Утверждаю

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Ректор
(декан, директор института)

_______________________

"_____"__________20___ г.

Рабочая программа дисциплины (модуля)

Математика. Теория вероятностей и математическая статистика

Направление подготовки

Химия- 020100

Профиль подготовки

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

(очная, очно-заочная и др.)

Кемерово

Год 2010

1. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины (модуля) «Математика. Теория вероятностей и математическая статистика» являются:

формирование математической культуры студентов, фундаментальная подготовка студентов в области теории вероятностей и математической статистики, овладение современным аппаратом обработки статистических данных для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Математика. Теория вероятностей и математическая статистика» включена в базовую часть профессионального цикла, является базовой дисциплиной в освоении математических знаний. Для освоения теории вероятностей и математической статистики используются знания по дисциплинам: линейная алгебра, математический анализ. Освоение теория вероятностей и математической статистики необходимо для обработки статистических данных,

при выполнении курсовых и дипломных работ.

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля)

ОК-5 – умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;

ОК-6 – использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

1) Знать: основные понятия, определения и свойства объектов теории вероятностей и математической статистики, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах профессионального цикла.

2) Уметь: решать задачи теории вероятностей, уметь применять полученные навыки для обработки статистических данных в других областях математического знания, дисциплинах профессионального цикла и научно-исследовательской работе.

3) Владеть: навыками нахождения вероятности случайного события, методам нахождения точечных и интервальных оценок параметров распределения, методом наибольшего правдоподобия, навыками проверки статистических гипотез.

4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Математика. Теория вероятностей и математическая статистика»

4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах)

Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц 180 часов.

4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом

Вид учебной работы	Всего часов
Общая трудоемкость базового модуля дисциплины	180
Аудиторные занятия (всего)	72
В том числе:
Лекции	36
Практические занятия	34
Самостоятельная работа	72
В том числе:
Подготовка к контрольной работе	10
Подготовка к проверочным работам работам	19=5+7+7
Предметно-ориентированный проект	18
Подготовка к коллоквиуму	20
Подготовка к тестированию	5
Вид итогового контроля	36 – экзамен

4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах)

№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Общая трудоёмкость (часах)	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)				Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Общая трудоёмкость (часах)	Учебная работа		В.т.ч. активных форм	Самостоятельная работа
				всего	лекции	практ.	В.т.ч. активных форм	Самостоятельная работа
1	Элементарная теория вероятностей	1	1-6	43	12	12		15	Блиц №1, №2, №3 контр. раб.
2	Математические основы теории вероятностей	1	7-9	29	6	6		7	проверочная работа
3	Модели случайных процессов	2	10	24	2	2		20	коллоквиум
4	Математические модели статистики, методы и процедуры оценивания параметров	2	11-14	23	8	8		7	проверочная работа
5	Проверка гипотез	2	15-16	26	4	4		18	предметно-ориентированный проект
6	Статистические методы и алгоритмы обработки экспериментальных данных	2	17-18	18	4	4		5	итоговый тест
								36	Экзамен

4.2 Содержание дисциплины

Содержание разделов базового обязательного модуля дисциплины

№	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела дисциплины	Результат обучения, формируемые компетенции
1	Элементарная теория вероятностей	События, операции над ними, относительная частота, вероятность; пространство элементарных исходов, сигма-алгебра; аксиомы Колмогорова, классическое и геометрическое определение вероятности; условная вероятность, независимые события; формула полной вероятности и формула Байеса; схема повторения независимых испытаний Бернулли, формула Бернулли, предельные теоремы схемы Бернулли.	ОК-5 Должен: знать понятия события, относительной частоты и вероятности, корректные постановки классических задач; уметь доказать аксиомы Колмогорова, свойства вероятности, вывести формулы полной вероятности, Байеса, формулу Бернулли; ориентироваться в постановках задач; владеть навыками нахождения вероятности случайного события при различных постановках задач.
2	Математические основы теории вероятностей	Случайные величины, законы распределения, функция распределения, плотность распределения вероятностей; основные примеры дискретных и непрерывных распределений; числовые характеристики случайных величин, их свойства; двумерные случайные величины. Закон больших чисел, центральная предельная теорема.	ОК-5; ОК-6 Должен: знать понятия случайной величины, закона распределения, функции распределения, плотности распределения; уметь вывести формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального, пуассоновского, равномерного, экспоненциального и нормального законов распределения; владеть навыками нахождения числовых характеристик случайных величин, построения графиков их законов распределения.
3	Модели случайных процессов	Классификация, Математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Марковские цепи.	ОК-5; ОК-6 Должен: знать понятия случайного процесса, стационарного случайного процесса, Марковской цепи; уметь проверить стационарность случайного процесса; владеть навыками расчета характеристик случайного процесса, нахождения распределения по состояниям цепи Маркова через некоторое количество шагов.
4	Математические модели статистики, методы и процедуры оценивания параметров	Обработка выборки, графические представления выборки: полигон, гистограмма, кумулята; эмпирическая функция распределения; точечные оценки параметров распределения: оценки меры центральной тенденции, оценки меры изменчивости, выборочная асимметрия и эксцесс; свойства точечных оценок; принцип максимального правдоподобия; интервальные оценки неизвестного математического ожидания и дисперсии нормальной генеральной совокупности.	ОК-6 Должен: знать суть выборочного метода, суть метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов; уметь находить оценки меры центральной тенденции и оценки меры изменчивости с помощью расчетной таблицы и по графическим характеристикам; владеть навыками обработки конкретной выборки, представленной в виде дискретного и интервального вариационного ряда,, навыками нахождения интервальных оценок неизвестных параметров распределения по выборочным данным.
5	Проверка гипотез	Основные понятия: статистическая гипотеза, основная и альтернативная гипотеза, статистический критерий, ошибки I и II рода, уровень значимости критерия и мощность критерия, виды критических областей; параметрические критерии: критерий проверки равенства дисперсий нормальных генеральных совокупностей, критерии проверки равенства двух генеральных средних, критерий проверки равенства математического ожидания некоторому конкретному значению, критерий сравнения наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления случайного события; критерий согласия Пирсона.	ОК-6 Должен: знать понятия статистической гипотезы, основной и альтернативной гипотезы, статистического критерия, ошибок I и II рода, уровня значимости критерия и мощности критерия, виды критических областей; уметь понять поставленную задачу, выбрать статистический критерий для ее решения, сформулировать результат; владеть навыками проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий по критерию Фишера, о равенстве математических ожиданий по критерию Стьюдента, о равенстве эмпирических и теоретических распределений по критерию Пирсона.
7	Статистические методы и алгоритмы обработки экспериментальных данных	Элементы регрессионного и корреляционного анализа; построение выборочного уравнения линейной регрессии; нахождение выборочного коэффициента корреляции и оценка тесноты корреляционной связи; проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.	ОК-6 Должен: знать основные понятия регрессионного анализа, вид уравнения линейной регрессии, формулу выборочного коэффициента корреляции; уметь по величине выборочного коэффициента корреляции делать вывод о связи между случайными величинами; владеть навыками расчета параметров уравнения линейной регрессии по выборочным данным.

5. Образовательные технологии

Традиционная учебная деятельность: лекционно-семинарская система обучения.

Лекции, практические занятия.

Модульно-рейтинговая система: учебный материал разделяется на содержательно-логически завершенные части (модули), после изучения которого предусматривается аттестация в форме контрольной работы, теста, коллоквиума. Каждый модуль включает обязательные виды работ – лекционные и практические занятия, домашние работы. Работы оцениваются в баллах, сумма которых дает рейтинг каждого учащегося. На основании полученного рейтинга выставляется зачет или экзамен.

В течение первых недель семестра проходят три блиц-опрос, занимающие 5-10 минут в начале 2-ого, 3-ого, 5-ого занятия (см.п.6.1). Их цель – проверить подготовку домашнего задания. Каждое задание оценивается в 3 балла за каждый вопрос. 1 балл соответствует оценке «удовлетворительно»; 2 балла – «хорошо»; 3 балла – «отлично». В общей сложности за ответы на блиц-опросы студент может набрать в 1 семестре 24 балла.

По окончании 5 недель изучения дисциплины проводится контрольная работа по теме «Нахождение вероятности случайного события» (см.п.6.2). За выполнение контрольной работы студент может получить 15 баллов. Студенты, набравшие более 13 баллов, освобождаются на зачете от задач по данному разделу.

В начале 8 занятия проводится проверочная работа на тему «Случайная величина» (см.п.6.3). За выполнение работы студент может получить 12 баллов за первую часть работы, и 6 за вторую. Студенты, набравшие более 10 баллов за первую часть и 6 баллов за вторую, освобождаются на зачете от задач по данной части курса.

После 11 недели изучения дисциплины проводится коллоквиум (см.п.6.4). При сдаче коллоквиума студент может получить 18 баллов. Студенты, набравшие более 16 баллов, освобождаются на зачете от теоретических вопросов по данной части курса.

Студенты, набравшие 20 баллов за блиц-опросы, 13 баллов за контрольную, 16 баллов за проверочную работу и 16 баллов за коллоквиум, освобождаются от первого вопроса на экзамене.

Затем студентам выдается задание на семестровую работу по теме «Случайные процессы» (см.п.6.5). За выполнение работы студент может получить 18 балла. Выполнение семестровой работы является необходимым условием сдачи экзамена. Студенты, набравшие более 16 баллов, освобождаются на экзамене от задач по данной части курса.

В начале 11 занятия проводится проверочная работа на тему «Обработка выборки» (см.п.6.6). За выполнение работы студент может получить 9 баллов. Студенты, набравшие более 7 баллов, освобождаются на экзамене от задач по данной части курса.

После 12 недели изучения дисциплины студенты выполняют индивидуальное задание по теме «Метод наименьших квадратов» (см.п.6.7). За выполнение задания студент может получить 9 баллов. Студенты, набравшие более 7 баллов, освобождаются на экзамене от задач по данной части курса.

В течение всего семестра студенты выполняют предметно-ориетированный проект на тему «Статистические методы и алгоритмы обработки данных» (см.п.6.8). За выполнение работы студент может получить 33 балла. Студенты, набравшие более 28 баллов, освобождаются на экзамене от задач по данной части курса.

Студенты, получившие освобождение от первого вопроса на экзамене и набравшие более 16 баллов за семестровую работу, более 7 баллов за проверочную работу по «Обработке выборки», более 7 баллов за индивидуальное задание по «Методу наименьших квадратов» и более 28 баллов за предметно-ориетированный проект, получают право сдать экзамен в виде теста по теме «Математическая статистика» (см.п.6.9). При ответе на 7 вопросов из 8 студенту выставляется оценка «отлично», на 6 вопросов – оценка «хорошо».

Квазипрофессиональная деятельность в виде неимитационных неигровых технологий и методов: проектный метод.

При выполнении предметно-ориентированного проекта на тему «Статистические методы и алгоритмы обработки данных» студенты делятся на группы по 3 человека. Им необходимо самостоятельно определить источники информации, способы ее сбора и анализа, способа представления результатов (формы отчета). Установить процедуры и критериев оценки результата и процесса разработки проекта. Распределить задания и обязанностей между членами команды. Осуществить требуемые расчеты, используя приложение Microsoft Exel.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

6.1. Вопросы для блиц-опросов.

1. Блиц-опрос №1. Основные определения. Классическое определение вероятности. Комбинаторика

Определение случайного события.
Какое событие называется достоверным, невозможным.
Какие события называются несовместными.
Какая группа событий называется полной.
Какие события называются равновозможными.
Что называется вероятностью случайного события.
Что такое относительная частота случайного события.
Определение пространства элементарных исходов эксперимента.
Какая совокупность подмножеств называется сигма-алгеброй.
Какой исход благоприятствует происхождению события А.
Что такое сумма событий.
Что такое произведение событий.
Что такое разность событий.
Что такое противоположное к А событие.
Как найти вероятность противоположного события к А.
Чему равна вероятность события достоверного.
Чему равна вероятность события невозможного.
Классическое определение вероятности. Условия его применимости.
Комбинаторное правило суммы.
Комбинаторное правило произведения.
Определение числа перестановок без повторений из n элементов. Формула для его нахождения.
Определение числа размещений без повторений из n элементов по k элементов. Формула для его нахождения.
Определение числа сочетаний без повторений из n элементов по k элементов. Формула для его нахождения.
Определение .

2. Блиц-опрос № 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и Байеса.

Определение суммы событий.
Определение произведения событий.
Определение противоположного события.
Определение несовместных событий.
Теорема сложения вероятностей двух совместных событий.
Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий.
Теорема сложения вероятностей нескольких несовместных событий.
Определение условной вероятности .
Определение независимых событий.
Формула для нахождения условной вероятности .
Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий.
Теорема умножения вероятностей двух независимых событий.
Теорема умножения вероятностей нескольких зависимых событий.
Теорема умножения вероятностей нескольких зависимых событий.
Формула полной вероятности. Условия применимости. Свойства группы гипотез.
Формула Байеса. Условия применимости.
Формула для нахождения вероятности происхождения хотя бы одного из n независимых, но совместных событий .

3. Блиц-опрос № 3. Схема повторения независимых испытаний Бернулли

Схема Бернулли: основные составляющие условия.
Формула Бернулли.
Формула Пуассона. Условия применения.
Формула Муавра-Лапласа. Условия применения.
Интегральная теорема Лапласа. Условия применения.
Вероятность отклонения относительной частоты случайного события от его теоретической вероятности не более, чем на .
Физический смысл формулы .
Локальная функция Лапласа. Ее свойства. Ее график.
Интегральная не усеченная функция Лапласа. Ее свойства. Ее график.
Интегральная усеченная функция Лапласа. Ее свойства. Ее график.

6.2. Темы задач контрольной работы «Нахождение вероятности случайного события»

1. Классическое определение вероятности.

2. Геометрическое определение вероятности.

3. Условная вероятность.

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

5. Формула полной вероятности, формула Байеса.

6. Формула Бернулли.

7. Предельные теоремы схемы Бернулли.

Примерный перечень задач контрольной работы:

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 20. Найти вероятность того, что номер наудачу извлеченного жетона не содержит цифру 5.
Из 5 сбербанков 2 расположен за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 3 сбербанков. Найти вероятность того, что среди отобранных банков в черте города окажется ровно: 2 сбербанка; 1 сбербанк; хотя бы один сбербанк.
Вероятность наличия нужного материала на первой, второй, и третьей базах соответственно равны 0,6; 0,7. Найти вероятность того, что нужный материал есть: 1) на всех базах; 2) ровно на одной базе; 3) хотя бы на одной базе.
Вероятность поломки первого, второго и третьего станка за смену соответственно равны 0,1; 0,1; 0,2. Найти вероятность того, что за смену сломается: ровно один станок; ровно два станка; все станки; хотя бы один станок.
В цехе 3 станка. Производительность станков соотносится как 5:6:3. Вероятность брака 1-ого станка – 0,02; 2-ого – 0,1; 3-его – 0,01. Какова вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется бракованной?
В первой урне 3 белых и 4 черных шара; во второй урне 4 белых и 5 черных шаров. Из наугад выбранной урны наугад извлекли шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что он был извлечен из 1-ой урны?
В цехе – 4 мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент в рабочем состоянии, равна 0.8. Найти вероятность того, что в данный момент находятся в рабочем состоянии: ровно 2 мотора; ровно 3 мотора; хотя бы один мотор.
Телефонная станция обслуживает 10000 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты абонент позвонит равна 0,0005. Какова вероятность того, что в следующую минуту позвонит: ровно 1 абонент; не более 3 абонентов; не менее 2 абонентов.
По мишени производится 100 выстрелов. Вероятность попадания – 0,9. Какова вероятность того, что попаданий будет: ровно 88; ровно 10; от 86 до 92; не более 85.

6.3. Вопросы и примерные задачи для самостоятельной работы по теме «Случайная величина»

Условие нормировки для непрерывной случайной величины.
Свойства плотности распределения вероятностей.
Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Как ведут себя функция распределения и плотность распределения вероятностей в .
Записать плотность распределения вероятностей для равномерно распределенной в отрезке [3;8] случайной величины.
Записать функцию распределения для равномерно распределенной в отрезке [5;10] случайной величины.
Построить график плотности распределения вероятностей для равномерно распределенной в отрезке [0;4] случайной величины.
Построить график функции распределения для равномерно распределенной в отрезке [1;6] случайной величины.
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

Найти математическое ожидание и дисперсию для равномерно распределенной в отрезке [3;8] случайной величины.
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

Записать плотность распределения вероятностей для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .
Записать функцию распределения для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .
Построить график плотности распределения вероятностей для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .
Построить график функции распределения для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

Записать закон распределения для биномиальной случайной величины, распределенной с параметрами n=10, р=0,3.
Найти математическое ожидание и дисперсию биномиальной случайной величины, распределенной с параметрами n=5, р=0,5.
Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

где значения случайной величины х_i= 0, 1, … , n, а n и р – параметры распределения. Записать формулу для нахождения ее математического ожидания и дисперсии.
Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

где значения случайной величины х_i= 0, 1, … , 5. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром .
Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

,

где значения случайной величины х_i= 0, 1, … , n … , а

– параметр распределения. Записать формулу для нахождения ее математического ожидания и дисперсии.

Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

,

где значения случайной величины х_i= 0, 1, … , n, … . Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Случайная величина задана плотностью распределения вида:

.

Найти математическое ожидание и дисперсию.

Случайная величина задана плотностью распределения вида:

.

Найти математическое ожидание и дисперсию.

Случайная величина задана плотностью распределения вида:

.

В интервал с какими границами попадает эта величина с вероятностью 99,7%.

Дана случайная величина вида N [3 ; 2]. Найти математическое ожидание и дисперсию.
Дана случайная величина вида N [1 ; 5]. В интервал с какими границами попадает эта величина с вероятностью 99,7%.

Примерный вариант задач самостоятельной работы.

Вариант 1

Работник обслуживает три станка. Вероятность поломки каждого из них за смену равна: 0,2 - для первого, 0,3 – для второго, 0,3 – для третьего. X – случайная величина, характеризующая количество станков, отказавших за смену. Найти закон распределения, F(x) (график), M(X), D(X), (X), построить многоугольник распределения и вынести на него математическое ожидание и трехсигмовый интервал.
Условие нормировки для непрерывной случайной величины.
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины,

.

закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

6.4. Вопросы к коллоквиуму

Определение случайного события. Достоверное событие, невозможное событие, противоположное событие.
Относительная частота появления события.
Определение вероятности.
Вероятностное пространство: определение W.
Вероятностное пространство: s-алгебра; исход, благоприятствующий событию А.
Определение суммы, произведения, разности событий.
Определение полной группы событий. Определение группы несовместных событий. Определение группы равновозможных событий.
Аксиомы Колмогорова.
Свойства вероятности.
Классическое определение вероятности (условия применимости).
Правило суммы. Правило произведения.
Число перестановок без повторений. Число сочетаний без повторений.
Число размещений без повторений. Число размещений с повторениями.
Геометрическое определение вероятности.
Определение условной вероятности. Формула для нахождения условной вероятности. Независимые события.
Теорема умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей.
Формула полной вероятности (условия применения).
Формула Байеса (условия применения).
Схема независимых испытаний Бернулли: формула Бернулли.
Схема независимых испытаний Бернулли: формула Пуассона.
Схема независимых испытаний Бернулли: формула Муавра - Лапласа.
Схема независимых испытаний Бернулли: интегральная теорема Лапласа.
Схема независимых испытаний Бернулли: формула вероятности отклонения частоты происхождения события А от вероятности его происхождения.
Определение случайной величины: дискретные и непрерывные случайные величины.
Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
Определение функции распределения. Свойства.
Определение плотности распределения. Свойства.
Биномиальное с параметрами n и p распределение. Пуассоновское с параметрами l распределение.
Равномерное с параметрами а и b распределение. Экспоненциальное с параметрами a распределение.
Нормальное с параметрами а и s распределение. Правило трех сигм.
Определение математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин.
Свойства математического ожидания.
Формулы для математического ожидания известных распределений.
Определение дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин. Среднеквадратическое отклонение.
Свойства дисперсии.
Формулы для дисперсии известных распределений.
Определение моды и медианы.
Определение и смысл асимметрии.
Определение и смысл эксцесса.
Таблица дискретной двумерной случайной величины.
Функция распределения двумерной случайной величины. Свойства. Вероятность попадания в прямоугольник.
Плотность распределения двумерной случайной величины. Свойства. Плотности составляющих.
Математическое ожидание составляющих (отличие от одномерного случая).
Дисперсии (среднеквадратические отклонения) составляющих. Отличие от одномерного случая.
Ковариация. Свойства.
Коэффициент корреляции. Свойства.

6.5. Темы задач семестровой работы: «Случайные процессы».

1. Задан случайный процесс. Найти его математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию.

2. Задан случайный процесс. Определить, будет ли он стационарным.

3. Дана матрица перехода за один шаг однородной цепи Маркова и начальное распределение по состояниям. Найти распределение по состояниям через 2 шага.

6.6. Вопросы для самостоятельной работы по теме «Обработка выборки»

Определение генеральной совокупности.
Определение выборки.
Суть выборочного метода
Ранжированный ряд.
Вариационный ряд.
Интервальный ряд.
Частота варианты.
Относительная частота варианты.
Накопленная частота для числа х числовой оси.
Относительная накопленная частота для числа х числовой оси.
Накопленная частота интервала.
Полигон частот.
Гистограмма.
Кумулята.
Как найти медиану по кумуляте.
Как найти моду по гистограмме.
Мода выборки (определение).
Медиана выборки (определение).
Формула для нахождения моды дискретного ряда.
Формула для нахождения моды интервального ряда.
Формула для нахождения медианы интервального ряда.
Выборочное среднее. Формула для его нахождения.
Выборочная дисперсия. Формула для ее нахождения.
Выборочное среднеквадратическое отклонение. Формула для его нахождения.
Исправленная выборочная дисперсия. Формула для ее нахождения.
Исправленное среднеквадратическое отклонение. Формула для его нахождения. Чем оно лучше?
Вариационный размах.
Среднее линейное отклонение.
Коэффициент вариации.
Выборочная асимметрия. Формула для ее нахождения
Выборочный эксцесс. Формула для его нахождения.
Определение несмещенной оценки.
Определение состоятельной оценки.
Определение эффективной оценки.
Эмпирическая функция распределения.

Примерный вариант задания на самостоятельную работу.

Вариант 3

Что называется частотой интервала.
Выборочная дисперсия. Формула для ее нахождения.
Дано:

	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6
	2	3	4	1	1

Построить кумуляту. Найти медиану по кумуляте.

6.7. Примерный вид индивидуального домашнего задания.

1. Используя метод наименьших квадратов найти параметры зависимости выборочные данные, которой имеют вид:

а)

– параболической зависимости

	1	2	3	4	5
	6	11	18	27	38

б)

– гиперболической зависимости

	1	2	3	4	5
	6	5.5	5.3	5.25	5.2

В таблице приведены данные о зависимости стоимости эксплуатации самолета Y (млн. руб.) от его возраста Х (лет). Считая эту зависимость линейной, найти оценки неизвестных параметров.

x_i	1	2	3	4	5	6	7	8
y_i	3	3,5	3,5	4	4	6	9	10

6.8. Предметно-ориетированный проект на тему ««Статистические методы и алгоритмы обработки данных».

Дана корреляционная таблица, полученная в результате n измерении двух количественных признаков (X,Y) у объектов генеральной совокупности. Найти:

1. Эмпирическое распределение для каждой составляющей.

2. Для каждой составляющей определить оценки меры центральной тенденции, оценки меры изменчивости, выборочную асимметрию и эксцесс. Сделать вывод.

3. Для каждой составляющей построить полигон частот, кумуляту, эмпирическую функцию распределения.

4. Проверить гипотезу о равенстве математического ожидания генеральной совокупности Х найденному выборочному среднему.

5. Проверить гипотезу о равенстве генеральных средних X и Y.

6. Проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий Х и Y.

7. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Y.

8. Построить корреляционное поле. Найти выборочное уравнение линейной регрессии и вынести его на корреляционное поле.

9. Найти выборочный коэффициент корреляции и оценить тесноте корреляционной связи.

6.9. Темы дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», входящие в тест.

9.1. Первичная обработка выборки.

9.2. Точечные оценки неизвестных параметров распределения.

9.3. Свойства точечных оценок.

9.4. Свойства известных точечных оценок.

9.5. Интервальные оценки неизвестных параметров распределения.

9.6. Основные понятия проверки статистических гипотез.

9.7. Свойства выборочного коэффициента корреляции.

Дополнительные вопросы к итоговому тесту

Когда применяются интервальные оценки.
Что такое точность интервальной оценки.
Что такое надежность интервальной оценки.
Что находится в середине доверительного интервала при оценках различных параметров.
Как связана точность интервальной оценки с объемом выборки и надежностью.
Каков общий вид интервальной оценки.
Как формулируется задача интервального оценивания.
Как находится точность интервальной оценки при нахождении доверительного интервала для неизвестного среднего нормально распределенной генеральной совокупности при известном параметре σ.
Какой таблицей нужно пользоваться при нахождении интервальной оценки неизвестного среднего нормально распределенной генеральной совокупности при известном параметре σ.
Как находится точность интервальной оценки при нахождении доверительного интервала для неизвестного среднего нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном параметре σ.
Какой таблицей нужно пользоваться при нахождении интервальной оценки неизвестного среднего нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном параметре σ.
Определение статистической гипотезы.
Параметрические и непараметрические гипотезы.
Основная гипотеза.
Альтернативная гипотеза. Виды альтернативной гипотезы.
Статистический критерий. Наблюдаемое значение критерия.
Критическая область и область допустимых значений критерия.
Критические точки. Виды критических областей.
Ошибки I и II рода.
Уровень значимости критерия.
Мощность критерия.
Подход Неймана – Пирсона.
Алгоритм проверки статистической гипотезы.
Как формулируется основная гипотеза при проверке критерия Фишера.
Какой таблицей нужно пользоваться при проверке гипотезы о равенстве дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
Как формулируется основная гипотеза при проверке критерия Стьюдента.
Какой таблицей нужно пользоваться, при проверке гипотезы о равенстве генеральных средних при известных дисперсиях.
Какой таблицей нужно пользоваться, при проверке гипотезы о равенстве генеральных средних при неизвестных дисперсиях.
Какой таблицей нужно пользоваться, при проверке критерия сравнения наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления случайного события.
Как от вида альтернативной гипотезы зависит способ нахождения критической точки при проверке критерия Фишера.
Как от вида альтернативной гипотезы зависит способ нахождения критической точки при проверке критерия сравнения двух средних при известных дисперсиях.
Как от вида альтернативной гипотезы зависит способ нахождения критической точки при проверке критерия Стьюдента.
Как от вида альтернативной гипотезы зависит способ нахождения критической точки при проверке критерия сравнения наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления случайного события.
Как формулируются гипотезы при решении задачи по критерию Пирсона.
Как находится наблюдаемое значение критерия при проверке близости эмпирического и теоретического распределения.
Как находится критическая точка при решении задачи по критерию Пирсона.

Примерный вариант теста.

Вариант 1

1.Упорядоченные по возрастанию наблюдаемые значений называются

А) вариационным рядом

В) ранжированным рядом

С) интервальным рядом

2. Выборка представлена распределением вида

ее объем равен

	3	7	11	14
	6	24	34	16

А) 34; В) 4; С) 80.

3. Критерии согласия относятся к критериям, делающим вывод о

А) равенстве дисперсий;

В) равенстве средних;

С) близости эмпирических и теоретических распределений.

4. Метод наименьших квадратов является методом

А) построения доверительных интервалов;

В) сравнения выборочных средних;

С) получения точечных оценок неизвестных параметров зависимости.

5. Исправленное среднеквадратическое отклонение является -------- оценкой генерального среднеквадратического отклонения

А) несмещенной;

В) неоптимальной;

С) смещенной.

6. К мерам центральной тенденции относятся

А) дисперсия и размах;

В) мода и медиана;

С) выборочное среднее и дисперсия.

7. Точность интервальной оценки неизвестного параметра распределения, это величина, зависящая

А) от объема выборки обратным образом, а от доверительной вероятности – прямым;

В) от объема выборки прямым образом, а от доверительной вероятности – обратным;

С) от объема выборки и доверительной вероятности обратным образом.

8. При проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нормальных генеральных совокупностей, для нахождения критических точек используется

А) таблица интегральной функции Лапласа;

В) таблица критических точек распределения Стьюдента;

С) таблица критических точек распределения Фишера.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

а) основная литература:

Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. для вузов / В. А. Колемаев, В. Н. Калинина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 352 с.: ил.
Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Статистика, 1980. – 347 с. ил.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, 2008. – 479 с.: граф., табл.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике –М.: Высшая школа, 1979.- 400 с., ил.

б) дополнительная литература:

Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1986. – 80 с., ил.
Вентцель Е. С. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.– 372 с.
Гутова С. Г. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.- метод. пособие / ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; сост. С. Г. Гутова. –Кемерово: ИНТ, 2008. – 108 с.

Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий; мультимедийная аудитория для проведения лекций; набор слайдов (презентаций) по дисциплине «Математика. Теория вероятностей и математическая статистика»; компьютерный класс для выполнения расчетно-графической работы.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки Химия – 020100

Автор: Гутова Светлана Геннадьевна, к. т. н. доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики КемГУ.

Рецензент (ы) _________________________

Рабочая программа дисциплины
обсуждена на заседании кафедры

Протокол №

от «

201

г.

Зав. кафедрой ________________________ Карташов В. Я.
(подпись)

Одобрено методической комиссией факультета

Протокол №

от «

201

г.

Председатель ________________________ Серебренникова Н. В.
(подпись)

Blog

Утверждаю

Содержание