Geum.ru

Протокол n 1 від 31 серпня 2005р

Вид материалаДокументы

Содержание


При прямому вимірюванні
При непрямому вимірюванні
Гранична похибка
Критерій Райта
Критерій Романовського
Подобный материал:
1   2   3

Завдання 1. Завод випускає електродвигуни, потужності яких стандартизовані і являють собою параметричний ряд R20 . Звітні дані заводу наведені в таблиці 1.7 :


Таблиця 1.7 - Початковий ряд R20

Потужність ( квт )
Річна програма (тис. шт.)
Витрати на матеріали (у.о.)
Інші витрати (у.о.)
Собівартість виробу (у.о.)
Собівартість річної програми (тис. у.о.)

2,2
7,1
35,2
23,5






3,5
3,8
42,0
22,6






5,0
1,3
50,9
24,2






7,5
6,9
58,1
25,3






11,0
3,0
98,8
33,0






16,0
4,2
114,6

36,9






22,0
2,2
146,6
45,5






30,0
1,2
178,2
41,8






45,0
0,6
313,1
93,5






60,0
0,3
367,4
91,8






80,0
0,1
576,1
135,1







100,0
0,1
607,0
133,2






125,0
0,1
687,8
151,0







Побудувати за допомогою початкового ряду R20 рідкий ряд R10 і більш густий ряд R40. Параметр z для визначення коефіцієнта зміни інших витрат прийняти рівним 0,25 . Вибрати із рядів найбільш прийнятний з економічної точки зору.

Варіанти наведені в таблиці 1.8 .


Таблиця 1.8

Варіант
Початковий ряд

1
R20(2,2...7,5)

2
R20(3,5...11)

3
R20(5...16)

4
R20(7,5...22)

5
R20(11...30)

6
R20(16...45)

7
R20(22...60)

8
R20(30...80)

9
R20(45...100)

0
R20(60...125)


Правила оформлення контрольних робіт викладені в Додатку А.


Тема 2. Загальні відомості про конструкторську документацію (ЄСКД)

При вивченні теми необхідно ознайомитись з основними стандартами виконання креслень і текстової конструкторської документації 8-10.

При виконанні завдань 2,3 звернути увагу на стандарти основного надпису для графічних і текстових конструкторських документів. Графічну роботу виконати на аркушах креслярського паперу формату А4 (210 х 297) олівцем.


Завдання 2. Виконати креслення деталі (втулки). Дані для свого варіанта взяти із таблиці 1.9, користуючись рис. 1.1. Приклади виконання креслень деталей наведені в Додатку А.


Таблиця 1.9

Варіант

D1
D2
D3
D4
L1
L2
L3

1
200,0065
11+0,018
14
150,0055
2
20
23

2
250,0065
14+0,018
18
190,0065
3
25
29

3
300,008
17+0,018
21
230,0065
3
30
35

4
350,008
19+0,021
25
260,0065
4
35
40

5
400,008
22+0,021
28
300,008
4
40
46

6
450,008
25+0,021
32
340,008
5
45
52

7
500,0095
28+0,021
35
380,008
5
50
58

8
550,0095
30+0,025
39
410,008
6
55
63

9
600,0095
33+0,025
42
450,008
6
60
69

0
650,0095
363+0,025
46
490,008
7
65
75


В таблиці 1.9 D1,D2,D3,D4 - задані діаметри, L1,L2,L3 - задані довжини.

Параметри шорсткості для поверхонь втулок:
нестичні поверхні - Rz - від 20 до 10 мкм;
Ra - від 5 до 2,5 мкм;
посадочні поверхні - Ra - від 1,25 до 0,63 мкм .

Завдання 3. Виконати специфікацію складальної одиниці. Приклад наведений в Додатку А.


2 МЕТРОЛОГІЯ


Тема 1. Види вимірювань

Метрологія - наука про вимірювання, методи і засоби забезпечення їх єдності і способи досягнення точності, що вимагається.

Вимірювання надзвичайно різноманітні. Тому з метою полегшення їх вивчення вимірювання класифікують за рядом ознак 5. Всі вимірювання поділяють на чотири види: прямі, непрямі, сукупні і сумісні.

При прямому вимірюванні шукану величину знаходять безпосередньо по результатах експерименту

y=x ,

тобто ціль і об’єкт співпадають. Тут y - вихідна величина засобу вимірювання. Прикладом використання прямого вимірювання є прилади стрілочного типу, ваги з набором гирьок. Прямі вимірювання є одним з основних видів вимірювань.

При непрямому вимірюванні шукану величину знаходять за допомогою прямого вимірювання ряду параметрів та відомого функціонального зв’язку між ними. Рівняння вимірювання має вид


y = F( x1,x2, ... ,xn ) ,

де y - шукане значення величини;
x1,x2, ... ,xn - результати прямих вимірювань величин.
Прикладом непрямого вимірювання може служити вимірювання опору за допомогою амперметру і вольтметру


R = U / I .


Непрямі вимірювання використовують тоді, коли фізичну величину неможливо поміряти безпосередньо через відсутність приладу чи складність методу вимірювання, наприклад, при космічних чи ядерних експериментах, а також тоді, коли вони дають більш точний результат.

Сукупними називають вимірювання кількох однойменних величин, що виконують одночасно, і при яких шукані значення величин знаходять розв’язанням рівнянь, одержаних при прямих вимірюваннях різних сполучень цих величин. Таким чином, сукупні вимірювання математично можна виразити системою рівнянь:


f1 ( y1,y2, ... ,yn,x1,x2, ... ,xm ) = 0

f2 ( y1,y2, ... ,yn,x1,x2, ... ,xm ) = 0
... ... ... (2.1)

fn ( y1,y2, ... ,yn,x1,x2, ... ,xm ) = 0 ,


де y1,y2, ... ,yn - шукані величини;
x1,x2, ... ,xm - однойменні величини, що одержані при прямих вимірюваннях.
Рівняння в системі сукупних вимірювань можуть відрізнятись одне від одного видом і сполученням величин, які входять в кожне рівняння. Кількість рівнянь в системі повинна бути рівною або більшою за кількість невідомих величин.

Прикладом сукупних вимірювань може служити визначення гирьок набору по відомій масі однієї з них і по результатах прямих порівнянь мас різних сполучень гирьок. Є набір гирьок з номінальними масами 1,2,2’ (2’ - друга гиря такого ж номіналу). Калібрування цього набору можна виконати за допомогою однієї зразкової гирі, наприклад, масою 1 кг. Для цього на вагах з рівними плечима важать гирі в різних комбінаціях так, щоб у кожне нове вимірювання входила нова гиря і кількість вимірювань було б рівне кількості гирьок в наборі.

В результаті таких вимірювань одержують систему рівнянь, яка має вигляд:

1 = 1зр + а
1 + 1зр = 2 + б
2’ = 2 + в

В цій системі цифри позначають номінали гирьок набору, 1зр - маса зразкової гирі, букви а, б, в - маленькі гирьки, які добавляють на одну з чашок для рівноваги. Розв’язав цю систему рівнянь, визначають дійсні значення маси кожної гирі.

Сумісними називають вимірювання кількох різнойменних величин, що виконують одночасно для находження залежності між ними.

Сумісні вимірювання в загальному випадку можна виразити системою рівнянь, аналогічною системі (6.1), з тією різницею, що рівняння в системі сумісних вимірювань мають однаковий вигляд і одержуються при вимірюваннях одних і тих же різнойменних величин в різних умовах.

Прикладом сумісних вимірювань може служити визначення функціональної залежності електричного опору r терморезистору від температури t. У неширокому інтервалі температур ця залежність має вигляд

r = A * eB/t ,

де A і B - сталі, які залежать від фізичних властивостей і розмірів резистора. Для визначення сталих A і B вимірюють опір резистору r1 і r2 при двох температурах t1 і t2 , одержують систему рівнянь, з якої знаходять A і B.


Завдання 1. Визначити температуру газу, що знаходиться в закритому балоні, якщо його тиск збільшився на k % від початкового при нагріванні на T, використовуючи рівняння Клапейрона - Менделєєва


p*V = (m/)*R*T,


де р - тиск газу;

V - об’єм газу;

m - маса газу;

 - маса одного кіломоля газу;

R - універсальна газова стала, в системі СІ R = 8,31 * 103 Дж / (кмоль* К);

Т - температура газу в кельвінах.
До якого виду вимірювань можна віднести дане вимірювання?

Варіанти наведені в таблиці 2.1.


Таблиця 2.1

Варіант
k
T

1
0,2%
1K

2

0,25%
1K

3
0,4%
1K

4
0,5%
1K

5
0,8%
1K

6
0,2%
2K

7
0,25%
2K

8
0,4%
2K

9
0,5%
2K

0
0,8%
2K


Завдання 2. В результаті вимірювання одержали еквівалентний опір R трьох паралельно з’єднаних резисторів. Відомо, що опори резисторів відносяться як k1: k2 : k3. Визначити опір кожного резистора.

В випадку паралельного з’єднання еквівалентний опір R може бути знайдений за формулою


1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 ,


де R1 ,R2 ,R3 - значення опорів цих резисторів.
До якого виду вимірювань можна віднести дане вимірювання?

Варіанти параметрів R, k1, k2 , k3 наведені в таблиці 2.2.


Таблиця 2.2

Варіант
R
k1
k2
k3

1
30 ом
1
2

3

2
32 ом
1
2
4

3
30 ом
1
2
5

4
36 ом
1
3
4

5
30 ом
1
3
5

6
40 ом
1
4
5

7
36 ом
1
2
6

8

36 ом
1
3
6

9
48 ом
1
4
6

0
30 ом
1
5

6



Тема 2. Похибки вимірювань


На практиці кожне вимірювання фізичної величини виконується з деякою похибкою 5. Наявність похибки пояснюється різними причинами. Основними з них є: малий досвід оператора, спрацювання вимірювального приладу, неправильне установлення вимірювального приладу при виконанні вимірювань, зміна параметрів навколишнього середовища (температури, тиску, вологості), вплив зовнішнього електромагнітного поля і т. ін. Всі ці причини називають джерелами похибок. Для розробки методів виключення чи зменшення похибок, а також визначення їх значень всі похибки за причинами, які їх викликають, поділяють на три групи:

- систематичні похибки, які виникають під дією постійних або змінних за відомим законом факторів;

- випадкові похибки, які виникають під дією випадкової сукупності змінних за часом причин;

- грубі похибки, які ,в основному, обумовлені помилками оператора, різкою зміною напруги, живлення і ін.

Систематичні похибки можна визначити, урахувати заздалегідь і виключити із результатів вимірювань при виконанні деяких технічних рекомендацій (проведення калібрування приладу перед початком вимірювань, прогрівання приладу протягом часу, який указаний в інструкції по експлуатації, правильне розміщення приладу, розташування приладів удалині від сторонніх нагрівальних предметів і т. ін.).

Випадкові похибки можна виявити при багаторазовому вимірюванні однієї і тієї ж величини за допомогою одних і тих же приладів. Їх не можна виключити, але можна урахувати, використовуючи методи теорії ймовірностей і математичної статистики 15.

Якщо фізичну величину з істинним значенням X0 вимірювати n разів, то одержимо n результатів вимірювань


X1 ,X2 ,X3 , ... ,Xn,


які відрізняються один від одного із-за наявності випадкових похибок:


1 = X1 - X0 , 2 = X2 - X0 ,3 = X3- X0 , ... ,n = Xn - X0 .


Появу випадкової похибки як випадкової події можна кількісно оцінити ймовірністю її появи. Під ймовірністю p(A) появи події A розуміють відношення числа m подій, що очікуються, до числа всіх можливих випадків n появи цієї події, тобто

p(A) = m / n .

Ймовірність визначають або теоретично на базі аналізу подій, що досліджуються, або експериментально ( проводять серію із n випробувань і визначають частоту появи m / n події A, яка появилася m разів ).

В практиці вимірювань зустрічаються похибки різні за значенням і з різною ймовірністю. Їх можна повністю охарактеризувати за допомогою закону розподілу випадкових похибок. Під законом розподілу випадкових похибок розуміють залежність, що дозволяє визначити ймовірність появи певних значень випадкових похибок. Закони розподілу встановлюють теоретично або експериментально.

Ймовірність появи випадкової похибки  в інтервалі ,


p(  ) =  y d , (2.2)

де y - закон розподілу, називають надійною ймовірністю. Таким чином, випадкові похибки можна характеризувати інтервалом їх припустимих значень і ймовірністю того, що вони не будуть виходити за цей інтервал. Інтервал звичайно вибирають симетричним відносно нульового значення випадкової похибки і границі його називають надійними.

Найбільш розповсюдженим законом розподілу випадкових похибок можна назвати нормальний закон. Ймовірність попадання випадкових похибок в інтервал з надійними границями -p, p для нормального закону розподілу визначається формулою

p - 2/(22)
p( -p<  < p ) = 2 / (2)  e d , (2.3)
0


де  - середній квадратичний відхил випадкової величини.
Визначення надійних границь за допомогою надійної ймовірності і навпаки, визначення надійної ймовірності за надійними границями виконують таким чином.

Інтеграл (2.3) після підстановки t = / і tp = p/ набуває вигляду

p( -p <  < p ) = p( -tp < t < tp ) =

tp -t2/2
= 2/2  e dt = 2( t ) . (2.4)
0

Функція ( t ) зветься інтегралом Лапласа; його значення для різних tp наведені в таблиці 2.3 .

В практиці вимірювань широко використовують середню квадратичну оцінку. Це така похибка, яка має надійні границі - і . Надійну ймовірність, яка відповідає цій оцінці, визначають за законом розподілу випадкових похибок.

Для нормального закону середня квадратична похибка ( p= і tp=1 ) відповідно до таблиці 2.3 має надійну ймовірність

p( - <  <  ) = 0,6827 .


Таблиця 2.3

tp
( t )
tp
( t )
tp
( t )
tp
( t )

0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,0000 0,0199 0,0398 0,0596 0,0793 0,0987 0,1179 0,1368 0,1554 0,1736 0,1915 0,2088 0,2257 0,2422 0,2580 0,2734 0,2881 0,3023 0,3159
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
0,3289 0,3413 0,3531 0,3643 0,3749 0,3849 0,3944 0,4032 0,4115 0,4192 0,4265 0,4332 0,4394 0,4452 0,4505 0,4554 0,4599 0,4641 0,4678
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
0,4713 0,4744 0,4772 0,4798 0,4821 0,4842 0,4861 0,4878 0,4893 0,4906 0,4918 0,4929 0,4938 0,4946 0,4953 0,4960 0,4965 0,4970 0,4974
2,85
2,90
2,95
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4978 0,4981 0,4984 0,49865 0,49931 0,49966 0,49984 0,49993 0,49997 0,499997 0,499997



Крім середньої квадратичної оцінки для нормального розподілу використовують граничну оцінку випадкових похибок.

Гранична похибка - оцінка випадкових похибок з надійними границями -3 ,3. Надійна ймовірність для неї визначається за таблицею 2.3 для t = 3. Вона дорівнює

p( -3 <  < 3 ) = 2(t)=0,9973 .

Ймовірність появи похибок більших, ніж 3, дорівнює різниці

1-2(t) = 0,0027 .

Таким чином, на 10 000 вимірювань припадає 27 вимірювань, похибки яких будуть більші за абсолютною величиною, ніж 3 (“правило 3“).

Якщо випадкова похибка задана граничною похибкою , то середня квадратична похибка цього ж вимірювання дорівнює


 = /3 ,

і навпаки.

Результат вимірювання може бути поданий або результатом одного спостереження, або середнім арифметичним результатів всіх спостережень і відповідними оцінками випадкових похибок.

Результатом одного спостереження користуються тоді, коли для методів і засобів вимірювань попередньо відомі закон розподілу та його характеристики. Середнім арифметичним результатів всіх вимірювань користуються, якщо про випадкові похибки немає ніяких попередніх відомостей, і тоді, коли необхідно одержати найбільш точний результат вимірювання.


Середнє арифметичне результатів n вимірювань

X = ( X1+ X2+ X3+...+ Xn ) / n =

= ( X0+1+ X0+2+ X0+3+...+ X0+n ) / n =

= X0 + (1+2+3+...+n ) / n = X0 +  , (2.5)

де X1, X2, X3,..., Xn - результати вимірювань;
X0 - істинне значення величини;
1,2,3,...,n - випадкові похибки спостережень;
 - похибка середнього арифметичного:

 = (1+2+3+...+n ) / n .


Середнє квадратичне значення випадкових похибок вимірювання визначається формулою:


n
 = ( (  i2 )/n ) (2.6)
i=1

Відповідно до закону великих чисел в теорії ймовірностей середнє арифметичне X випадкових величин збігається за ймовірністю до істинного значення величини X0, що вимірюється, при збільшенні числа вимірювань:

p( X = X0 )  1 і ,отже, похибка   0 .
n  
Однак на практиці число вимірювань є обмеженою величиною, тому похибка середнього арифметичного 0, і її оцінюють за допомогою закону розподілу. Закон розподілу похибки середнього арифметичного співпадає з законом розподілу випадкових похибок результатів спостережень. Однак розсіяння похибок середнього арифметичного буде меншим.

Середнє квадратичне значення похибок середнього арифметичного

 S =  / n . (2.7)


Середнє арифметичне результатів вимірювань називають математичним сподіванням величини, що вимірюється.

Якщо істинне значення величини X0 невідоме, то середнє арифметичне спостережень X приймають за дійсне значення величини і користуються випадковими відхилами vi результатів спостережень від середнього:

vi = Xi - X , i=1,...,n . (2.8)


За допомогою випадкових відхилень обчислюють “виправлене” середнє квадратичне значення випадкових похибок  за формулою:

n
 = ( (  vi2 )/(n-1) ) . (2.9)
I=1

При малому числі спостережень формула (2.9) дає завищене значення середнього квадратичного . Тому і оцінки випадкових похибок визначаються невірно.

Більш правильні значення надійних ймовірностей і границь для малого числа спостережень (n не більше 20) визначають за допомогою розподілу Стьюдента. Цей розподіл дозволяє визначити надійну ймовірність

tc
pc ( -c <  < c ) = 2  ydt , (2.10)
0

де y - функція розподілу Стьюдента:

 y = (n/2)(1+t2/(n-1))-n/2 / (((n-1)) ((n-1)/2)) ,

де (n/2), ((n-1)/2) - гамма-функції;


-tc, tc - надійні границі:


tc = c / S . (2.11)


В таблиці 2.4 наведені значення tc для різних значень надійної ймовірності pc і чисел вимірювань n, які обчислені на базі розподілу Стьюдента.

Грубі похибки - це великі за значенням похибки, які значно спотворюють результати вимірювань. Результати вимірювань, що містять в собі грубі похибки, повинні бути виключені як недостовірні.

Якщо в процесі вимірювання грубі похибки не були виявлені, то для перевірки користуються статистичними критеріями.

Критерій Райта. Якщо випадкове відхилення результату спостереження перебільшує 4, то це - груба похибка. Коли випадкове відхилення знаходиться в діапазоні від 3 до 4, то спостереження відносять до промаху,якщо немає упевненості в закономірності результату. Критерій Райта достовірний для великого (n>30) числа спостережень.

Критерій Романовського. Для оцінки за допомогою цього критерію обчислені з різною надійною ймовірністю граничні припустимі значення похибок (таблиця 2.5). Відносні значення t = / припустимих значень випадкових похибок  наведені в ній для різних надійних ймовірностей p і чисел вимірювань n. Критерій Романовського використовують для малого числа спостережень.

Похибка, яка виникає в процесі вимірювання, є, як правило, наслідком дії багатьох причин. Тому перелічені вище групи похибок розглядають як складові похибки вимірювання, тобто загальна похибка вимірювання є сумою систематичної і випадкової похибок.

Результати вимірювань часто використовуються в подальших обчисленнях. Наприклад, результати прямих вимірювань використовуються для визначення результату непрямого, сукупного чи сумісного вимірювань. Тому для спрощення обчислень і зменшення ймовірності появи помилок важливо правильно записувати результат вимірювання, виходячи з таких правил:

а) виражати похибку однією значущою цифрою;

б) результат вимірювання округлювати до цифри розряду, рівного розряду останньої цифри похибки.
Дві цифри в значенні похибки застосовують тільки при особливо точних вимірюваннях.


Таблиця 2.4




Значення tc для pc , рівних

n
0,5
0,9
0,95
0,98
0,99
0,995
0,999

2
1,000
6,31
12,71
31,8
63,70
127,3
637,2

3
0,816
2,92
4,30
6,96
9,92
14,1
31,6

4
0,765
2,35
3,18
4,54
5,84
7,5
12,94

5
0,741
2,13
2,77
3,75
4,60
5,6
8,61

6
0,727
2,02
2,57
3,36
4,03
4,77
6,86

7
0,718
1,943
2,45
3,14
3,71
4,32
5,96

8
0,711
1,895
2,36
3,00
3,50
4,03
5,40

9
0,706
1,860
2,31
2,90
3,36
3,83
5,04

10
0,703
1,833
2,26
2,82
3,25
3,69
4,78

11
0,700
1,812
2,23
2,76
3,17
3,58
4,59

12
0,697
1,796
2,20
2,72
3,11
3,50
4,49

13
0,695
1,782
2,18
2,68
3,06
3,43
4,32

14
0,694
1,771
2,16
2,65
3,01
3,37
4,22

15
0,692
1,761
2,14
2,62
2,98
3,33
4,14

16
0,691
1,753
2,13
2,60
2,95
3,29
4,07

17
0,690
1,746
2,12
2,58
2,92
3,25
4,02

18
0,689
1,740
2,11
2,57
2,90
3,22
3,96

19
0,688
1,734
2,10
2,55
2,88
3,20
3,92

20
0,688
1,729
2,00
2,54
2,86
3,17
3,88



0,674
1,645
1,96
2,33
2,58
2,81
3,29



Таблиця 2.5




t для p, рівного

n
0,95
0,98
0,99
0,995

2
15,56
38,97
77,96
779,7

3
4,97
8,04
11,46

36,5

4
3,56
5,08
6,53
14,46

5
3,04
4,10
5,04
9,43

6
2,78
3,64
4,36
7,41

7
2,62
3,36
3,96
6,37

8
2,51
3,18
3,71
5,73

9
2,43
3,05
3,54
5,31

10

2,37
2,96
3,41
5,01

11
2,33
2,89
3,31
4,79

12
2,29
2,83
3,23
4,62

13
2,26
2,78
3,17
4,48

14
2,24
2,74
3,12
4,37

15
2,22
2,71
3,08
4,28

16
2,20
2,68
3,04
4,20

17
2,18
2,66
3,01
4,13

18
2,17
2,64
3,00
4,07

19
2,16
2,62
2,95
4,02

20
2,145
2,60
2,93
3,98

21
2,14
2,59
2,91
3,95



1,96
2,33
2,58
3,29



Приклади використання методів теорії ймовірностей в метрологічних задачах


Приклад 1. Випадкова величина має нормальний розподіл з відомим середнім квадратичним відхилом =3. Визначити надійний інтервал для оцінки дійсного значення Х вимірюваної величини, якщо кількість вимірювань n=36 і задана надійна ймовірність р=0,95 .

Розв’язання.

За формулою (2.4)


2*(tр) = 0,95 , звідки (tр) = 0,475 .

За таблицею 2.3 tp = 1,96 . Середній квадратичний відхил середнього арифметичного за формулою (2.7) дорівнює

S =  / n .

Враховуючи те, що tp = p / S , одержимо


p = tp *  / n = 1,96 * 3 / 36 = 0,98  1,0 ,

тобто надійний інтервал для оцінки дійсного значення вимірюваної величини

(Х-1, Х+1) .


Приклад 2. Визначити необхідну кількість вимірювань довжини деталі, якщо середній квадратичний відхил  = 0,05 , а випадкова похибка вимірювання з надійною ймовірністю р = 0,95 не перевищує 0,01.

Розв’язання.

За формулою (2.11) t =  / S , а із (2.7) маємо S =  / n . Тому

t =  * n /  .


Звідки


n = t2 * 2 / 2 .


За допомогою таблиці 2.3 знаходимо значення t для заданої надійної ймовірності. Як і в попередньому прикладі, t = 1,96 . Значення , відомі, тому


n = 1,962 * 0,052 / 0,012  96 .


Приклад 3. За результатами 10 вимірювань довжини деталі одержали такі значення


10,8 10,9 11,0 11,1 10,9

11,1 11,0 10,7 10,8 10,9 .

Визначити дійсне значення довжини деталі і випадкову похибку вимірювання з надійною ймовірністю 0,95 , вважаючи, що вона розподілена за нормальним законом.

Розв’язання.

Розв’язання задачі поділимо на кілька етапів.
1. Знайдемо дійсне значення довжини деталі за формулою (2.5) .
2. Випадкові відхили результатів вимірювань від середнього підрахуємо за допомогою формули (2.8) .
3. За формулою (2.9) знайдемо “виправлене” середнє квадратичне випадкових похибок.
4. Для визначення випадкової похибки вимірювання скористуємось розподілом Стьюдента, а саме: таблицею 2.4 для визначення відносної похибки вимірювання і формулою (2.11) для визначення випадкової похибки вимірювання.

Для зручності обчислень побудуємо таку таблицю:


Таблиця 2.6

i
Xi
vi= Xi - X
vi2

1
10,8
-0,1
0,01

2
10,9
0,0
0,0

3
11,0
0,1
0,01

4
11,1
0,2
0,04

5
10,9
0,0
0,0

6
11,1
0,2
0,04

7
11,0
0,1
0,01

8
10,7
-0,2
0,04

9
10,8
-0,1
0,01

10
10,9
0,0
0,0

X = (  Xi)/ 10 =  vi2= 0,16

= 10,9


За формулою (2.9)

 = (0,16/9) = 0,4 /3  0,1 .


Відносну похибку вимірювання tc знайдемо з таблиці 2.4 для заданої надійної ймовірності 0,95 і 10 вимірювань:


tc = 2,26 .


Тепер за формулою (2.7) визначимо середнє квадратичне похибок середнього арифметичного S:

S = 0,1 /  10  0,03 .


Відповідно до формули (2.11) випадкова похибка с дорівнює:


с = tc * S = 2,26 * 0,03  0,07 .


Таким чином, дійсне значення довжини деталі дорівнює 10,9 з випадковою похибкою 0,07 при заданій надійній ймовірності.


Приклад 4. По результатах 10 вимірювань з надійною ймовірністю р = 0,95 визначений середній квадратичний відхил  = 0,02 . Максимальний відхил результатів від дійсного значення фізичної величини  = 0,05 . Чи є похибка грубою?

Розв’язання.

Знайдемо відносну похибку для заданого максимального відхилу:


t =  /  = 0,05 / 0,02 = 2,5 .


Скористуємось таблицею 2.5 для визначення граничного значення відносної похибки t по заданих значеннях n =10 і p = 0,95 :


tгр = 2,37 ,


тобто за критерієм Романовського похибка є грубою, бо t  tгр .