номером i_н = s + 1 (напомним, что для одношагового прогноза стартовая итерация равна 2). Далее приведенная выше методика может быть использована без изменений.

Отметим также, что стандартные методы решения этой задачи для стационарного случая требуют затрат времени ЭВМ пропорционально (m´l)³ и объемов машинной памяти пропорционально величине (m´l)². Для матриц Теплица, свойства которых использованы в данном алгоритме, требуются затраты времени пропорционально (m´l)² и объем памяти пропорционально величине 2´m´l.


4. Заключение

Разработанный метод был протестирован на реальном геофизическом материале. Выполненная проверка показала, что он позволяет моделировать достаточно сложные геофизические процессы. Алгоритмы обладают повышенной устойчивостью даже при порядках моделей (3-4), близких к длине интервала наблюдения. Традиционные методы при этом не работают из-за вырождения обращаемых матриц. Достигаемая точность метода на 15-30 % выше, чем у классических подходов (при одинаковых порядках моделей). Улучшение достигается как за счет учета нестационарности анализируемых процессов, так и применением методически более обоснованных способов анализа информации.

Особенно эффективен алгоритм в сочетании с методом нейроподобного моделирования, где компактность и быстродействие играют решающую роль. Так как при моделировании попутно вычисляются автокорреляционные матрицы, методика позволяет успешно решать многие задачи многомерного спектрального анализа. Более того, как и в одномерном случае (Никитин, 1979), многомерный спектр может быть построен на основе матриц А_b, А_p.

Важным достоинством метода является принципиальная возможность явного определения трендовой, "сигнальной" и "шумовой" составляющих процесса.


Литература


Клаербоут Дж.Ф. Теоретические основы обработки геофизической информации. М., Недра, 304 с., 1981.

Котюк А.Ю., Ольшевский В.В., Цветков Э.И. Методы и аппаратура для анализа характеристик случайных процессов. М., Энергия, 237 с., 1967.

Макузе Ю.И. Алгоритмы для уравнивания геодезических сетей на ЭВМ. М., Недра, с.56-57, 1989.

Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации. М., Недра, 342 с., 1979.

Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М., Наука, с.73, 1968.

Рожков В.А., Трапезников Ю.А. Вероятностные модели океанологических процессов. Л., Гидрометеоиздат, 272 с., 1990.

Сильвия М.Т., Робинсон Э.А. Обратная фильтрация геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ. М., Недра, 248 с., 1983.

Троян В.М., Соколов Ю.М. Методы аппроксимации геофизических данных на ЭВМ. Л., Ленинградский университет, 302 с., 1989.

Химмерблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., Мир, 534 с., 1975.