Краткое обзорно-справочное пособие. Книга является первым в своём роде обзорно-справочным пособием по виртуальной физике и рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся проблемами Науки вообще и физики в частности

Вид материала

Книга

Содержание 1.3.3.2. Плоское распределение 1.3.3.3. Центрально-симметричное распределение

Подобный материал:

• Реферат данилюк А. И. Элементы виртуальной физики, 106.58kb.
• Liaise With Europe, Франция создание предприятия от а до я в узбекистане справочное, 2964.95kb.
• Справочное пособие по проблемам здоровья. М.: Корал Клаб, 2000, 627.09kb.
• Тема: Экономика Дагестана, 120.6kb.
• Ю. М. Иванов как стать экстрасенсом москва 1990 Книга, 12883.6kb.
• Иные миры, 3004.29kb.
• Избранные сочинения Александра Григорьевича Столетова издание, рассчитанное на широкий, 3.19kb.
• Книга написана живым, образным языком и рассчитана не только на историков профессионалов,, 2424.55kb.
• И. М. Феигенберг мозг психика здоровье издательство «наука» Москва 1972 Книга, 1509.07kb.
• А. П. Щёголев нужен гразер! Исповедь исследователя с-петербург 2009г. От редакции, 1921.01kb.

1.3.3.2. Плоское распределение


Плоской принято называть многомерную функцию f координат (X₁,…,X_i,…,X_N), переменную только вдоль одной координаты-аргумента X_i или, что одно и то же, имеющую ненулевые частные производные (дифференциалы) только по одному аргументу X_i


df(X₁,…,X_i,…,X_N) = д_if(X_i) (1.3.3.2-1)


Поэтому плоскими деформациями можно называть любые деформации, при которых все j-тые частицы смещены в одном и том же направлении X_j, а величина смещения X_j является функцией только одной из координат X_i частиц. Такое определение приводит к представлению о существовании для каждой деформации своей преимущественной ориентации системы независимых координат, в которой и направления смещений частиц и направление производной от величины смещения (градиента) совпадают с направлениями каких-то осей координат. Соответствующие направления можно называть направлениями смещения и градиента смещения (или сдвига) частиц. Для продольной деформации оба направления совпадают i=j и

X_i || X_i (1.3.3.2-2)

X_i= f(X_i) (1.3.3.2-3)


Для тангенциальных деформаций оба направления взаимно независимы, то есть, взаимно перпендикулярны в декартовых координатах


X_j || X_j  X_i (1.3.3.2-4)

X_j = f(X_i) (1.3.3.2-5)


Вследствие аддитивности все деформации с неперпендикулярными и непараллельными направлениями смещений и градиентов смещений частиц можно представлять как суммы продольных и тангенциальных деформаций.

Плоская деформация не может быть стабильной и существовать в чистом виде, как, например, центрально-симметричная, но к ней всегда можно свести любой достаточно малый участок монотонной деформации другого типа. Например, её выражениями можно приближенно описывать достаточно малые участки выпукло-вогнутых мгновенных фронтов волн, произвольных искривлений упаковки типа центрально-симметричной деформации прогиба-прокола или скручивания-сдвига. В этом смысле плоскую деформацию и её распределение можно считать элементарными и всегда можно описывать как одномерные.

Одномерная продольная деформация сжатия-растяжения приводит к изменению L_i длины L_i какой-либо части однородной упаковки без изменения количества M составляющих её частиц (и наоборот), что приводит к пропорциональному изменению _iq периода упаковки q=r и может быть отражено представлением об изменении локальной плотности m упаковки в соответствующем направлении X_i


 _ii = L_i /L_i = q_i /q_i = -m_i /m_i  0 (1.3.3.2-6)


Одномерная тангенциальная деформация, как изменение X_j координат частиц без изменения количества M частиц в слоях и относительных расстояний между частицами в слоях и между слоями в упаковке, приводит только к изменению кривизны упаковки без изменения плотности упаковки

 _ij = _ij= X_j /X_i  0 (1.3.3.2-7)

 _ii = L_i /L_i = q_i /q_i = -m_i /m_i = q_i /q_i = -m_j /m_i = 0 (1.3.3.2-8)


Выражения (1.3.3.2-1)- (1.3.3.2-8) в целом справедливы для любых достаточно малых деформаций достаточно малых частей упаковки. При больших деформациях возможно изменение количества частиц в рядах за счет проявления нестабильности упаковки (переупаковки рядов) и/или самих частиц (разрушение-создание). В больших частях может сказываться неравномерность, усложняющая выражения. Количественные параметры m,  и  отражают свойства макрочастей упаковки как следствие свойств микрочастей и являются общими для всех микро- и макропроцессов в упаковке.


1.3.3.3. Центрально-симметричное распределение


Удобным (продуктивным) для описаний является и представление о центрально-симметричной деформации, особенно в сочетании с представлением о кривизне упаковки, так как позволяет сводить к нему многие случаи деформаций и описывать их небольшим, но достаточно универсальным набором простых выражений.

Центрально (сферически, цилиндрически и т.п.) симметричные деформации упаковки являются совокупностями одномерных (радиальных и/или тангенциальных) деформаций. Такие деформации образуются, например, при изменении радиуса сферической части упаковки или при осевом (одноосном) сдвиге и/или скручивании цилиндрической части упаковки. При центрально-симметричной деформации упаковки центральные углы  _ij между любыми частицами любого центрально-симметричного (сферического) слоя упаковки с радиальным номером j в любом i-том направлении остаются равными начальным углам  _ij0


 _ij0 = _ij = const (R_j) (1.3.3.3-1)

_ij = 0 (1.3.3.3-2)


Поэтому тангенциальные размеры x_ij частиц упаковки в этих направлениях изменяются от x_ij0 до x_ij строго пропорционально изменению R_j радиуса R_j слоя в радиальном направлении от R_j0 до R_j при изменении r_j радиальных размеров r_j частиц от r_j0 до r_j


x_ij0 = r_j0 (1.3.3.3-3)

R_j0 = r_j0 j = x_ij0 j (1.3.3.3-4)

R_j = ^j_j=1r_j = jr_j = R_j0+_jR_j= r_j0 j+_jR_j (1.3.3.3-5)

d_jR_j = ^j_j=1d_jr_j = d_jr j = r_j dj (1.3.3.3-6)

_jR_j = ^j_j=1r_j = j r_j = - ^_j=1r_j (1.3.3.3-7)

d_jR_j = ^j_j=1d_jr_j = j d_jr = - r_j dj (1.3.3.3-8)

x_ij = _ij R_j = _ij (R_j0+_jR_j) = x_ij0 + x_ij (1.3.3.3-9)

_ij = 1 /j (1.3.3.3-10)

R_j = jx_ij (1.3.3.3-11)

R_j = jx_ij (1.3.3.3-12)

x_ij /x_ij = R_j /R_j = - m_ij /m_ij (1.3.3.3-13)

d_jR_j = d_j(jx_ij) = - r_j dj = x_ij dj + j d_jx_ij (1.3.3.3-14)


Дальше все зависит от соотношения r_j /x_ij. Например, при радиальном сжатии окружения, вызванном изотропно расширившейся центральной частью, радиальному числу M_A частиц, составляющих любую конечную часть A бесконечного радиуса упаковки, всегда противостоит бесконечное множество M_B частиц остальной бесконечной части B этого радиуса, поэтому в первом приближении практически при любой конечной жесткости частиц вследствие (1.3.3.1-42)

M_Ar_Aj = -M_Br_Bj (1.3.3.3-15)

r_Bj = -M_Ar_Aj /M_B  0| _MA<<MB (1.3.3.3-16)

| r_jB| << r_jA = x_ijA > 0 (1.3.3.3-17)

d_jR_j = d_j(jx_ij) = -r_j dj = x_ij dj + j d_jx_ij  0 (1.3.3.3-18)

jx_ij = R_j  C(j) (1.3.3.3-19)

x_ij  C(j) /j = x_ijA j_A /j (1.3.3.3-20)

x_ij = R_j /j  C(j) /j (1.3.3.3-21)

x_ijA /x_ijB = j_B /j_A (1.3.3.3-22)

x_ij1 /x_ij2 = j₂ /j₁ (1.3.3.3-23)


Тот же результат получается при рассмотрении равновесия любой частицы в деформированной упаковке. Требование длительной неподвижности (равновесия) каждой частицы деформированной упаковки при одинаковости частиц окружения приводит к одинаковости проекций её расстояний от соседних частиц во всех направлениях, включая радиальное. Отсюда

r_j = r_j+1 (1.3.3.3-24)

r_j = r_j+1 = 0 (1.3.3.3-25)

d_jR_j = d_jR_j = d_j(j_ij) = - r_j dj = 0 (1.3.3.3-26)

R_j = R_j+1 = C(j) (1.3.3.3-27)


Полученные выражения справедливы для любых малых деформаций и больших радиусов. Но при больших деформациях и/или малых радиусах вследствие дискретности и многомерности упаковки и асимметрии растяжения-сжатия её частиц их радиальная деформация может возрастать до существенного (непренебрежимого) уровня. Тогда зависимость x_ij(R_j) может несколько отличаться, например,

d_jR_j = d_j(jx_ij) = -r_j dj = -Cx_ij dj = x_ij dj + j d_jx_ij (1.3.3.3-14^/)

(1 + C) x_ij dj + j d_jx_ij = 0

x_ij1 /x_ij2 = (j₂ /j₁)^1+С (1.3.3.3-23^/)


При радиальном растяжении окружения, например, вызванном сжатием центральной части, ситуация отличается, в основном, обратными знаками изменений. В целом, каждая из M_j частиц j-того слоя сдвигается на R_j и растягивается (сжимается) вдоль радиуса R_j до радиального размера r_j=x_1j и сжимается (растягивается) в перпендикулярном ему тангенциальном i-том направлении до тангенциального размера _ij=x_ij. При этом все центральные углы между частицами слоя остаются неизменными, расстояния частиц слоя от центра деформации одинаковы, а изменение плотности окружения имеет знак, противоположный знаку изменения радиуса.

Это представление справедливо для любых деформаций радиального сдвига R_j упаковки. Однако вследствие асимметрии сжатия-растяжения частиц упаковки радиальный сдвиг даже не очень жестких частиц окружения от центра может происходить практически без их радиального сжатия при условно неограниченном растяжении их в тангенциальном направлении. В то время как возможность радиального сдвига частиц окружения к центру существенно ограничена из-за ограничения сжатия частиц в тангенциальном направлении, что приводит к более быстрому (1.3.3.3-23^/) уменьшению параметров деформации с увеличением расстояния от центра.

При осевом сдвиге некоторого достаточно длинного цилиндрического слоя относительно соседних соосных слоев образуется цилиндрическая деформация сдвига упаковки. Одинаковость условий вдоль оси x цилиндра приводит к равноправию и одинаковости смещений x_j частиц с одинаковыми радиальными номерами j_R, и цилиндрические слои смещаются как цельные объекты относительно друг друга вдоль общей оси

x_j = f(j_R) = const(x) (1.3.3.3-28)


Каждому цилиндрическому слою частиц с радиусом R=j₁x и длиной X= ix, содержащему M₁=2ij₁ частиц, противостоит сдвигаемый им следующий слой с радиальным номером j₂=j₁+1, содержащий конечное количество M₂=2i(j₁+1) частиц. Вследствие (1.3.3.1-42) проекции Mr на ось x цилиндра

M₁r_1j = M₂r_2j (1.3.3.3-29)


приводят в радиальном направлении x_j к


x_1j /x_2j = M₂ /M₁ = j₂ /j₁ (1.3.3.3-30)


Произведение (1.3.3.3-29) одинаково для всех слоев и для источника деформации. Не явная зависимость произведения Mr от длины слоев (продольного количества i частиц в них), например, характерная для фиксированного перемещения Х₀ торцов длинного стержня относительно упаковки, приводит к зависимости x_j от длины стержня


x_1j /x_2j = M₂ /M₁ = i₂ /i₁ (1.3.3.3-31)


Аналогично, при повороте (скручивании) такого же цилиндра вокруг продольной оси x_r вследствие (1.3.3.1-42) проекции на окружности x_ij цилиндра


M₁r_1j = M₂r_2j (1.3.3.3-32)

и

x_ij1 /x_ij2 = M₂ /M₁ = j₂ /j₁ (1.3.3.3-33)


Постоянство расстояний между слоями частиц и самих частиц в слоях, приводящее к сохранению общей плотности и общего потенциала упаковки, не означает сохранения расстояний между частицами разных слоев. Изменение расстояний между частицами соседних слоев приводит к изменению локальных плотности и потенциала на границах её частиц. Поэтому любая малая (допороговая) деформация сдвига-скручивания является упругой, как и деформация сжатия-растяжения.

При больших деформациях ситуация несколько сложнее из-за разной стабильности (нестабильности) сжатых и растянутых частей упаковки. Но в целом полученные выражения (1.3.3.3-23), (1.3.3.3-30) и (1.3.3.3-33) одинаковы для всех видов центрально-симметричной деформации, хотя из-за отличий (1.3.3.2-6)-(1.3.3.2-8) в дальнейшем могут приводить к несколько отличающимся последствиям для взаимодействия дефектов с деформациями. Качественно они сочетаются с общими представлениями о конечности значений R_j и их уменьшении до нуля при увеличении R_j до бесконечности. Зависимость деформации частиц от радиуса кривизны деформации упаковки получена для случая R>>r, соответствующего x₀ << x₀ при упругой деформации, и может существенно отличаться от реальной при малых R из-за асимметрии сжатия-растяжения реальных частиц. Эта же асимметрия приводит к неравенству x₀ включений и вакансий при прочих равных условиях и наличию остаточной (некомпенсируемой) деформации окружения бинарных кластеров, аналогичной деформации окружения элементарных дефектов включения.

Вследствие близкодействия частиц упаковки условие R_jconst(R_j) хорошо выполняется только в случае одного источника деформации. Наличие любых других источников нарушает (прерывает) действие этого условия, поэтому распределение суммарной деформации может быть любым и сводится к простой сумме распределений только в некоторых простейших случаях. Например, суммарное распределение деформаций вокруг двух и более источников противоположного знака в случае многомерной упаковки существенно отличается от суммы распределений из-за зависимости R_j(R_j), изменяющей даже знак градиента плотности и/или потенциала упаковки и, соответственно, ускорений частиц на противоположный.

Следует отметить, что эти зависимости получены исключительно на основании наших представлений о согласованном геометрическом смещении множества абстрактных частиц при центрально-симметричной радиальной деформации абстрактной упаковки без использования каких-либо дополнительных представлений о свойствах частиц, кроме свойств, позволяющих им образовывать квазиоднородную деформируемую упаковку. Это позволяет считать полученные соотношения достаточно универсальными и использовать их для описания любых достаточно малых деформаций любой упаковки частиц любой мерности, рассматривая разные участки деформации как центрально-симметричные с разными радиусами кривизны. С учетом существенного влияния дискретности (геометрии) упаковки при малых R_j эти выражения могут быть использованы для описания любых дефектов упаковки, включая сложные совокупности элементарных дефектов типа ядер и оболочек кластеров. Любое отклонение от этих законов означало бы наличие существенного влияния других (неучтенных) факторов и пространственно-временную нестабильность свойств частиц и/или расстояний между ними.