Утверждаю

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

УТВЕРЖДАЮ

Декан ФПМК

________________ Горцев А.М.

"_____"_______________2011 г.

Рабочая программа дисциплины

«Численные методы»

Направление подготовки

010400 – Прикладная математики и информатика

Квалификация выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

Томск - 2011

1. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Численные методы» являются:

- дать студентам знания по теории численных методов;

- дать студентам навыки применения численных методов для решения практических задач с использованием ЭВМ.

2. Место дисциплины «Численные методы» в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина относится к вариативной части профессиональноого цикла (Б.3) основной образовательной программы. Студент должен знать дисциплины математического и естественнонаучного цикла:

- математический анализ;

- линейная алгебра и геометрия;

- теория вероятностей и математическая статистика;

- основы информатики.

Также он должен знать следующие дисциплины профессионального цикла:

- дифференциальные уравнения.

Студент должен знать и уметь применять на практике методы математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики.

«Численные методы» должны быть предшествующими для дисциплин: имитационное моделирование, идентификация, адаптивные системы, практикум на ЭВМ, пакеты прикладных программ.

Студент должен:

- изучить математические методы, используемые при разработке численных методов решения задач;

- научиться использовать изученные методы для решения вычислительных задач.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Численные методы»

Результаты освоения ООП бакалавриата определяются приобретаемыми выпускником компетенциями, т.е. его способностью применять знания, умения и личные качества в соответствии с задачами профессиональной деятельности.

В результате освоения данной ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: общекультурными компетенциями (ОК):

- способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);

- способность владения навыками работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-11);

- способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-12).

Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):

научная и научно-исследовательская деятельность:

- способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);

- способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);

проектная и производственно-технологическая деятельность:

- способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и других источников (ПК-6);

- способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данных о современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7);

- способность формировать суждения о значении и последствиях своей профессиональной деятельности с учетом профессиональных, социальных и этических позиций (ПК-8).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

- терминологию, основные понятия и определения вычислительной математики;

- и применять на практике теорию погрешностей, теорию приближения функций, теорию численного дифференцирования и численного интегрирования, а также методы решения линейных и нелинейных уравнений, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Уметь:

- правильно выбирать численный метод для решения конкретной задачи;

- осуществлять расчет и анализ погрешностей численного метода;

- понимать и применять на практике компьютерные технологии численного решения практических задач.
Владеть:

- навыками решения практических задач с использованием численных методов.

4. Структура и содержание дисциплины «Численные методы»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц − 217 часов

№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов (СРС) и трудоемкость (в часах)			Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Лекции	Лаб	СРС
1	Введение	5	1-4	8	8	8	Текущий опрос студентов на занятиях. Проверка выполнения заданий
2	Приближение функций	5	5-13	18	18	14	Коллоквиум Проверка выполнения заданий
3	Численное дифференцирование	5	14-16	6	6	8	Текущий опрос студентов на занятиях. Проверка выполнения заданий. Зачет.

4	Численное интегрирование	6	1-3	6	6	6	Текущий опрос студентов на занятиях. Проверка выполнения заданий
5	Решение нелинейных уравнений	6	4-6	6	6	6	Текущий опрос студентов на занятиях. Проверка выполнения заданий
6	Численные методы решения задач линейной алгебры	6	7-9	6	6	6	Коллоквиум Проверка выполнения заданий
7	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.	6	10-12	6	6	6	Текущий опрос студентов на занятиях. Проверка выполнения заданий
8	Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.	6	13-15	6	6	6	Текущий опрос студентов на занятиях. Проверка выполнения заданий. Экзамен.
Итого:				62	62	60	33

ЛЕКЦИИ (32 часа)

5 семестр

Раздел 1. Введение (8 часов).

Предмет вычислительной математики. Использование компьютера для познания законов реального мира и применения познанных законов в практической деятельности. Примеры реальных процессов, математическое описание которых приводит к необходимости применения вычислительной математики. Требования, предъявляемые к задачам (устойчивость, корректность). Требования, предъявляемые к алгоритмам. Роль компьютера в исследовании сложных математических моделей. Диалоговый режим в вычислительном эксперименте. Проблема погрешностей в вычислительной математике. Погрешность модели, алгоритма, входных данных, вычислительного процесса. Источники и классификация погрешностей. Относительная и абсолютная погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Погрешность числа, заданного с верными знаками. Погрешность элементарных вычислительных операций. Общий подход к оценке погрешности вычислительного алгоритма.

Раздел 2. Приближение функций (18 часов)

Рассматриваются общие методы приближения функций, алгебраическое интерполирование, основные представления интерполяционного многочлена, многочлены Чебышева, остаточный член многочлена, минимизация остаточного члена, приближение функций сплайнами, метод МНК. Многочлены Эрмита. Теория сплайнов. Конечные разности и их свойства, интерполяционные многочлены для интерполирования в начале таблицы, конце таблицы и в средине таблицы. Остаточные члены интерполяционных формул, оценки погрешности метода и неустранимой погрешности. Аппроксимация в реальном масштабе времени. Аппроксимация функций многих переменных.

Раздел 3. Численное дифференцирование. (6 часов)

Вычисление производных с использованием интерполяционных многочленов. Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах. Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах. Оценки погрешностей. Применение квадратурных формул.

ЛЕКЦИИ (30 часов)

6 семестр

Раздел 4. Численное интегрирование (6 часов)

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Погрешность методов. Принцип Рунге. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Метод ячеек вычисления кратных интегралов. Методы Монте-Карло.

Раздел 5. Решение нелинейных уравнений (6 часов)

Численные методы решения скалярных уравнений и систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации, метод Ньютона. Геометрические иллюстрации методов. Условия сходимости итерационных процедур. Модификации основных методов решения уравнений. Метод решения нелинейных уравнений путем сведения к оптимизационным задачам.

Раздел 6. Численные методы решения задач линейной алгебры (6 часов)

Обусловленность и устойчивость систем. Классификация методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса, выбор главного элемента. Алгоритмизация метода Гаусса. Метод прогонки. Метод простой итерации. Оценка погрешности. Вычисление определителей, вычисление обратной матрицы. Вычисление характеристического многочлена матрицы.

Раздел 7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. (6 часов)

Классификация дифференциальных уравнений. Задача Коши и методы ее решения. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка. Геометрические иллюстрации методов. Оценки погрешностей. Автоматический выбор шага. Метод Адамса. Численное решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.

Раздел 8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. (6 часов)

Граничные и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Классификация задач. Метод стрельбы. Методы конечных разностей. Проекционные методы. Методы коллокации и Галеркина. Погрешности методов. Классификация уравнений в частных производных. Сеточные методы решения уравнений в частных производных. Метод конечных элементов.

Лабораторные занятия. (32 часа)

5 семестр

Лабораторная работа 1. Алгоритмизация вычислительных процессов с использованием интегрированных пакетов Matlab и Mathcad на простейших примерах

(2 часа).

Лабораторная работа 2. Анализ погрешностей вычислений. (2 часа).

Лабораторная работа 3. Использование матрицы Вандермонда (2 часа).

Лабораторная работа 4. Интерполяционный многочлен Лагранжа. (2 часа).

Лабораторная работа5. Схема Эйткена. (2 часа).

Лабораторная работа 6. Интерполяционный многочлен Ньютона. (2 часа).

Лабораторная работа 7. Анализ погрешностей при интерполировании (2 часа).

Лабораторная работа 8. Интерполяционные сплайны 1 порядка (2 часа).

Лабораторная работа 9. Интерполяционные сплайны 2 порядка (2 часа).

Лабораторная работа 10. Интерполяционные сплайны 3 порядка (2 часа).

Лабораторная работа 11. Эрмитовы сплайны (2 часа).

Лабораторная работа 12. Интерполирование при равноотстоящих узлах (4 часа).

Лабораторная работа 13. Многомерная аппроксимация (2 часа).

Лабораторная работа 14. Метод наименьших квадратов. (2 часа).

Лабораторная работа 15. Численное дифференцирование. (2 часа).

Лабораторные занятия. (30 часов)

6 семестр

Лабораторная работа 16. Численное интегрирование. (6 часа).

Лабораторная работа 17. Метод простой итерации для решения нелинейного уравнения. (2 часа).

Лабораторная работа 18. Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения.

(2 часа).

Лабораторная работа 19. Модификации метода простой итерации и метод Ньютона для решения нелинейного уравнения.

(2 часа).

Лабораторная работа 20. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

(2 часа).

Лабораторная работа 21. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. (2 часа).

Лабораторная работа 22. Методы решения систем нелинейных уравнений.

(4 часа).

Лабораторная работа 23. Вычисление обратной матрицы. (2 часа).

Лабораторная работа 24. Метод Данилевского. (2 часа).

Лабораторная работа 25. Численное решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. (2 часа).

Лабораторная работа 26. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. (2 часа).

Лабораторная работа 27. Численное решение уравнения параболического типа методом сеток. (2 часа).

Курсовая работа не предусмотрена.

5. Образовательные технологии

Предусмотрено использование в учебном процессе активных форм проведения занятий (семинары в диалоговом режиме, дискуссии, разработка конкретных ситуаций, групповые дискуссии). В рамках учебных курсов предусмотрены встречи с преподавателями российских и зарубежных вузов, участие бакалавров в работе научных конференциях.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная (внеаудиторная) работа студентов состоит в проработке лекций и изучении рекомендованной литературы, подготовке к лабораторным работам.

№ п\п	Вид самостоятельной работы в 5 семестре	Объем, час.
1.	Текущая проработка теоретического материала учебников и лекций	21
2.	Подготовка к лабораторным работам	9
Всего часов самостоятельной работы		30

№ п\п	Вид самостоятельной работы в 6 семестре	Объем, час.
1.	Текущая проработка теоретического материала учебников и лекций	22
2.	Подготовка к лабораторным работам	8
Всего часов самостоятельной работы		30

Всего часов самостоятельной работы по дисциплине «Численные методы» – 60.

Проработка лекционного материала и составление конспекта лекций оценивается преподавателем на консультациях в течение семестра.

Текущий контроль изучения дисциплины состоит из следующих видов:

контроль за правильным выполнением и своевременной сдачей лабораторных работ;
контроль за усвоением теоретического материала – проведение тестов по дисциплине.

Зачет осуществляется в 5 семестре в форме опроса по теоретической части дисциплины. Обязательным условием является выполнение всех лабораторных работ.

Экзамен осуществляется в 6 семестре в форме опроса по теоретической части дисциплины.

Контрольные вопросы:

1. Конечные разности, правильные конечные разности. Свойства конечных разностей.

2. 1 – ая и 2 –ая формулы Ньютона.

3. 1 –ая и 2 – ая формулы Гаусса.

4. Формула Стирлинга.

5. Формула Бесселя.

6. Интерполяционный кубический сплайн.

7. Эрмитовы сплайны.

8. Остаточные члены интерполяционных формул. Оценки погрешности метода и неустранимой погрешности.

9. Численное дифференцирование. Зависимость полной погрешности от шага таблицы. Определение оптимального шага.

10. Общая интерполяционная квадратура. Теорема 1.

11. Формулы Ньютона-Котеса. Теорема 2.

12. Формулы прямоугольников. Оценки погрешности.

13. Формула трапеций. Оценки погрешности.

14. Формула Симпсона. Оценки погрешности.

15. Формула 3/8. Оценки погрешности.

16. Квадратурные формулы наивысшей степени алгебраической точности.

17. Формула Гаусса.

18. Формула Эйлера.

19. Вычисление кратных интегралов. Метод ячеек.

20. Вычисление неопределенных интегралов.

21. Простейший метод Монте-Карло.

22. Геометрический метод Моте-Карло.

23. Метод простой итерации (случай одного уравнения).

24. Метод Ньютона (случай одного уравнения).

25. Модификации методов простой итерации и Ньютона.

26. Метод простой итерации (для систем нелинейных уравнений).

27. Метод Ньютона (для систем нелинейных уравнений).

28. Метод Лобачевского-Греффе.

29. Метод Рунге-Кутта.

30. Решение двухточечных краевых задач.

Примеры самостоятельных заданий по дисциплине «Численные методы»:

1. Подобрать интерполяционную формулу для интерполирования в начале или конце таблицы и с помощью этой формулы найти приближенное значение интерполируемой функции в точке

(

). При построении интерполяционной формулы использовать только правильные конечные разности, но не выше 4 -го порядка. Оценить погрешность метода

и неустранимую погрешность

предполагая, что табличные значения функции заданы с верными знаками.

2. Подобрать интерполяционную формулу для интерполирования в середине таблицы и с помощью этой формулы найти приближенное значение интерполируемой функции в точке

(

и неустранимую погрешность

предполагая, что табличные значения функции заданы с верными знаками.

3. Выполнить численное дифференцирование функции заданной таблично. Значение первой производной оценить в точке

(

). Оценить погрешность метода

и неустранимую погрешность

предполагая, что табличные значения функции заданы с верными знаками. Для вычисления производной использовать конечные разности не выше второго порядка.

Исходные данные для заданий 1-3: (пять вариантов)

1. 2. 3. 4. 5.

y₀= 2,718 y₀= 0,997 y₀= 0,413 y₀= 0,401 y₀= 0,739

y₁= 3,004 y₁= 0,991 y₁= 0,319 y₁= 0,368 y₁= 0,857

y₂= 3,320 y₂= 0,939 y₂= 0,256 y₂= 0,317 y₂= 0,928

y₃= 3,669 y₃= 0,839 y₃= 0,210 y₃= 0,249 y₃= 1,147

y₄= 4,055 y₄= 0,690 y₄= 0,177 y₄= 0,165 y₄= 1,324

y₅= 4,481 y₅= 0,493 y₅= 0,151 y₅= 0,070 y₅= 1,525

y₆= 4,953 y₆= 0,258 y₆= 0,130 y₆=-0,030 y₆= 1,755

y₇= 5,473 y₇=-0,004 y₇= 0,114 y₇=-0,127 y₇= 2,016

y₈= 6,049 y₈=-0,257 y₈= 0,100 y₈=-0,216 y₈= 2,314

y₉= 6,685 y₉=-0,535 y₉= 0,088 y₉=-0,292 y₉= 2,653

y₁₀= 7,389 y₁₀=-0,757 y₁₀= 0,079 y₁₀=-0,350 y₁₀= 3,039

2,02 1,05 1,02 1,07 1,98

1,56 1,56 1,48 1,45 1,54

4. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью геометрического метода Монте-Карло. Оценить погрешность метода при N=1000.

5. Вычислить приближенное значение интеграла с заданной точностью

с помощью метода средних прямоугольников.

6. Вычислить приближенное значение интеграла с заданной точностью

с помощью метода трапеций.

7. Вычислить приближенное значение интеграла с заданной точностью

с помощью метода Симпсона.

Варианты для заданий 4 – 7:

1)

, 2)

, 3)

, 4)

,

5)

.

8. Отделить корни графически и уточнить один из них методом простой итерации с точностью до

.

9. Отделить корни графически и уточнить один из них методом Ньютона с точностью до

.

Варианты для заданий 8, 9:

1)

, 2)

, 3)

, 4)

,

5)

.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

«Численные методы».

а) основная литература:

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов М.: Высшая школа, 2005.

2. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

3. Смагин В.И., Решетникова Г.Н. Численные методы. Часть 1. Учебное пособие. Томск: Изд-во ТГУ, 2008.

4. Грекова Т.И. Численные методы. Часть 2. Учебное пособие. Томск: Изд-во ТГУ, 2010.

б) дополнительная литература:

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Изд-во МГУ, 2006.

2. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.

3. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1972.

4. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: Высшая школа, 2000.

5. Домбровский В.В., Смагин В.И. Интерполирование. Учебно-методическое пособие. Томск: Изд-во ТГУ, 2006.

6. Решетникова Г.Н., Смагин В.И. Вычисление интегралов. Учебно-методическое пособие. Томск: Изд-во ТГУ, 1999.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. Образовательный математический сайт (www.exponenta.ru).

2. Консультационный центр Matlab (www.matlab.ru).

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Численные методы».

В распоряжении преподавателей и обучающихся имеется основное необходимое материально-техническое оборудование, а именно компьютеры с соответствующим компьютерным обеспечением, Интернет-ресурсы, доступ к полнотекстовым электронным базам, книжный фонд (3,8 млн. экземпляров) Научной библиотеки Томского университета. Для выполнения лабораторных работ по дисциплине используются персональные ЭВМ с процессорами Pentium 4, операционная система MS Windows ХР, пакет Mathcad 14 и пакет Matlab.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 010400 – Прикладная математики и информатика.

Автор: д.т.н., проф. Смагин В.И.

Рецензент: к.т.н., доц. Решетникова Г.Н.

Программа одобрена на заседании Ученого совета ФПМК

от «___»__________2011 г. Протокол № ________

Blog

Утверждаю

Содержание