Geum.ru

Физика систем многих частиц (молекулярная физика)

Вид материалаДокументы

Содержание


C (нуклида углерода с атомной массой 12). Число структурных элементов определяется постоянной Авогадро N
Q, сообщённая системе, равна сумме приращения внутренней энергии dU
Теорема. Если система не совершает работу и находится при постоянной температуре, то её свободная энергия не возрастает. Следств
Теорема. Если система находится при постоянной температуре и давлении, то её потенциал Гиббса не возрастает. Следствие
PV= const (адиабатический инвариант), TV
U фотонного газа, находящегося в тепловом равновесии с термостатом при температуре T
Z = Spexp(–H
Подобный материал:
Физика систем многих частиц (молекулярная физика).

Основные формулы и понятия.


Термодинамика (теория теплоты). Термин предложил в 1851 г. Уильям Томсон (лорд Кельвин с 1892), когда сформулировал второе начало термодинамики. Рудольф Клаузиус (1822-1888) называл новую науку "механической теорией тепла".
Феноменологическая теория, опирающаяся на термическое и калорическое уравнения состояния вещества, записанные через термодинамические параметры температуру, давление, объём, без конкретных представлений о строении вещества. Выводы термодинамики основаны на общих принципах (началах), являющихся обобщением опытных фактов.

Термодинамические параметры.
Параметры (температура, давление, объём), входящие в определение термического и калорического уравнений состояний.

Температура T.
Мера энергии хаотического движения.

Понятие температуры характеризует степень нагретости тел. Понятие температуры вводится через понятие термодинамического равновесия.

Мерой температуры может быть давление разреженного газа при постоянном объёме (газовая температурная шкала).

Мерой относительной разности температур T/T между двумя тепловыми резервуарами R и R может служить работа, необходимая для переноса единицы тепла от R к R при помощи квазистатического циклического процесса (цикла Карно):

T/T = A/Q.

(абсолютная термодинамическая температурная шкала, шкала Кельвина).

Мерой температуры может служить плотность потока энергии излучения абсолютно чёрного тела

(радиационная термодинамическая шкала)

Характеристические температуры:

Планковская TPl = (ћc5/G)1/2/k = 4·1031 К →3·1018 Гэв

Дебаевская: D = ћD/k - характеристическая температура твёрдого тела, где D- дебаевская частота - максимальная частота колебаний кристаллической решётки

Температура Ферми: TF =

Характерные температуры

К
эВ

Минимальная достигнутая температура

(адиабатическое перемагничивание спинов).
~10–10




Сверхтекучий 3He
0,002



Температура кипения 3He (гелион, h.) в вакууме.
0,3



Сверхтекучий гелий
2,17



Температура реликтового излучения (космического микроволнового фонового излучения / cosmic microwave background radiation).

Реликтовое излучение - космическое электромагнитное излучение с высокой степенью изотропности и со спектром, характерным для абсолютно чёрного тела. Его максимум приходится на частоту 160,4 ГГц, что соответствует длине волны 1,9 мм. Реликтовое излучение сохранилось с начальных этапов расширения Вселенной и равномерно её заполняет.

Реликтового излучения было предсказано теоретически в рамках теории Большого взрыва (Г. Гамов, Р. Альфер, Р. Герман, 1948). Экспериментально открыто американскими астрономами (А. Пензиас, Р. В. Вильсон, 1965) в микроволновой области спектра (60 см - 0,6 мм).
2,725



Жидкий гелий 4He.

Температура кипения 4He К – самая низкая среди всех жидкостей. Жидкий гелий обладает рядом уникальных свойств. Переход гелия в твёрдое состояние возможен только при давлении 2,5 МПа.
4,22



Жидкий водород
20,4



Жидкий азот
77,3



Плавление льда
273,15



Кипение воды
373,15



Плавление железа
1600



Поверхность Солнца
6000



Взрыв атомной бомбы
106



Термоядерный синтез
108



Рождение из физического вакуума электрон-позитронных пар
1010



Планковская температура TPl = (ћc5/G)1/2/k
4·1031
3·1027

Давление P [Па = Н/м2] = [кг·м–1с–2].
P = dFn/dS

Объём V.
Объём Вселенной ~ 1080 м3

Объём атомного ядра ~ 10–45 м3

МОЛЬ [mole] (от лат. moles - масса) - единица количества вещества (1811).
В 1 моле любого вещества содержится столько структурных элементов, сколько атомов содержится в 0,012 кг 12 C (нуклида углерода с атомной массой 12). Число структурных элементов определяется постоянной Авогадро

NA = 6,022045(31)·1023 моль–1.

Макроскопическое состояние.
Макроскопическим термодинамическим состоянием системы называют состояние, характеризуемое термодинамическими параметрами: объёмом V, давлением P и температурой T. Если термодинамические параметры постоянны во времени, то такое состояние называют равновесным. В пространстве термодинамических параметров P, V, T равновесному макроскопическому состоянию соответствует точка.

Микроскопическое состояние.
Микроскопическим состоянием системы называют состояние, характеризуемое состояниями всех её частиц. Если в системе N частиц, то микроскопическое состояние определяют 6N чисел: 3N координат частиц и 3N проекций их скоростей (импульсов). Одному макроскопическому состоянию соответствует множество микроскопических состояний, говорят, ансамбль состояний.

Термостат.
В термодинамике термостатом называют систему, обладающую столь высокой теплоёмкостью, что подводимые к ней количества теплоты не изменяют её температуры.

Постоянная Авогадро (число Авогадро)

Закон Авогадро (Avogadro A.1811): в равных объёмах различных газов при одинаковых условиях содержится одинаковое число молекул.
N A = 6,02214199(47)×10 23 моль–1.

Число структурных элементов (атомов, молекул, ионов или других частиц) в 1 моле вещества.

Газовая универсальная (молярная) постоянная.
R = 8,314472(15) Дж моль–1К–1. Газовая постоянная равна работе расширения 1 моля идеального газа под постоянным давлением при нагревании на 1 К. Газовая постоянная равна разности молярных теплоёмкостей при постоянном давлении и постоянном объёме (уравнение Майера) CP – CV = R.

Постоянная Больцмана k = R/NA
k = 1,3806503(24)×10 – 23 Дж К–1. Фундаментальная физическая константа; равная отношению универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро NA. Связывает статистическую температуру и термодинамическую T:  = kT. Связывает энтропию S физической системы с термодинамической вероятностью W её состояния S = klnW.

Объём моля идеального газа RT/p

T=273,15 К, p = 101,325 кПа
Vm = 22,413996(39)×10 – 3 м3 моль–1

Уравнение состояние.
Уравнением состояния называют функциональную зависимость объёма V, давления p и температуры T однородной, изотропной термодинамически равновесной системы. Эту зависимость можно выразить уравнением f(V, p, T) = 0, которое соответствует уравнению поверхности в абстрактном 3-х мерном пространстве термодинамических параметров (p, V, T).

Это уравнение называют термическим уравнением состояния, в отличии от калорического уравнения состояния, определяющего внутреннюю энергию U системы как функцию каких-либо двух из трёх параметров P, V, T. Термическое уравнение состояния позволяет выразить давление через объём и температуру

P = P(V, T)

и определить элементарную работу

A = PdV

при бесконечно малом расширении системы dV. Уравнение состояния является необходимым дополнением к термодинамическим законам, которое делает возможным их применение к реальным веществам. Оно не может быть выведено с помощью одних только термодинамических законов, а определяется из опыта или рассчитывается теоретически на основе представлений о строении вещества методами статистической физики. Из первого начала термодинамики следует лишь существование калорического уравнения состояния, а из второго начала термодинамики - связь между калорическим и термическим уравнениями состояния:

(U/T)T = T(P/T)V –P .

Калорическое уравнение
Зависимость внутренней энергии системы от термодинамических параметров.

Процесс.
Процессом называют переход системы из одного равновесного состояния в другое.

Равновесный процесс



Неравновесный процесс



Обратимый процесс



Необратимый процесс



Цикл (циклический процесс)



Квазистатический процесс.

Термин введён немецким физиком-теоретиком, математиком Константином Каратеодори (C. Caratheodori, 1905)



Теплообмен.
Пу￿ть имеется тело A с температурой TA. Приведём его в соприкосновение с телом B с температурой TB, причём TA > TB. Теплообменом называют передачу внутренней энергии от одного тела к другому без совершения макроскопической работы.

Количество тепла (теплоты) Q.
Количество энергии, переданное в процессе теплообмена, называют количеством теплоты Q.

Работа в термодинамике.
A = pdV.

Нулевое начало термодинамики.



Первое начало термодинамики Q = dU + A.
Один из основных законов термодинамики - закон сохранения энергии для термодинамической системы, согласно которому работа может совершаться только за счёт теплоты или какой-либо иной формы энергии. Поэтому работу и количество теплоты можно измерять в одних единицах - джоулях.

Первое начало термодинамики сформулировано как закон природы Ю. Р. Майером (Mayer J. R., 1842) и установлено экспериментально Дж. Джоулем (Joule J., 1843). Первое начала термодинамики можно сформулировать как невозможность существования вечного двигателя первого рода, который совершал бы работу, не черпая энергию из какого-либо источника.

Согласно первому началу термодинамики теплота  Q, сообщённая системе, равна сумме приращения внутренней энергии dU и работы A, производимой системой против внешних сил

Q = dU + A.

Это уравнение является определением величины dU, т. к. Q и A - независимо измеряемые величины.

Второе начало термодинамики.
Один из основных законов термодинамики, устанавливающий необратимость реальных термодинамических процессов.

Второе начало термодинамики сформулировано как закон природы Никола Л. Сади Карно (Carnot N. L. S., 1824), Рудольфом Клаузиусом (Clausius Rudolf, 1850) и Уильямом Томосоном (Thomson W., Kelvin, 1851) в различных, но эквивалентных формулировках.

Третье начало термодинамики (теорема Нернста).
Закон термодинамики, согласно которому энтропия S равновесной системы стремится к конечному пределу, не зависящему от давления, плотности, других термодинамических параметров или фазы, при стремлении температуры к абсолютному нулю. Установлен экспериментально Вальтером Нернстом (Nernst W., 1906).

Теплоёмкость
C = Q/dT [Дж/К]

Энтропия.
dS = Q/T [Дж/К]

S = –(F/T)V

Термодинамические потенциалы (функции состояния, характеристические функции).

Л. Дюгем (, 1884)
Функции термодинамических параметров, числа частиц, и некоторых внешних макроскопических параметров, характеризующих состояние термодинамической системы.

Внутренняя энергия (характеристическая функция) – функция состояния.
U(V, T) - термодинамическая функция термодинамических параметров системы (например, объёма V и температуры T), изменение которой определяет работа, совершаемая над однородной системой при условии её адиабатической изоляции. Существование такой функции U = U(V, T) есть следствие первого начала термодинамики

dU = TdS –pdV

Это выражение содержит только параметры самой системы. Независимые переменные – энтропия S и объём V.

Свободная энергия (характеристическая функция) – функция состояния F(V, T).
F = U –TS

dF = –SdT –pdV

Это выражение содержит только параметры самой системы. Независимые переменные – температура T и объём V.

Теорема. Если система не совершает работу и находится при постоянной температуре, то её свободная энергия не возрастает.

Следствие. Если система не совершает работу и находится при постоянной температуре, то её состояние равновесия является состоянием с минимальным значением свободной энергии.

Потенциал Гиббса (свободная энтальпия) – функция состояния (характеристическая функция).
G = F + PV

dG = –SdT +VdP

Это выражение содержит только параметры самой системы. Независимые переменные – температура T и давление P.

Теорема. Если система находится при постоянной температуре и давлении, то её потенциал Гиббса не возрастает.

Следствие. Если система находится при постоянной температуре и давлении, то её состояние равновесия является состоянием с минимальным значением потенциала Гиббса.

Энтальпия (характеристическая функция, < греч. enthalpo - нагреваю) – теплосодержание – тепловая функция Гиббса - функция состояния.

Термин предложен Хейке Камерлинг-Оннесом (Kamerlingh Onnes Heike, )
H = U + PV

dH = TdS +VdP

Это выражение содержит только параметры самой системы. Независимые переменные – энтропия S и давление – P.

Неравенство Клаузиуса.



Идеальный нерелятивистский газ.

ГАЗ [gas] - (< гр. - хаос).
Состояние вещества, в котором составляющие его частицы почти свободны и хаотически движутся в промежутках между столкновениями, во время которых происходит резкое изменение характера их движения. Время столкновений молекул в газе значительно меньше среднего времени их пробега.

Средняя кинетическая энергия частиц газа много больше средней потенциальной энергии их взаимодействия.

В газе отсутствует упорядоченность в расположении частиц как на расстояниях сравнимых с межчастичным (ближний порядок), так и на больших расстояниях (дальний порядок).

В отличие от жидкостей и твёрдых тел, газы не образуют свободной поверхности и равномерно заполняют весь доступный им объём.

Идеальный газ.

Термин «идеальный газ» предложен Рудольфом Клаузиусом (Clausius Rudolf, 1853).
По определению (термодинамика) термодинамическую систему, подчиняющуюся уравнению состояния PV = T, где A – постоянная, называют идеальным газом.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона).

Термин «уравнение Клапейрона для идеального газа» был введён в 1865.

PV = RT.

(Сади Карно, Carnot Sadi, 1824).

Уравнение Клапейрона (Benoit Clapeyron, 1834; PV = A(t + 273)).

Термин уравнение состояние идеального газа введён в 1865.

В 1874 Дмитрий Иванович Менделеев усовершенствовал запись уравнения состояния, введя газовую постоянную R.

Калорическое уравнение идеального газа (внутренняя энергия идеального газа.).
U = CVT.

Зависимость внутренней энергии конкретной системы от термодинамических параметров можно получить опытным путём. Для идеального газа английским физиком Джеймсом Джоулем (J. P. Joule, 1845) было показано, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Это утверждение называют законом Джоуля.

Энтропия идеального газа.



Свободная энергия идеального газа.



Потенциал Гиббса идеального газа.



Энтальпия идеального газа.



Адиабата (квазистатический адиабатический процесс).
Процесс, происходящий без теплообмена, называют адиабатическим Q = 0.

Уравнение адиабаты для идеального газа (уравнение Пуассона для адиабаты).
PV= const (адиабатический инвариант),

TV–1 = const,

p–1T–1 = const,

где  = Cp/CV = (i + 2)/i - показатель Пуассона.

Показатель Пуассона для адиабаты идеального газа.
 = Cp/CV = (i + 2)/i, где i – число степеней свободы.

Число степеней свободы.
Число независимых координат, характеризующих пространственное положение системы.

Адиабатический инвариант.
Функция динамических переменных системы, остающаяся постоянной при адиабатических воздействиях на неё. Под адиабатическим воздействием понимают такое воздействие на систему, при котором её внешние параметры меняются бесконечно медленно (квазистатически).

Адиабатическая постоянная (показатель адиабаты, показатель (коэффициент) Пуассона).
 = Cp/CV = (i + 2)/i, где i – число степеней свободы.

Политропический процесс (политропа).
Процесс, происходящий при постоянной теплоёмкости

C = Q/dT = const.

Уравнение политропы для идеального газа.
pVn = const,

TVn–1 = const,

Pn–1T–1 = const,

где

n = (C –Cp)/(C –CV)

– показатель политропы.

Показатель политропы для идеального газа.
n = (C –Cp)/(C –CV) – показатель политропы.

Реальный газ. Модель Ван-дерВаальса (J. D.Van der Waals, 1873).

Калорическое уравнение реального газа (внутренняя энергия реального газа.).
U = CVT – 2a/V

Уравнение состояния реального газа.
(P +2a/V2)(V –b) = RT

Для  = 1

(P +a/V2)(V –b) = RT

или

PV3 –(RT +Pb)V2 +aV –ab = 0

Уравнение Ван-дер-Ваальса в критической точке
PkV3 –(RTk +Pkb)V2 +aV –ab =

= Pk (V –Vk)3 = 0

Критические параметры
Vk = 3b; Pk = a/27b2; Tk = 8a/27Rb

Критический коэффициент
Kk = RTk/PkVk = 8/3

Приведённые параметры
 = V/Vk;  = P/Pk;  = T/Tk.

Приведённое уравнение состояния реального газа.
( +3/2)( –1/3) = (8/3)

Внутренняя энергия реального газа.
U = CVT – 2a/V

Энтропия реального газа.



Свободная энергия реального газа.



Потенциал Гиббса реального газа.



Энтальпия реального газа.



Равновесное излучение (фотонный газ, излучение чёрного тела)

Внутренняя энергия U фотонного газа, находящегося в тепловом равновесии с термостатом при температуре T (равновесное излучение).
U(T) = 4(/c)VT4,

где  = (2/60)k4/ħ3c2 =

= 5,670400(40)×10 –8 Вт м –2 К –4 – постоянная Стефана-Больцмана, c – скорость света, T – температура, V – объём.

Уравнение состояния фотонного газа (равновесного излучения).
P = (4/3)(/c)T4,

PV = U/3.

Энтропия равновесного излучения
S = –(F/T)V = (16/3)(/c)VT3

Свободная энергия F равновесного излучения.
F = U –TS = –U/3

Теплоёмкость равновесного излучения
CV = (U/T) = 16(/c)VT3

Теория вероятностей.

Испытание
Совокупность регламентированных и воспроизводимых условий, в результате которых появляется то или иное событие.

Случайное событие
Всякое явление, относительно которого содержателен вопрос, может оно происходить или нет.

Пространство событий.



Достоверное событие .
Событие, которое при данных условиях обязательно происходит.

Невозможное событие.
Событие, которое при данных условиях не может произойти.

Объединение событий (логическая сумма событий) E1UE2 (или E1 + E2).
Объединением двух событий E1 и E2 называют событие, состоящее в появлении либо события E1, либо события E2.

Пересечение событий (логическое произведение событий) E1∩E2 (или E1 E2).
Произведением событий E1 и E2 называют событие, состоящее в появлении как события E1, так и события E2.

Дополнение (логическое отрицание) E.
Дополнение события E есть событие «не E», состоящее в неосуществлении события E. Событие «не E» называют противоположным событию E.

EU«неE» = .

Несовместные события.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Для несовместных событий E1 и E2

E1∩E2= 0 (0 – пустое множество).

Равновозможные события.
События называют равновозможными, если нет оснований ожидать, что при испытаниях одно из них будет появляться чаще другого.

Частота появления события E.
Отношение числа появлений события N® к общему числу испытаний N

W = N(E)/N.

Вероятность события.
Пусть с данным испытанием связано множество событий {E}. Вероятностью P® события E называют определённую на множестве {E} однозначную действительную функцию, удовлетворяющую трём условиям (аксиомам вероятностей):
  1. P® ≥ 0 для любого события E;
  2. P() = 1 для достоверного события ;
  3. P(E1UE2U…) = P(E1) + P(E2) +… для последовательности попарно несовместных событий E1, E2 …

Из аксиом 1) – 3) следует

0 ≤ P® ≤ 1.

Вероятность невозможного события равна нулю.

«Априорная» вероятность.
Вероятность, оцененная до испытания.

«Апостериорная» вероятность



Аксиома (правило) сложения вероятностей.
Вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P(E1UE2U…) = P(E1) + P(E2) +…

для последовательности попарно несовместных событий E1, E2 ….

Аксиома (правило) умножения вероятностей связывает «абсолютную» вероятность P(E1), относящуюся к данному испытанию, и «условную» вероятность P(E2/E1), относящуюся к испытании, ограниченному дополнительным условием осуществления события E2.
Вероятность пересечения (произведения) двух событий E1 и E2 равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого при условии, что первое событие произошло

P(E1∩E2) = P(E1)P(E2/E1) = =P(E2)P(E1/E2),

где P(E2/E1) – условная вероятность события E2 при условии, что событие E1 произошло, а P(E1/E2) – условная вероятность события E1 при условии, что событие E2 произошло.

Формула Байеса (Bayes Thomas) позволяет вычислить «апостериорные» вероятности P(Hi | E) через «априорные» вероятности P(Hi) «гипотез» Hi.

Пусть H1, H2, …- последовательность попарно несовместных событий, образующих полную группу, т. е. H1UH2U… = I. Тогда для каждой пары событий Hi, E имеет место формула Байеса

P(Hi |E) = P(Hi∩E)/P(E) =

= P(Hi)P(E | Hi)/[I P(Hi)P(E | Hi)].

Независимые события.
События A и B называют независимыми, если P(E1∩E2) = P(E1)P(E2), т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Случайная величина.
Случайная величина есть любая (не обязательно численная) переменная x, «значения» которой x = X образуют множество элементарных событий {x = X}. Соответствующее распределение вероятностей называют распределением случайной величины x.

Функция распределения.
Распределение действительной случайной величины x задаётся её функцией распределения

X X

Fx(X) = P(x <X)= ∫ dP(x) = ∫ f(x)dx

a a

Вероятность непрерывной случайной величины иметь значение x в интервале dx.
dP(x) = f(x)dx

Плотность вероятности (плотность распределения вероятностей).

dP(x)/dx = f(x),

dF(x)/dx = f(x),

где F(x) – функция распределения.

Условие нормировки (вероятность достоверного события)
b b

1 = ∫dP(x) = ∫f(x)dx

a a

Среднее значение случайной величины.
B b

‹x› = ∫xdP(x) = ∫xf(x)dx

a a

Математическое ожидание n-ой степени случайной величины.
B b

Mn(x) =‹xn› = ∫xndP(x) = ∫xnf(x)dx

a a

Дисперсия случайной величины
D2x = ‹(x–‹x›)2› = ‹x2›–‹x›2

Стандартное отклонение случайной величины.
x = (D2x)1/2 = (‹(x–‹x›)2›)1/2 =

=(‹x2› –‹x›2)

Распределение Максвелла.

Плотность функции распределения f(vx) по проекциям скоростей vx молекул изотропного равновесного газа на направление x.
F(vx) = (vв2)–1/2·exp(–vx2/vв2) =

= (m0/2kT)1/2·exp(–m0vx2/2kT),

где vв = (2kT/m0)1/2 – наивероятнейшая скорость.

Плотность функции распределения f(v) молекул изотропного равновесного газа по модулям скорости.
F(v) = 4v2 (vв2)–3/2·exp(–v2/vв2) =

= 4v2(m0/2kT)3/2·exp(–m0v2/2kT),

где vв = (2kT/m0)1/2 – наивероятнейшая скорость.

Плотность функции распределения f(x) молекул изотропного равновесного газа по безразмерным модулям скорости x = v/vв.
f(x) = 4–1/2x2·exp(–x2)

Плотность функции распределения f® молекул изотропного равновесного газа по кинетическим энергиям E.
F(E) = 2–1/2kT–3/2·exp(–E/kT)E1/2,

Наивероятнейшая скорость
df(v)/dv =0,

vв = (2kT/m0)1/2

Средняя скорость
∞

‹v› = ∫v dv = (8kT/m0)1/2.

0

Среднеквадратичная скорость
∞

‹v2› = ∫v2 dv = (3kT/m0).

0

‹v2›1/2 = (3kT/m0)1/2

Распределение Больцмана
fB® = Cexp(–W®/kT)

Распределение Максвелла-Больцмана.
Статистически равновесная функция распределения f(p, r) по импульсам p и координатам r частиц идеального газа, которые подчиняются классической механике и находятся во внешнем потенциальном поле

f(p, r) = Cexp{-[p2/2m0 + U®]/kT},

где p2/2m0 – кинетическая энергия частицы с массой m0, U® – её потенциальная энергия во внешнем поле, T – абсолютная температура газа k – постоянная Больцмана. Постоянную C Аодящее из условия, что суммарное число частиц по всем возможным состояниям равно полному числу частиц N в системе (условие нормировки).

Распределение Максвелла-Больцмана является следствием статистики Больцмана идеального газа, Аодящеегося во внешнем потенциальном поле (Людвиг Больцман (L. Boltzmann), 1868-71). Частным случаем распределения Больцмана при U® = 0 является распределение Максвелла частиц по скоростям.

Распределение Больцмана может быть получено из распределения Гиббса для газа, в котором взаимодействием частиц можно пренебречь.

Биномиальное распределение.

Вероятность появления события точно m раз при n независимых испытаниях по схеме Бернулли при условии, что вероятность события в каждом испытании равна p.

Биномиальное распределение является асимптотически нормальным распределением при n  с центром (средним значением) np = y и дисперсией np(1 –p) = 2 (частный случай центральной предельной теоремы, теорема Муавра-Лапласа).

Биномиальное распределение является асимптотически пуассоновским распределением, когда pN, n , p0, при условии, что np имеет конечный предел y (закон малых чисел).
P(m, n; p) =Cnmpm(1–p)n–m.

Вероятность P(m) обнаружить m частиц в элементе объёма при их среднем числе n задаётся биномиальным распределением, которое при Алом m и большом n аппроксимируется распределением Пуассона, а при mn и n »1 распределением Гаусса.

Распределение Пуассона.
P(m) = ‹n›mexp(–‹n›)/m!

‹n› = mm P(m),

‹(n –‹n›)2› = m(n –‹n›)P(m) = ‹n›,


Распределение Пуассона аппроксимирует биномиальное распределение, когда pn, n , p 0.

Гауссово (нормальное) распределение
f(x) = Cexp(–(x –a)2/2)

Центральная предельная теорема



Термодинамическая вероятность (статистический вес) W (Z)
Безразмерная величина, обратная нормирующему множителю канонического распределения Гиббса в статистической физике. Равна сумме (интегралу) по состояниям

Z = nexp( –En/kT) ,

где En – энергия системы в состоянии n, T – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана. Суммирование производится по всем допустимым n.

Статистическая сумма позволяет вычислить все термодинамические потенциалы, в частности свободную энергию

F = –kT lnZ

как функцию температуры, объёма и числа частиц в зависимости от потенциала взаимодействия частиц. Если известен гамильтониан взаимодействия H, то

Z = Spexp(–H/kT).

В классической статистической физике статистической сумме соответствует статистический интеграл.

Формула Больцмана для энтропии
S = klnW

Информация
H = –ni=1pilnpi

Статистическая трактовка энтропии.



Давление идеального газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории
P = (1/3)n‹vp›,

PV = (1/3)N‹vp›,

где n = N/V – концентрация частиц, v - скорость частицы, p – импульс частицы.

Для нерелятивистского газа

p = m0v,

P = (1/3)nm0‹v2›,

PV = (1/3)Nm0‹v2› = (2/3)‹Uпост›,

где ‹Uпост› = N‹m0v2/2›- среднее значение кинетических энергий поступательного движения всех частиц газа.

Для ультрарелятивистского газа (фотонный газ)

p = E/c,

v = c,

где c – скорость света, E – энергия ультрарелятивистской частицы (фотона)

P = (1/3)‹nсp›,

PV = (1/3)‹NEпост› = (1/3)‹Uпост›.

Физическая кинетика.

Кинетическое уравнение Больцмана.
Кинетическое уравнение Больцмана – интегро-дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц. Кинетическое уравнение Больцмана - основное уравнение микроскопической теории неравновесных процессов (физической кинетики).

Кинетическое уравнение Больцмана представляет собой уравнение баланса числа частиц (точнее, точек, изображающих состояние частиц) в элементе фазового объёма dvdr и выражает тот факт, что изменение функции распределения частиц f(v, r, t) со временем t происходит вследствие движения частиц под действием внешних сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из частиц одного сорта, кинетическое уравнение Больцмана имеет вид

f/t + (vf/r) + m–1(Ff/v) = (f/t)ст ,

где f/t - изменение плотности числа частиц в элементе фазового объёма dvdr за единицу времени, F = F(r, t) - сила, действующая на частицу (может зависеть также и от скорости), (f/t)ст - изменение функции распределения вследствие столкновений (интеграл столкновений).

Кинетическое уравнение Больцмана учитывает только парные столкновения между частицами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега частиц значительно больше линейных размеров области, в которой происходит столкновение. Поэтому кинетическое уравнение Больцмана применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо основное предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся частиц (гипотеза молекулярного хаоса). Если система находится в статистическом равновесии, то интеграл столкновений обращается в нуль, и решением кинетического уравнения Больцмана является распределение Максвелла.

Явления переноса.



Уравнение диффузии (1854), уравнение Фика ().



Уравнение теплопроводности (1822), уравнение Фурье ().



Уравнение вязкости (1687), уравнение Ньютона
Эмпирическая формула, выражающая пропорциональность напряжения трения между двумя слоями прямолинейно движущейся вязкой жидкости относительной скорости скольжения этих слоёв, т. е. отнесённому к единице длины изменению скорости по нормали к направлению движения.