Geum.ru

Теория Информационных Процессов и систем конспект

Вид материалаКонспект

Содержание


3.10.1. Причинность и выходные функции
3.10.2. Существование предопределенных систем
Подобный материал:
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   23

Лекция 0

3.10.1. Причинность и выходные функции


Условия существования выходной функции и производящей функции выхода можно сформулировать в терминах неупреждаемости реакции системы.

Предложение 3.4. Существование семейства выходных функций

Если временная система является неупреждающей, то для нее существует семейство выходных функций

 = {t: Ct  X(t)  Y(t)}.

Доказательство.Поскольку система неупреждающая, то для нее существует (см. теорему ) неупреждающее семейство реакций  = {t: t  T}. Предположим, что для этого неупреждающего семейства реакций определено семейство функций t. Предположим, кроме того, что (ct, x(t), y(t))  t, и (ct, x'(t), y'(t))  t, где x(t) = x'(t). Но так как

xt | Ttt = x(t) = x'(t) = x't | Ttt,

а реакция t неупреждающая, то

t(ct, xt) | Ttt = t(ct, x't) | Ttt,

или y(t) = y'(t). Следовательно t есть отображение t: Ct  X(t) в Y(t), ЧТД.

Понятие выходной функции проясняет одну из важных сторон понятия состояния: если состояние системы известно и система является неупреждающей, то вся информация о предыстории системы, необходимая для определения текущего значения выхода, содержится в самом этом состоянии.

Зависимость существования производящей функции выхода от неупреждаемости системы аналогична существованию выходной функции.

Предложение 3.5.  Существование семейства производящих функций выхода

Если временная система является неупреждающей, то для нее существует семейство производящих функций выхода

 = {tt': Ct  X tt'  Yt(t')}.

Доказательство. Аналогично предложению .

Из предложения  следует, выход неупреждающей временной системы можно определить, зная лишь текущее состояние системы и текущее значение входного воздействия. Однако для некоторых систем текущее значение выхода зависит только от текущего состояния системы и не зависит от текущего значения входа. Для анализа таких систем требуется понятие сильной неупреждаемости.

Предложение 3.6.  Существованиет выходной функции

Если временная система является сильно неупреждающей, то для нее существует выходная функция, которая при любых t  T удовлетворяет условию

(x(t)) (x(t)) [ct = ct  t(ct, x(t)) = t(ct, x(t))].

Доказательство. Поскольку наша система сильно неупреждающая, то для нее существует сильно неупреждающая начальная реакция 0. Но тогда требуемое утверждение можно доказать также как и предложение , ЧТД.

Если система является сильно неупреждающей, то для каждого t  T, очевидно, существует отображение

Kt: Ct  B,

такое, что

(x(t)) [t(ct, x(t)) = Kt(ct)].

3.10.2. Существование предопределенных систем


Прежде всего подчеркнем тот факт, что предопределенность системы не совпадает с функциональностью. Система может быть функциональной (S: X  Y) и тем не менее не быть предопределенной, и наоборот.

Для функциональной системы (т.е. системы с единственным начальным состоянием) понятие сильной неупреждаемости и предопределенности начиная с момента 0 совпадают.

Для любой пары (x, y)  S обозначим через S(xt, yt) множество {(xt, yt): (xtxt, ytyt)  S} и будем называть S(xt, yt) семейством «продолжений» для (xt, yt). Это позволит нам сформулировать

Предложение 3.7. Предопределенность системы

Система является предопределенной начиная с момента времени t тогда и только тогда, когда для всех t  t семейство S(xt, yt) определяет сильно неупреждающую функцию

S(xt, yt): Xt  Yt.

Доказательство. Прежде всего докажем необходимость. Предположим, что (xt, yt)  S(xt, yt) и (xt, yt)  S(xt, yt). Пусть, кроме того, xt | Ttt' = xt | Ttt' для некоторого t'  t. Тогда

xtxt | Tt = xtxt | Tt

и

ytyt | Tt = ytyt | Tt & xtxt | Ttt' = xtxt | Ttt'.

Но так как поведение системы предопределено, то ytyt | Ttt' = ytyt | Ttt', откуда следует yt | T tt' = yt | Ttt'. Поскольку t > t' могло быть произвольным, мы получаем, если xt = xt, равенство yt = yt, а это значит, что S(xt, yt) — функция и, следовательно, S(xt, yt) — сильно неупреждающая система.

Обратное, предположим, что (x, y)  S и (x, y)  S, более того, пусть (x t, y t) = (x t, y t) и x tt = xtt. Но тогда в силу того, что S(x t, y t) — сильно неупреждающая функция, y tt = y tt, ЧТД.

Предопределенность системы связана с существованием семейства производящих функций состояния . Эту связь отражает

Предложение 3.8.  Предопределенность системы и производящая функция состояния

Система является предопределенной с момента времени t тогда и только тогда, когда для любого t  t для нее существует производящая функция состояний t, такая, что соответствующая реакция t сильно неупреждающая.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что система S является предопределенной. Пусть Ct = St для t  t. Тогда требуемый результат сразу получается из предложения , причем роль производящей функции состояния t: St  Ct играет тождественная функция, а t: Ct  Xt  Yt имеет вид t(ct, xt) = S(ct)(xt).

Обратное, предположим, что для системы S и t  t имеется производящая функция состояния t: St  Ct. Кроме того, пусть (xt, yt) = (xt, yt)  St и xtt' = xtt', где t'  t  t, и пусть ct =  t(x t, y t) =  t(x t, y t). Но так как xtxtt' = xtxtt' и, по предположению, t — сильно неупреждающая функция, то

t(c t, x t) | T tt' =  t(c t, x t) | T tt',

где

xtxtt' | Ttt' = x t | Ttt' и xtxtt' | Ttt' = x t | Ttt',

а это значит, что система предопределена, ЧТД.