Лекции о формировании и ранней эволюции планетных систем

Вид материала

Подобный материал:

1 2

Лекции о формировании и ранней эволюции планетных систем.

Филип Армитедж

Эти лекции представляют собой введение в теорию формирования и ранней эволюции планетных систем. Обсуждаются структура, эволюция и рассеяние протопланетных дисков; формирование планетезималей, планет земного типа и газовых гигантов; а также орбитальная эволюция в результате миграции в газовом диске, рассеяния планетезималей и планет-планетного взаимодействия.

Содержание.

1. Введение.

А. Солнечная система.

Строение.
Масса и угловой момент.
Минимальная масса протосолнечной туманности.
Резонансы.
Малые тела.
Возрасты.
Спутники.

Б. Внесолнечные планеты.

Методы поиска и основные тенденции
Наблюдаемые свойства.

2. Протопланетные диски.
А. Окружение формирующихся звезд

Б. Неактивные околозвездные диски.

Вертикальная структура.
Радиальный температурный профиль
Распределение энергии в спектре
Эскиз более полных моделей

В. Активные аккреционные диски.

Диффузионное уравнение эволюции
Решения.
Температурный профиль
Причина переноса углового момента
Слоистые диски
Рассеяние диска

Г. Последовательность конденсаций.

3. Формирование планет.

А. Формирование планетезималей

Оседание пыли
Радиальный дрейф частиц
Механизм Голдрича-Варда

Б. Рост вне планетезималей

Гравитационная фокусировка
Рост в сравнении с фрагментацией
Сдвиг или рассеяние доминируют при столкновениях?
Темпы роста
Изолированная масса
Уравнение коагуляции
Краткий обзор формирования планет земного типа

В. Формирование газовых гигантов

Модель аккреции на ядро
Модель гравитационной нестабильности в диске
Сравнение с наблюдениями

4. Эволюция планетных систем

А. Миграция в газовом диске

Условия возникновения резонанса
Гравитационные вращательные моменты и резонансы
Миграция 1 типа
Миграция 2 типа
Скорость миграции 2 типа
Стохастическая миграция
Эволюция эксцентриситета в процессе миграции
Наблюдательные свидетельства внутренних дыр

Б. Миграция диска планетезималей

Свидетельство Солнечной системы
Модель Найса

В. Планет-планетное рассеяние

Стабильность по Хиллу
Рассеяние и эксцентриситеты внесолнечных планет

Введение.

Теоретическое изучение процесса формирования планет имеет долгую историю. Множество фундаментальных идей о формирования планет земного типа было выдвинуто Сафроновым (1969) в его классической монографии «Эволюция протопланетного облака и формирование Земли и планет». В начале 80-х годов прошлого века появились основные элементы теории аккреции на ядро для объяснения формирования газовых гигантов (Мизуно, 1980). Огромное количество новых данных, полученных в течение последнего десятилетия - включая наблюдения протопланетных дисков, открытие Пояса Койпера в Солнечной системе и обнаружение множества внесолнечных планетных систем – вновь возбудило интерес к этой проблеме. Хотя наблюдения и подтвердили некоторые предсказания теоретиков, они также привели к необходимости исследовать новые направления в теории.

Главные вопросы, которые встали перед исследователями:

Как формируются планеты земного типа и планеты-гиганты?
С какой скоростью эволюционируют орбиты планет сразу после их формирования?
Является ли строение Солнечной системы типичным?
Насколько распространены обитаемые планеты?

Главная цель этих лекций – обеспечить знакомство читателя с основными концепциями, необходимыми для понимания процесса формирования планет. Однако прежде, чем мы закопаемся в теорию, мы рассмотрим основные наблюдаемые свойства Солнечной системы и внесолнечных планетных систем, которые теория формирования планет должна уметь объяснить.

А. Наблюдения Солнечной системы.

1. Строение.

Орбитальные свойства планет Солнечной системы и их массы представлены в Таблице 1 (все величины из этой таблицы взяты на сайте JPL).

В основе строения Солнечной системы – 2 газовых гиганта (Юпитер и Сатурн), состоящие в основном из водорода и гелия (хотя их состав отличается от солнечного химического состава). Про Сатурн известно, что он обладает солидным ядром. По мере уменьшения массы наблюдаемых тел становятся заметны ледяные гиганты (Уран и Нептун), состоящие из воды, аммиака, метана, силикатов и металлов, окруженные сравнительно маломассивной атмосферой из водорода и гелия, 2 большие планеты земного типа (Земля и Венера) плюс две небольшие планеты земного типа (Марс и Меркурий). За исключением Меркурия, все планеты имеют низкие эксцентриситеты и наклонения орбит. Они вращаются в плоскости, примерно перпендикулярной оси вращения Солнца (точнее, отклоненной от этого перпендикуляра на 7 градусов).

В Солнечной системе планеты-гиганты и планеты земного типа четко разделены по величине большой полуоси их орбит. Кроме того, планеты-гиганты занимают зону больших полуосей орбит, которая совпадает с нашими ожиданиями – исходя из того, что в этой зоне протопланетный диск был достаточно прохладен для существования льдов. Это важное наблюдение в классической теории формирования планет-гигантов.

2. Масса и угловой момент.

Масса Солнца равна 1.989 * 10³³ г, оно состоит из водорода (массовая доля Х = 0.73), гелия (массовая доля Y = 0.25) и «металлов» (массовая доля Z = 0.02). Каждый тут же заметит, что большинство тяжелых элементов в Солнечной системе сосредоточено в Солнце. Если предположить, что большая часть массы Солнца в процессе формирования звезды прошла через протопланетный диск, то это означает, что процесс формирования планет должен быть не слишком эффективным.

Угловой момент Солнечной системы в основном сосредоточен в орбитальном угловом моменте планет. Угловой момент вращения Солнца

L = k² M R² Sigma (формула 1)

(для простоты считаем, что Солнце вращается твердотельно)

Имея sigma = 2.9 * 10^-6 1/сек, и считая k² = 0.1 (соответствующий звездам с лучистым ядром), получаем L = 3 * 10⁴⁸ г см²/с. Для сравнения, орбитальный угловой момент Юпитера равен 2 * 10⁵⁰ г см²/с (формула 2)

То, что угловой момент Солнечной системы сосредоточен в основном в планетах, не кажется чем-то особенно удивительным, однако точное знание того, каким образом угловая скорость маломассивной звезды меняется на ранних этапах ее эволюции, остается предметом активных исследований (Хербст и др., 2007).

3. Минимальная масса протосолнечной туманности.

Мы можем использовать наблюдаемые значения масс и состав планет Солнечной системы для нахождения нижнего предела на то количество газа, которое должно было присутствовать на стадии формирования планет. Этот предел называется «минимальной массой протосолнечной туманности» (Weidenschilling, 1977). Процедура такова:

Начнем с подсчета массы всех тяжелых элементов (далее называемых просто «железо»), входящих в состав каждой планеты, и дополним эту массу таким количеством водорода и гелия, чтобы в результате получилась смесь солнечного состава. Для Юпитера такое дополнение будет умеренным, а для Земли – весьма значительным.
Потом разделим Солнечную систему на кольца так, чтобы в каждом кольце была одна планета. Распределим увеличенную (с учетом водорода и гелия) массу каждой планеты равномерно вдоль кольца, и придем к характерной поверхностной плотности газа (единица измерения – г/кв.см) в области, соответствующей каждой планете.

Как оказалось (если проигнорировать пояс астероидов), между Венерой и Нептуном эта плотность оказывается пропорциональной r^-3/2. Получать точное значение из подобной «прикидки на пальцах» бессмысленно, но типичный профиль выглядит как:

Плотность = 10³ * (r/а.е.)^-3/2 г/кв.см (формула 3)

Интегрируя это выражение до расстояний 30 а.е., получим массу диска, равную ~0.01 массы Солнца, что сопоставимо с типичной массой протопланетного диска вокруг других звезд, оцененной с помощью наблюдений излучения пыли в миллиметровом диапазоне.

Не стоит забывать, что это – минимальная масса. Это не оценка массы диска в эпоху формирования протосолнечной туманности, и нет никаких причин надеяться, что шкала плотности ~ r^-3/2 представляет собой установившийся профиль поверхностной плотности протопланетного диска. Большинство теоретических моделей диска предсказывают значительно более пологий наклон, такой как

Плотность ~r^-1 (Белл и др., 1997)

4. Резонансы.

Резонанс происходит, когда есть почти точное отношение между характерными частотами движения двух тел. Например, резонанс среднего движения происходит между двумя планетами с периодами Р₁ и Р₂, если Р₁/ Р₂ = i/j, где i и j – целые числа (резонанс становится особенно важен, если i и j – небольшие целые числа). В Солнечной системе Нептун и Плутон (вместе со множеством других объектов Пояса Койпера) находятся в резонансе 3:2, а Юпитер и Сатурн близки к резонансу 5:2, известному как «большое неравенство» (Ловетт, 1895). Среди главных планет Солнечной системы нет простых резонансов. Однако много резонансных пар есть среди спутников планет.

5. Малые тела.

В очень грубом приближении Солнечная система динамически полна, т.е. большинство орбит, стабильных в течение 5 миллиардов лет, уже занято небольшими небесными телами. Во внутренней и средней части Солнечной системы главным резервуаром малых тел является Главный астероидный пояс – с резким уменьшением количества астероидов в «люках Кирквуда», что представляет поразительную иллюстрацию важности резонансов (в данном случае с Юпитером) в динамических взаимодействиях.

Свойства объектов, расположенных за Нептуном (Chiang et al., 2007; Jewitt & Luu, 1993) накладывают важные ограничения как на раннюю эволюцию внешней части Солнечной системы (Malhotra, 1993), так и на «столкновительные» (ударные) модели формирования планет (Kenyon, 2002).

Свойства Пояса Койпера включают в себя:

Значительную популяцию объектов с орбитами, подобными орбите Плутона, и находящихся с Нептуном в резонансе 3:2 (т.н. «плутино»)
Недостаток объектов на орбитах с большой полуосью 36 > a > 39 а.е.
Явную границу в распределении классических объектов пояса Койпера на расстоянии около 50 а.е. (Trujillo, Jewitt & Luu, 2001).
Дифференциальное распределение размеров тел со степенным с индексом ~ 4.

Объекты Пояса Койпера обычно классифицируются по нескольким различным динамическим семействам. Резонансные объекты пояса Койпера - подобно Плутону – имеют резонанс среднего движения с Нептуном. Центавры – нерезонансные объекты, чье перигелийное расстояние лежит внутри орбиты Нептуна. Классические объекты пояса Койпера – удаленные объекты, чьи орбиты мало взаимодействуют с Нептуном. И, наконец, рассеянный диск объектов Пояса Койпера включает в себя тела с перигелиями за орбитой Нептуна, которые не попали в остальные классы.

Наиболее загадочным объектом за пределами Пояса Койпера является Седна – крупный объект с большой полуосью 480 ± 40 а.е., эксцентриситетом e = 0.84 ± 0.01 и наклонением i = 12 градусов (Brown, Trujillo & Rabinowitz, 2004). Так как Седна была открыта вблизи перигелия, то весьма вероятно, что она является первым представителем нового класса объектов, чьи перигелийные расстояния лежат далеко за пределами орбиты Нептуна. Возможно, этот объект – из внутренней части Облака Оорта.

6. Возрасты.

Датировка возраста метеоритов радиохимическим методом позволяет определить абсолютный возраст Солнечной системы вместе с ограничениями на масштаб времени некоторых этапов формирования планет. Детальное описание этого метода выходит за рамки этих лекций. Типичное значение возраста Солнечной системы составляет 4.57 млрд. лет, время формирования крупных тел в поясе астероидов оказывается меньше 5 миллионов лет, а время окончательного формирования Земли составляет около 100 млн. лет.

7. Спутники.

Большинство планет имеет системы спутников, некоторые из этих систем весьма обширны. Различные аспекты формирования спутниковых систем обсуждались Canup & Ward (2002) и Nesvorny et al. (2003), но что эти системы говорят об общей картине формирования планет (исключая свидетельство того, что планеты-гиганты в процессе формирования были окружены протоспутниковыми дисками), пока не ясно.

Б. Внесолнечные планеты.

1. Методы обнаружения и основные тенденции.

В настоящее время наиболее важными методами обнаружения и исследования внесолнечных планет являются:

Наблюдения лучевых скоростей достаточно близких звезд, похожих на Солнце (Butler et al., 1996). Этим способом открыто приблизительно 200 планет.
Наблюдения транзитов, т.е. проходов планеты по диску звезды, и последующее подтверждение планетной природы транзитного кандидата измерениями лучевой скорости родительской звезды. Этим способом открыто 14 планетных систем (на момент перевода – 19), однако это количество скоро возрастет в связи с продолжающимися наземными наблюдениями, а также запуском космических миссий КОРОТ и Кеплер - (Baglin et al., 2002), (Borucki et al., 2003).
Гравитационное микролинзирование (Beaulieu et al., 2006).
Тайминг пульсаров (Wolszczan & Frail, 1992).

Такие методы, как непосредственное получение изображений экзопланет, астрометрия и тайминг транзитов, имеют значительный потенциал, и будут использоваться в будущем.

Из существующих методов самый важный – метод измерения лучевых скоростей звезд. 51 Пегаса б – первая известная планета у нормальной звезды – была открыта именно этим способом. Большинство внесолнечных планет, открытых к настоящему моменту, также открыты методом измерения лучевых скоростей (Marcy et al., 2005).

Подпись к Рисунку 1. Планета с массой М_р вращается вокруг общего центра масс на расстоянии а₁, а звезда с массой М вращается вокруг него на расстоянии а₂. Система наблюдается под углом i к картинной плоскости.

Метод измерения лучевых скоростей основан на построении зависимости лучевой скорости звезды от времени в присутствии планеты, вращающейся вокруг этой звезды. Для планеты на круговой орбите геометрия системы показана на Рисунке 1. Звезда вращается вокруг центра масс системы со скоростью:

V = M_p/M * (gamma M/ a)^1/2 (формула 5)

Наблюдая систему под углом i (наклонение орбиты к лучу зрения), мы видим изменение лучевой скорости звезды с полуамплитудой К:

К ~ M_p a^-1/2 sin i (формула 6)

Если наклонение i неизвестно, измеренная нами величина К дает нижний предел на массу планеты М_р. Заметим, что масса звезды М не определяется из графика зависимости лучевой скорости от времени, но она может быть определена из особенностей звездного спектра. Если планета находится на эксцентричной орбите, эксцентриситет может быть определен из несинусоидальной формы графика зависимости лучевой скорости от времени.

Среди источников шума при наблюдениях лучевой скорости звезды известны: фотонный шум, собственные колебания звезды (из-за конвективных движений в атмосфере или звездных осцилляций) и инструментальные эффекты. Амплитуда всех этих эффектов меняется (иногда драматически) от звезды к звезде. Однако если мы вообразим некий идеализированный обзор, для которого шум в каждом наблюдении будет константой, тогда выбранный предел будет определяться:

Минимальное значение М_р sin i = С a^1/2, где С – константа. (формула 7)

Планеты с массой ниже этого порога не будут обнаружены, равно как и планеты с периодом, превышающем продолжительность времени наблюдения (это происходит оттого, что при небольшом отношении сигнал/шум при наблюдении только части орбиты планеты орбитальные решения оказываются слишком неточными). Область, очерченная этими пределами, схематически показана на Рисунке 2.

Подпись к рисунку 2. Крайне схематическая иллюстрация «функции обнаружимости планет» в идеализированном обзоре лучевых скоростей звезд. Минимальная масса планеты, которая еще может быть обнаружена, зависит от большой полуоси ее орбиты как a^1/2, а орбитальный период планеты ограничен продолжительностью времени наблюдения.

К настоящему моменту, наилучшее среднеквадратичное отклонение для орбитального решения, объявленного для звезды, имеющей планеты, составляет около 1 м/сек, а самая низкая полуамплитуда лучевой скорости звезды – 2.2 м/сек. Нельзя забывать, что это – наилучшие значения: полный список внесолнечных планет, который подходит для статистических исследований, существует лишь для К > 30 м/сек (Fischer & Valenti, 2005).

В сравнении с этими числами, в Солнечной системе скорость Солнца, «наводимая» Юпитером, составляет 12 м/сек, скорость Солнца, наводимая Землей – 0.1 м/сек.

Необходимо детальное моделирование, чтобы оценить возможность обнаружения эксцентричной планеты (если на пальцах, то планета с высоким эксцентриситетом вызывает большую лучевую скорость звезды, когда она в периастре, однако большую часть времени планета будет двигаться далеко и медленно, и вызовет меньшую лучевую скорость). Cumming (2004) обнаружил, что текущие обзоры предубеждены против обнаружения планет с очень высоким эксцентриситетом.

2. Наблюдаемые свойства.

Для большинства известных внесолнечных планет наши знания ограничены теми величинами, которые можно получить из измерений лучевой скорости звезды: нижним пределом на массу планеты m sin i, большой полуосью орбиты а, эксцентриситетом е и аргументом перицентра w. Кроме того, доступны оценки массы родительской звезды и ее металличности. Распределение планет по М_р sin i, a и e представлены на Рисунках 3, 4 и 5 (использовались данные по планетам, обнаруженным методом измерения лучевых скоростей, из работы Батлера - Butler et al. (2006)).

Подпись к Рисунку 3. Распределение известных внесолнечных планет по величине большой полуоси а и эксцентриситету е (красные треугольники). Планеты Солнечной системы показаны зелеными квадратами, для сравнения. Голубая кривая линия показывает линию постоянного расстояния в периастре. Рисунок включает в себя все планеты, перечисленные Батлером, для которых Mp sin i < 10 масс Юпитера.

Группа Марси (Marcy et al. (2005)) указывает на следующие результаты обзоров на Ликской обсерватории, обсерватории им. Кека и обсерватории AAT, где в течение последних 10 лет производился мониторинг 1330 звезд спектральных классов F, G, K, M:

Планеты-гиганты с большой полуосью орбиты, меньшей 5 а.е., обнаружены примерно у 7% звезд. Конечно, это только нижний предел, так как множество планет-гигантов не попадают в выбранную область параметров из-за своей удаленности от родительской звезды.
Горячие юпитеры с a < 0.1 а.е. обнаружены примерно у 1% звезд. Число планет (определенное как dNp/d log a) растет с увеличением орбитального расстояния.
За пределами области вблизи звезды, где орбиты быстро скругляются приливными силами, весьма обычны орбиты с высокими эксцентриситетами (Рисунок 3). Найдено несколько планет с очень высоким эксцентриситетом. Среднее значение эксцентриситета экзопланет близко к 0.25. И, наконец, не обнаружено явной зависимости эксцентриситета планеты от ее массы.
Функция планетных масс падает с ростом массы планеты (т.е. чем больше масса планеты, тем реже они встречаются) (Butler et al., 2006; Tabachnik & Tremaine, 2002).
Вероятность обнаружить планету быстро растет с ростом металличности родительской звезды. Эта зависимость, показанная на Рисунке 6 и построенная по данным Фишер и Валенти (Fischer & Valenti (2005), очень сильная: сравнительно небольшое увеличение металличности приводит к значительному повышению вероятности обнаружить планету рядом со звездой.
Весьма обычны многопланетные системы, во многих из них наблюдаются резонансы среднего движения.

Подпись к Рисунку 4. Распределение известных внесолнечных планет по величине большой полуоси орбиты а и минимальной массе m sin i. Линии постоянной полуамплитуды наведенной лучевой скорости К, показанные пунктирными синими линиями, приведены к массе родительской звезды, равной массе Солнца. Очевидно, что типичная внесолнечная планета – не горячий юпитер, а скорее планета с a > 1 а.е.

Подпись к Рисунку 5. Эксцентриситеты и массы известных внесолнечных планет, отдельно для планет с короткими периодами (а < 0.1 а.е., показаны синими треугольниками) и отдельно для всех остальных систем (показаны красными квадратами). Короткопериодические планеты имеют меньший эксцентриситет вследствие скругления орбит приливными силами со стороны родительской звезды. Не видно заметной корреляции между массой и эксцентриситетом планет.

Подпись к Рисунку 6. Процентная доля звезд, имеющих известные экзопланеты, как функция звездной металличности. По данным Фишер и Валенти, 2005.

Дополнительно, наблюдения транзитов обнаружили небольшую популяцию планет с очень короткими периодами – рекорд принадлежит планете OGLE-TR-56 b с орбитальным периодом 1.2 дня. Наблюдаемые радиусы всех транзитных планет говорят о том, что они являются газовыми гигантами, хотя разброс наблюдаемых радиусов не подтверждает простейшие теоретические предсказания. В частности, некоторые планеты (включая HD209458 b как наиболее изученный пример) выглядят значительно больше, чем ожидалось, возможно, как результат высокой металличности их родительских звезд (Burrows et al., 2006). Сравнительно небольшой радиус одной из планет указывает на то, что у нее есть большое массивное ядро (планета с массой Сатурна, вращающаяся вокруг звезды HD149026, для которой Sato и др. (2005) вывели массу ядра в 70 масс Земли).

II Протопланетные диски.

А. Окружение формирующихся звезд.

Звезды и сегодня образуются в Галактике из газа, сосредоточенного в небольших и плотных ядрах молекулярных облаков. Молекулярные облака наблюдаются в одной или нескольких молекулярных линиях (например, в линиях СО, ¹³СО и NH₃), каждая из которых может быть использована как для исследования областей с различной плотностью, так и для получения информации о движении газа (такого, как вращение, сжатие и т.п.). Наблюдения плотных, маленьких по размерам ядер молекулярных облаков (с размерами порядка 0.1 пк), которые являются непосредственными предшественниками формирующихся звезд, показывают градиенты скорости, равные по порядку величины 1 км/с на 1 пк. Даже если весь этот градиент приписать вращению, параметр

B = Erot/Egrav (формула 9)
оказывается маленьким: часто по порядку величины он равен 0.01. Следовательно, вращение не является особенно важным на ранних стадиях коллапса. С другой стороны, угловой момент ядра молекулярного облака оказывается большим, по порядку величины равным Jcore ~ 10⁵⁴ г см²/сек. Этот угловой момент гораздо больше углового момента Солнечной системы, не говоря уж про Солнце – несоответствие, которое названо «проблемой углового момента при формировании звезд». Полное решение этой проблемы заключается в возможности формирования двойной звездной системы, потере углового момента при истечении вещества и формировании диска. Для наших целей достаточно отметить, что характерный угловой момент газа в ядре молекулярного облака соответствует характерному угловому моменту газа на кеплеровской орбите вокруг звезды солнечной массы с орбитальным расстоянием 10-100 а.е.

Подведя черту, отметим, что наблюдаемые свойства ядер молекулярных облаков совместимы с формированием больших дисков – размером с Солнечную систему и больше – вокруг недавно сформировавшихся звезд. Сразу после своего формирования эти диски могут быть весьма массивны.

Подпись к Рисунку 7. Схематическая иллюстрация распределения энергии в спектре молодой звезды, окруженной диском. Существование диска выводится из инфракрасного избытка в спектре (относительно ожидаемых величин, вычисленных из знания температуры фотосферы молодой звезды) на длинах волн порядка 1 мм. Часто наблюдается также ультрафиолетовый избыток, который является признаком аккреции газа на поверхность звезды, приводящей к появлению горячих пятен.

Молодые звездные объекты классифицируются по форме их спектров в инфракрасном диапазоне. Как показывает Рисунок 7, молодые звездные объекты часто демонстрируют:

Инфракрасный избыток в спектре как признак наличия горячей пыли в околозвездном диске.
Ультрафиолетовый избыток в спектре, который говорит о наличии на поверхности звезды областей с высокой температурой (горячих пятнах), где аккумулируется газ из диска.

Чтобы определить величину инфракрасного избытка в спектре, полезно ввести меру наклона спектра между ближним ИК-диапазоном (2.2 мкм) и средним ИК-диапазоном (10 мкм):
a_ir = delta (log (lambda * F_lambda)) / delta (log lambda) (формула 10)

Мы будем классифицировать молодые звездные объекты как:

- Объекты нулевого класса: спектр имеет максимум в дальнем ИК или миллиметровом диапазоне (~100 мкм).

- Объекты первого класса: плоский спектр или спектр, возрастающий к среднему ИК-диапазону (a_ir > 0).

- Объекты второго класса: спектр, падающий к среднему ИК-диапазону (-1.5 < a_ir < 0). К этому классу относятся классические звезды типа Т Тельца.

- Объекты третьего класса: звезды, почти достигшие главной последовательности с небольшим или отсутствующим инфракрасным избытком. Они называются «звезды типа Т Тельца со слабой линией H» (заметим, что хотя эти объекты определены через эквивалентную ширину линии Н_alfa, наличие линии является признаком аккреции, который хорошо коррелирует с наличием инфракрасного избытка).

Эта схема классификации объектов, основанная на наблюдениях, получила и теоретическую интерпретацию, отчасти как эволюционная последовательность (Adams, Lada & Shu, 1987). В частности, ранние объекты нулевого класса, теряя свои диски, становятся объектами второго класса и, в конечном счете, становятся объектами третьего класса. Угол наклона системы к лучу зрения тоже играет важную роль: в зависимости от него объект может выглядеть как объект первого или второго класса.

Б. Пассивные околозвездные диски.

Существует важное физическое различие между пассивными околозвездными дисками, которые только переизлучают свет звезды, и активными дисками, которые перерабатывают потенциальную гравитационную энергию газа в энергию газовых потоков. Для диска с приростом массы М`, вращающимся вокруг звезды со светимостью L и радиусом R, равным двум солнечным радиусам, критическая скорость аккреции, ниже которой энергией аккреции можно пренебречь, может быть оценена как:

¼ L = gamma M` M/ 2R (формула 11),

где учитывается, как будет показано ниже, что диск перехватывает примерно четверть светового потока от звезды. Численно

М` = 3 * 10^-8 масс Солнца в год (формула 12)

Скорость аккреции, измеренная у классических звезд типа Т Тельца, меняется по порядку величины от значения выше критической до значений на два порядка ниже. Таким образом, нельзя считать, что протопланетные диски являются или всегда пассивными, или всегда активными. Скорее, тепловая структура дисков на ранних стадиях больше напоминает структуру активного диска с выделением тепла из-за аккреции, а на поздних стадиях преобладает простое переизлучение света звезды.

1. Вертикальная структура.

Вертикальная структура геометрически тонкого диска (не важно, активного или пассивного) определяется рассмотрением вертикального гидростатического равновесия (Рисунок 8):

dP/dz = -p g_z(формула 13)
где р – плотность газа. Игнорируя гравитационное влияние диска (обычно это оправданно), получим, что вертикальный компонент силы притяжения, действующий на цилиндрический объем газа с радиусом r и высотой над усредненной плоскостью диска z, равен:

G_z = gamma M/d² sin Fi = gamma M/d³ z (формула 14)

Для тонкого диска z<
G_z = sigma² z (формула 15), где sigma = (gamma M/r³)^1/2 – кеплеровская угловая скорость. Если мы для простоты предположим, что диск является вертикально изотермическим (что является хорошим приближением для пассивного диска и не очень хорошим для активного диска), тогда уравнение состояния будет:

Р = рс² , где с – скорость звука.

Уравнение гидростатического равновесия (формула 13) тогда может быть переписана как:
c² dp/dz = -sigma² p z (формула 16)

Это уравнение имеет решение:
р = р(z=0) exp (-z²/h²) (формула 17),
где h – вертикальный масштаб уменьшения плотности, h = sqrt (2) c/sigma (формула 18)

Сравнивая толщину диска с его радиусом, получим:
h/r = c/v (формула 19), где v – локальная орбитальная скорость. Мы видим, что толщина диска h/r пропорциональна числу Маха газового потока.

Подпись к Рисунку 8. График для вычисления вертикального гидростатического равновесия в околозвездном диске.

Подпись к рисунку 9. График для вычисления температурного профиля плоского пассивного диска. Мы рассматриваем поверхность единичной площади в плоскости диска на расстоянии r от звезды радиуса R. Ось сферических полярных координат – линия между поверхностью и центром звезды, причем угол fi = 0 в направлении на полюс звезды.

Форма диска зависит от отношения h(r) /r. Если мы параметризуем изменения радиальной скорости звука как c ~ r^-^beta (формула 20),
тогда зависимость толщины диска от радиуса будет
h/r ~ r^-^beta^+1/2 (формула 21)
Диск будет толстым (т.е. h/r будет увеличиваться с увеличением радиуса, делая диск похожим на шар), если beta < ½. Для этого требуется, чтобы температурный профиль
T(r) ~ r^-1или более пологий. Как мы коротко покажем, толстые диски – нормальное явление, особенно близко от звезды.

2. Радиальный температурный профиль.

Физика вычислений радиального температурного профиля пассивного диска была описана в работах Adams & Shu (1986), Kenyon & Hartmann (1987) и Chiang & Goldreich (1997). Мы начнем рассмотрение с простейшей модели тонкого плоского диска, в экваториальной плоскости которого поглощается все попавшее на него звездное излучение и переизлучается по закону черного тела в соответствии с локальной температурой. Нагревом звезды диском пренебрегаем.

Рассмотрим поверхность в плоскости диска на расстоянии r от звезды радиуса R. Звезда представлена сферой с постоянной яркостью I. Введя сферические полярные координаты, как это показано на Рисунке 9, мы получим, что поток звездного света, проходящий через эту поверхность, равен:

F = интеграл от (I sin (teta) cos (fi) dsigma) (формула 22)

Мы учитываем только поток, приходящий от верхней половины звезды, и излучение только верхней половины диска. Тогда пределы интегрирования будут:
-pi/2 < fi < pi/2, 0 < teta < sin^-1 (R/r) (формула 23)

Подставляя dsigma = sin (teta) dteta dfi, получим интеграл для излучения:

F = I * интеграл от –pi/2 до pi/2 по (cos (fi) dfi) * интеграл от 0 до sin^-1 (R/r) по (sin²(teta) dteta) (формула 24), который равен

F = I * (sin^-1 (R/r) - R/r * sqrt (1-(R/r)²) (формула 25)

Для звезды с эффективной температурой Т яркость I = (1/pi) * (постоянная Стефана-Больцмана) * Т⁴ . Приравнивая F к излучению одной стороны диска (постоянная Стефрна-Больцмана) * Т_диска⁴, мы получим радиальный температурный профиль:

(Tдиска/Т)⁴ = 1/pi * (sin^-1(R/r) – R/r * sqrt (1-(R/r)²)) (формула 26)

Интегрируя по радиусу, мы получим полную яркость диска:

F = 2 * интеграл от R до бесконечности по (2 pi r * (постоянная Стефана-Больцмана) * Т_диска⁴ dr = ¼ F (формула 27)

Мы пришли к выводу, что плоский пассивный диск, охватывающий звездный экватор, перехватывает четверть звездного излучения. Отношение наблюдаемой болометрической яркости такого диска к яркости звезды будет меняться в зависимости от угла наклона системы к лучу зрения, но в любом случае яркость диска всегда меньше яркости звезды.

Форма температурного профиля, полученная из выражения (26), не слишком очевидна. Разлагая правую часть уравнения по Тейлору (и считая R << r, т.е. речь идет о диске достаточно далеко от звездной поверхности), получим:

Т_диска ~ r^-3/4 (формула 28)
как предельный температурный профиль тонкого, плоского, пассивного диска. Для газа с постоянной молекулярной массой mu это приводит к профилю скорости звука

C ~ r^-3/8 (формула 29)

Считая диск вертикально изотермичным, мы получим и выражение для толщины диска:
h/r ~ r^1/8 (формула 30)
и предсказываем, что диск должен немного расширяться с ростом расстояния до звезды. Если это действительно происходит, то внешние части диска перехватывают большую долю звездного света и нагреваются до более высоких температур. Следовательно, температурный профиль T ~ r^-3/4 – самый крутой профиль, который можно получить для пассивного диска.

Подпись к Рисунку 10. Здесь схематически показан спектр диска. На коротких волнах мы видим экспоненциальное спадание, соответствующее высокотемпературному кольцу диска (обычно на внутреннем краю). На длинных волнах расположен «хвост» Рэлея-Джинса, отражающий излучение холодного материала во внешней части диска. На средних волнах находится плоская часть спектра, так как полный спектр отражает излучение протяженного черного тела.

3. Распределение энергии в спектре.

Предположим, что каждое кольцо в диске излучает как абсолютно черное тело с локальной температурой Т_диск (r). Если диск простирается от r_in до r_out, спектр диска является суммой спектров таких тел:

F_lambda ~ … (формула 31),
где B_lambda – функция Планка:

B_lambda(Т) = … (формула 32)

Поведение спектра, выраженного выражением (31), легко представить. На длинных волнах (lambda >> hc/kT(r_out)) мы возвращаемся к формуле Рэлея-Джинса:

Lambda * F_lambda ~ lambda^-3 (формула 33),
тогда как для коротких волн (lambda << hc/kT(r_in)) наблюдается экспоненциальное спадание энергии в спектре, что соответствует самому горячему краю диска:
Lambda * F_lambda ~ lambda^-4 exp (-hc/kT(r_in)) (формула 34)

Для средних волн hc/kT(r_in) << lambda << hc/kT(r_out) формируется спектр, который может быть найден подстановкой:
x = hc/lambda kT(r_in) * (r/r_in)^3/4 (формула 36)
в уравнение (31). Мы имеем тогда, приблизительно,

F_lambda ~ … (формула 37)
и lambda * F_lambda ~ lambda^-4/3 (формула 38)
Общий вид спектра, схематически показанный на Рисунке 10, является спектром «протяженного» черного тела (Lynden-Bell, 1969).

Распределение энергии в спектре, предсказанное этой простой моделью, демонстрирует инфракрасный избыток, но с понижением в области средних инфракрасных волн. Это слишком круто, чтобы соответствовать наблюдениям даже источников второго класса.

4. Эскиз более полных моделей.

Для вычисления детального вида спектра пассивного плоского диска необходимо учитывать еще два обстоятельства. Первое, как было показано выше, заключается в том, что диск расширяется с ростом r, и, как следствие, поглощает и перерабатывает большую долю звездного света. Для больших r Kenyon & Hartmann (1987) нашли, что расширяющиеся по мере удаления от звезды дисковые модели приводят к температурному профилю
Т_диска ~ r^-1/2 (формула 39),
который более плоский, чем профиль, полученный выше. Второе обстоятельство заключается в том, что предположение о чернотельном характере излучения диска оказывается слишком простым. Фактически пыль в поверхностном слое диска излучает как более нагретое тело, потому что она гораздо эффективнее поглощает звездный свет на более коротких волнах, чем излучает в среднем инфракрасном диапазоне (Shlosman & Begelman, 1989). Частицы пыли размером а эффективно поглощают свет с длиной волны lambda < 2 pi a, но плохо поглощают и излучают волны с длиной волны lambda > 2 pi a. В результате диск поглощает звездный свет вблизи своей поверхности (где оптическая глубина порядка единицы), но в этой области оптическая глубина на излучение в дальнем инфракрасном диапазоне оказывается много меньше единицы. Излучение, приходящее из поверхностного слоя диска, оказывается более горячим, чем это было предсказано в модели «протяженного черного тела».

Chiang & Goldreich (1997) показали, что относительно простая дисковая модель, включающая в себя:

Горячий поверхностный слой пыли, который непосредственно переизлучает половину звездного света, и
Более холодную внутреннюю часть диска, которая перерабатывает вторую половину звездного света в тепловое излучение,

с учетом расширения диска по краям, может прекрасно воспроизводить большинство наблюдаемых спектров. Обзор недавних работ по моделированию дисков сделан Dullemond et al. (2007).

Приведенные выкладки в принципе достаточны для того, чтобы понять структуру и форму спектра источников второго класса. Однако для источников первого класса возможно наличие оболочки (состоящей из газа и пыли, продолжающих падать на протозвезду с протопланетным диском), что также нуждается в рассмотрении. Направляем читателя к Eisner et al. (2005) для изучения одного из примеров моделирования таких систем.

В. Активные аккреционные диски.

Радиальный баланс сил в пассивном диске включает в себя вклад гравитации, центробежной силы и радиального градиента давления. Запишем соответствующее уравнение:
v²/r = gamma M/r² + 1/p dP/dr (формула 40),
где v – радиальная скорость газа, Р – давление.

Чтобы оценить величину градиента давления, заметим, что
1/p dP/dr ~ -1/p P/r ~ -1/p * pc²/r ~ - gamma M/r² * (h/r)² (формула 41),
где на последнем шаге мы сделали подстановку h ~ c/sigma. Если v_k – кеплеровская скорость на расстоянии r от звезды, то мы имеем:
v² = v_k² (1 – o(h/r)²) (формула 42),
т.е. в случае тонкого (h << r) диска градиентом газового давления можно пренебречь по сравнению с кривой вращения газа.

¹(Однако это не означает, что градиент давления вообще не важен. Как мы увидим дальше, небольшая разница между v и v_k приобретает огромное значение для динамики небольших камешков в диске.)

С очень небольшой погрешностью можно сказать, что угловой момент газа в диске равен угловому моменту движения по соответствующей кеплеровской орбите:
l = r² sigma = sqrt (gamma M r) (формула 43),
который является возрастающей функцией r. Падая на звезду, газ в диске должен утратить угловой момент:

Через перераспределение углового момента в диске (обычно описываемое как «вязкость», хотя это не совсем точный термин),
Через утрату углового момента из системы звезда+диск, например, путем истечения намагниченного дискового ветра.

Модели второго класса – есть хорошо известный пример, в котором решение для дискового ветра было получено Blandford & Payne (1982) – широко не обсуждаются (возможно, незаслуженно) – в частности, потому, что в нескольких белых карликах, окруженных аккреционными дисками, наблюдаются неблагоприятные (disfavor) модели ветра, хотя там нет ограничений, существующих для протопланетных дисков. Здесь мы получим уравнения для времени эволюции поверхностной плотности тонкого вязкого диска (Lynden-Bell & Pringle, 1974; Shakura & Sunyaev, 1973). Хороший обзор фундаментальных теорий дисковой аккреции можно найти у Pringle (1981) и Frank, King & Raine (2002).

1. Диффузионное уравнение эволюции.

Пусть диск имеет поверхностную плотность S(r,t) и радиальную скорость v_r (r,t), причем v_r < 0 соответствует приближению к звезде. Потенциал установлен так, что угловая скорость зависит только от расстояния до звезды: sigma = sigma (r). В цилиндрических координатах уравнение непрерывности для осесимметричного потока (см., например, Pringle (1981)):

R dS/dt + d/dr(r S v_r) = 0 (формула 44)

Аналогично, сохранение углового момента дает:

… (формула 45)

где член в правой части уравнения соответствует вращательному моменту, действующему на поток вследствие сил вязкости. Как известно из гидродинамики (Pringle, 1981), G дается в терминах кинематической вязкости u согласно выражению:

G = … (формула 46)
где правая сторона уравнения есть результат произведения длины окружности, силы вязкости на единицу длины и длину плеча r.

Если мы заменяем G, исключаем из уравнения v_r с помощью уравнений (44) и (45) и ограничиваемся кеплеровским потенциалом с sigma ~ r^-3/2, мы получим эволюционное уравнение для поверхностной плотности тонкого аккреционного диска в его нормальной форме:

DS/dt = … (формула 47)

Это частное дифференциальное уравнение для эволюции поверхностной плотности S имеет форму уравнения диффузии. Чтобы сделать это явным, совершим подстановку:

X = 2 r^1/2,
f = 3/2 S X (формула 48)

Для постоянной кинематической вязкости u уравнение (47) тогда принимает типичную форму уравнения диффузии:

Df/dt = D d²x/dt² (формула 49)
с коэффициентом диффузии D = 12 u/X² (формула 50)

Характерное время диффузии, полученное из уравнения (49), равно X²/D. Возвращаясь обратно к физическим переменным, мы обнаружим, что характерное время эволюции диска на расстоянии r от звезды с кинематической вязкостью u равно:

Tau = r²/u (формула 51)

Наблюдения эволюции диска (например, определение характерного времени векового уменьшения скорости аккреции) вместе с оценками размеров диска могут помочь определить эффективную вязкость диска (Hartmann et al., 1998).

2. Решения.

В общем случае вязкость является функцией местных условий в диске (таких, как поверхностная плотность, расстояние до звезды, температура, степень ионизации и т.д.) Если вязкость u зависит от поверхностной плотности S, тогда уравнение (47) становится нелинейным уравнением, которое не имеет аналитических решений (кроме нескольких особых случаев). Если есть более сложная зависимость от местных условий, тогда уравнение эволюции поверхностной плотности должно быть решено одновременно с уравнением эволюции центральной температуры (Pringle, Verbunt & Wade, 1986). Однако аналитическое решение возможно, если u может быть записано как степенная функция r (Lynden-Bell & Pringle, 1974), и этого достаточно для иллюстрации основного поведения решения уравнения (47).

Сначала мы опишем решение для функции Грина для случая u = const. Предположим, что в момент времени t = 0 весь газ сосредоточен в тонком кольце массой m и радиусом r₀:

S (r, t = 0) = m/(2 pi r₀) * delta (r-r₀) (уравнение 52)

Легко показать, что его решение:

S (r, t) = … (уравнение 53),
где мы записали решение в безразмерных переменных x = r/r₀, tau = 12 u /r₀² t, I_1/4 – модифицированная функция Бесселя первого рода.

Если Вы не водите близкое знакомство с функциями Бесселя, решение для функции Грина не покажется Вам особенно ясным и прозрачным. Эволюция, подразумеваемая этим решением, представлена на Рисунке 11. Наиболее важные свойства решения, при t, стремящемся к бесконечности – это:

Поток массы к r = 0, и
Угловой момент, уносимый небольшой долей массы, течет к r = бесконечности.

Подпись к Рисунку 11. Численное решение уравнения эволюции диска для случая u = const, вычерченное для значений безразмерного времени tau, равного 0.01, 0.02, 0.04, 0.08 и 0.16. Начальное состояние представляет собой узкое кольцо с массой m при x = 1. Для x = 0.01 было применено граничное условие: равный нулю угловой момент. Заметим, что из-за этого граничного условия решение уравнения на более поздних временах немного отличается от аналитического решения, данного в тексте.

Это разделение массы и углового момента – генетическая особенность эволюции вязкого диска, и она явно важна для решения проблемы углового момента при формировании звезд.

Большую практическую пользу принесло самоподобное решение, также полученное Lynden-Bell & Pringle (1974). Рассмотрим диск, в котором вязкость меняется как степенная функция расстояния до звезды:
u ~r^gamma (формула 54)

Предположим, что диск в момент времени, равный нулю, имеет профиль поверхностной плотности, соответствующий устойчивому, установившемуся решению состояния (с этим законом изменения вязкости) до r = r₁ с экспоненциальным снижением плотности для больших r. Как мы кратко покажем ниже, начальная поверхностная плотность в этом случае имеет форму:
S (t = 0) = C/ (3 pi u₁ r_{_}^gamma) * exp (-r_{_} (2 – gamma)), (формула 55)
где С – константа, u₁ = u (r₁), r_{_} = r/r₁. Самоподобное решение тогда:

S (r_{_}, T) = … (формула 56),
где T = t_s/t + 1,
t_s = 1 / (3 (2 – gamma)²) * r₁²/ u₁ (формула 57)

Это решение показано на Рисунке 12.

Подпись к рисунку 12. Самоподобное решение уравнения эволюции диска для случая gamma = 1, вычерченное для величин безразмерного времени T, равных 1, 2, 4 и 8. Величина поверхностной плотности по оси y произвольна.

В течение долгого времени масса диска уменьшается, в то время как характерный масштаб диска (изначально равный r₁) увеличивается с сохранением углового момента. Это решение весьма полезно как для аналитического изучения эволюции дисков, так и для сравнения наблюдаемых масс и размеров дисков и скорости аккреции с теорией (Hartmann

et al., 1998).

Стационарное решение для зависимости поверхностной плотности диска от радиуса может быть выведено из условия d/dt = 0 и интегрирования уравнения (45) с условием сохранения углового момента:

S r³ sigma v_r = u S r³ dsigma/dr + const (формула 58)

Заметив, что скорость аккреции M` = -2 pi r sigma v_r, мы имеем:

-M`/2 pi * r² * sigma = u S r³ dsigma/dr + const (формула 59)

Для определения константы интегрирования отметим, что вращательный момент диска исчезает, если dsigma/dr = 0. В этом случае константа может быть оценена, она будет пропорциональна локальному потоку углового момента:
С ~ M` r² sigma (формула 60)

Обычно он определяется на внутренней границе диска. Особенно простой пример – это случай диска, который простирается от экватора медленно вращающейся звезды. Этот случай проиллюстрирован на Рисунке 13.

Подпись к рисунку 13. Схематический график зависимости угловой скорости sigma (r) для медленно вращающейся звезды, окруженной тонким аккреционным диском, распространяющимся от звездного экватора. При больших радиусах в диске угловая скорость меняется по нормальному кеплеровскому закону, показанному пунктирной зеленой линией. Чтобы гладко перейти на вращение экватора звезды, угловая скорость должна повернуть (начать уменьшаться) на малых расстояниях от звезды в переходной зоне, известной как граничный слой. Существование граничного слоя предполагает, что на некотором расстоянии от звезды dsigma/dr = 0, и в этой точке вязкостное напряжение исчезает.

В зоне перехода между кеплеровским профилем угловой скорости в диске и намного меньшей угловой скоростью на поверхности звезды должен быть максимум в угловой скорости газа на некотором радиусе r + delta r. Элементарные аргументы (Pringle, 1977) – которые, однако, могут быть неприменимы при очень высоких скоростях аккреции объектов типа FU Ориона (т.н. фуоров) (Popham et al., 1993), но верны во всех прочих случаях – говорят о том, что delta r << r, так что этот переход происходит в узком граничном слое вблизи поверхности звезды.

²(Физика самого граничного слоя представляется весьма интересным приложением, так как граничный слой – область сильных сдвигов, которые устойчивы в противоположность магнитовращательной неустойчивости, которая, как мы обсудим позже, является критической для переноса углового момента в диск. Pringle (1989), Armitage (2002) и Pessah, Chan & Psaltis (2006) изучали роль магнитных полей в переходном слое.)

Константа из уравнения (59) тогда может быть вычислена как:

C = -M/2 pi * r² * sqrt (gamma M/ r³) (формула 61)
и уравнение (59) становится
u S = M`/3 pi * (1 – sqrt (r переходного слоя/ r) (формула 62)

Учитывая вязкость, это уравнение определяет стационарное состояние профиля поверхностной плотности диска со скоростью аккреции M`. Вдали от границы S(r) ~ u^-1

Внутренние граничные условия, которые приводят к уравнению (62), описаны как граничное условие нулевого момента. Как уже было замечено, условие нулевого углового момента физически реализуется, когда существует граничный слой между звездой и ее диском. Этого нет, однако, в случае классических звезд типа Т Тельца. Наблюдательные данные (Bouvier et al., 2007) говорят о том, что при аккреции на звезды типа Т Тельца звездная магнитосфера разрушает внутренний аккреционный диск, приводя к магнитосферному типу аккреции, при котором газ «приклеевается» к линиям звездного магнитного поля и баллистически падает на поверхность звезды (K¨ onigl, 1991). Магнитное сцепление между звездой и ее диском вводит поправку в обмен угловым моментом, изменяет стационарный профиль поверхностной плотности вблизи внутреннего радиуса усечения и может заставить звезду вращаться медленнее, чем в ином случае (Armitage & Clarke, 1996; Collier Cameron & Campbell, 1993). Регулирует ли такой «захват диска» реальное вращение молодых звезд, остается предметом дискуссий (Herbst & Mundt, 2005; Matt & Pudritz, 2005; Rebull et al., 2006).

3. Температурный профиль.

Пользуясь методом Frank, King & Raine (2002), мы получим радиальную зависимость эффективной температуры активного аккреционного диска, рассматривая чистый вращательный момент кольца шириной delta r. Этот момент – dG/dr * delta r :

Sigma dG/dr * delta r = (d/dr (G Sigma) – G dSigma/dr) delta r (формула 63)

Записав это выражение, мы заметим, что, если рассматривать весь диск (интегрируя по r), то первый член выражения в правой части уравнения определен исключительно граничными величинами G Sigma. Следовательно, мы отождествляем этот член с переносом энергии, связанным с моментом вязкости, текущим сквозь кольцо. С другой стороны, второй член выражения представляет собой скорость потери энергии газом. Мы предполагаем, что эта энергия в конечном итоге превратилась в тепло и была излучена, так что скорость диссипации в единице поверхности диска (учитывая, что диск имеет две стороны), есть:
D(r) = G Sigma`/ 4 pi r = 9/8 u S Sigma² (формула 64),
где мы предполагаем кеплеровский профиль угловой скорости. Для излучения абсолютно черного тела D(r) = постоянная Стефана-Больцмана * Т_диска⁴. Делая подстановку для Sigma и используя для u S стационарное решение, полученное из уравнения (62), получим:
Т_диска⁴ = … (формула 65)

Заметим, что

Вдали от граничного слоя (r>>r_гр) температурный профиль активного аккреционного диска T_диска ~ r^-3/4. Т.е. он имеет ту же форму, что и для пассивного аккреционного диска, даваемую уравнением (28)
Температурный профиль не зависит от вязкости. Это является привлекательной особенностью теории при данной неопределенности происхождения и неизвестной эффективности переноса углового момента диска, хотя, с другой стороны, это лишает нас множества возможных путей изучения основной физики путем наблюдения стационарных дисков.

Для скорости аккреции, равной M` = 10^-7 масс Солнца в год, мы получим для звезды солнечной массы на расстоянии 1 а.е. эффективную температуру диска, равную 150К. Это – поверхностная температура. Как мы покажем ниже, центральная температура должна быть существенно выше.

4. Причина переноса углового момента.

В протопланетном диске можно пренебречь молекулярной вязкостью. Для газа, в котором длина свободного пробега молекул есть lambda, вязкость
u ~ lambda * c (формула 66),
где с – скорость звука. Длина свободного пробега определяется как lambda = 1/ (n s), где n – концентрация молекул газа, s – сечение их взаимодействия. Эти величины легко вычисляются. Например, рассмотрим протопланетный диск с поверхностной плотностью S = 1000 г/кв.см, h/r = 0.05 для 1 а.е. Плотность в середине (в центральной плоскости) диска по порядку величины равна n = S/ (2 m_H h) = 4 * 10¹⁴ шт./куб.см, тогда как скорость звука связанная с h/r равна 1.5 км/сек. Считая сечение взаимодействия близким к площади молекулы водорода (s ~ 10^-15 кв.см), получим:
lambda ~ 2.5 см
u ~ 4 * 10⁵ кв.см/сек (выражение 67)

Связанное с этими величинами характерное время эволюции диска, равное
tau = r²/u, составляет по порядку величины 10¹³ лет, что в 10⁶ раз больше наблюдаемого времени эволюции дисков.

В своей классической работе Шакура и Сюняев (1973) отметили, что турбулентность в диске может обеспечить эффективную вязкость, которая будет гораздо больше молекулярной вязкости. Для изотропной турбулентности максимальный размер ячейки турбулентности в диске по порядку величины будет равен толщине диска h, тогда как максимальная скорость турбулентного движения будет сравнима со скоростью звука c (еще большая скорость привела бы к появлению ударных волн и быстрому рассеянию кинетической энергии турбулентных движений в виде тепла). Мотивируясь этими соображениями, Шакура и Сюняев (1973) предложили параметризацию:
u = alfa c h (формула 68),
где alfa – безразмерный параметр, который показывает, насколько эффективно турбулентность приводит к переносу углового момента. Заметим, что существование турбуленции в диске априори не дает гарантию, что произойдет перенос углового момента наружу.

В стандартной теории, называемой «альфа-диски», параметр альфа считается константой. Если это так, становится возможным аналитическое решение для вертикальной структуры активного аккреционного диска и выведение u как функции r, S и alfa. Детали этого процесса можно найти у Frank, King & Raine (2002) Комбинируя известную форму функции для u с уравнением эволюции диска (47), можно получить полную теорию для предсказания времени эволюции диска, с единственным неизвестным, являющимся соответствующей величиной альфа. Все это очень хорошо, но нет физических причин полагать альфу константой, а если вместо этого считать альфу свободной функцией, то большая часть заманчивой простоты теории утрачивается. Модели «альфа-дисков» должны рассматриваться скорее как иллюстрации, нежели прямые предсказания эволюции дисков.

Чтобы прямо оценить, как велика альфа, нужно учесть наблюдаемую эволюцию протопланетных дисков. Предположим, например, что шкала времени эволюции на 50 а.е. составляет 1 миллион лет. Тогда начиная действовать по альфа-рецепту (предписанию) (уравнение 68) и заметив, что c ~ h * Sigma, получим выражение для времени эволюции:
tau = r²/u = (h/r)^-2 * 1/(alfa * Sigma) (формула 69)
Сделав подстановку для tau и r и снова допуская, что h/r ~ 0.05, получим оценку для альфа = 0.02. Эта величина достаточно типична – попытки наблюдательно ограничить альфу на крупных масштабах в протопланетных дисках (ни одна из этих попыток не является намного более сложной, чем наши сырые оценки) приводят к оценкам ~ 10^-2 (Hartmann et al., 1998).

³(Важным исключением является моделирование мощных взрывных событий, известных как вспышки объектов типа FU Ориона (фуоров), которые (если их интерпретировать как саморегулирующуюся тепловую неустойчивость) требуют меньших значений альфа, равных по порядку величины 10^-3 и меньше (Bell & Lin, 1994).)

Эти значения по порядку величины меньше, чем значение альфа, полученное при моделировании вспышек карликовых новых, которые происходят в аккреционном диске вокруг белого карлика (Cannizzo, 1993).

Несмотря на реальный прогресс, сохраняются определенные сомнения относительно физической причины и свойств переноса углового момента в протопланетном диске. Число Рейнолдса для течения в диске:
Re = U L/u (формула 70),
где U – характерная скорость и L – характерный размер, чрезмерно велико (по порядку величины равно 10¹⁴, если брать те же параметры, что мы использовали, рассчитывая величину молекулярной вязкости). На Земле течение становится турбулентным при критическом числе Рейнолдса, по порядку величины равном 10⁴, так что интуиция подсказывает, что течения в протопланетном диске должны быть сильно турбулентны чисто из гидродинамических эффектов. Детальное изучение, однако, не подтверждает этот вывод. Для начала заметим, что условие для линейной гидродинамической устойчивости в дифференциально вращающемся потоке (критерий Рэлея) – увеличение собственного углового момента при движении наружу:
d/dr (r² Sigma) > 0 (формула 71)

В кеплеровском диске r² Sigma ~ r^1/2, так что поток всегда линейно устойчив.

Существует огромное количество литературы, в которой исследовалась возможность нелинейной неустойчивости, которая может привести к турбуленции в аккреционном диске. На данный момент нет никакого безусловного свидетельства того, что такая неустойчивость существует, и численные эксперименты показали, что гидродинамические возмущения в потоке кеплеровского диска – которые могут при некоторых обстоятельствах показать существенный временный рост (Afshordi, Mukhopadhyay & Narayan, 2005; Ioannou & Kakouris, 2001) – в конечном итоге распадаются (Balbus & Hawley, 2006; Balbus, Hawley & Stone, 1996; Shen, Stone & Gardiner, 2006). Эксперименты приводят к похожим выводам (Ji et al., 2006). Подобные вихри, которые в строго двумерных моделях диска являются долговечными и способны переносить угловой момент (Godon & Livio, 1999; Johnson & Gammie, 2005), в трехмерных моделях становятся подвержены разрушительной неустойчивости (по крайней мере около центральной плоскости диска, для больших z ситуация более благоприятна) (Barranco & Marcus, 2005; Shen, Stone & Gardiner, 2006). И, наконец, конвекция, которая может существовать в некоторых областях протопланетного диска, переносит угловой момент внутрь – и в результате не может быть самоподдерживающейся в отсутствии других источников переноса (Ryu & Goodman, 1992; Stone & Balbus, 1996).

Самогравитация дает противоядие к этому унылому перечню отрицательных результатов. Достаточно массивный диск неустойчив (Toomre, 1964) к развитию спиральных рукавов, которые переносят угловой момент наружу. Мы обсудим физику, лежащую в основе этой неустойчивости, позже, когда будем обсуждать модель дисковой неустойчивости для формирования планет-гигантов, но сейчас отметим, что неустойчивость возникает, когда
М_диска/М_star> h/r (формула 72)

Самогравитация может играть роль в протопланетном диске на ранних этапах, когда диск достаточно массивен, но она не важна впоследствии, когда М_диска << М_star.

Возвращаясь к несамогравитирующим дискам, заметим, что условия гидродинамической устойчивости, данные в уравнении (71), драматически меняются в присутствии даже слабого магнитного поля. Принимая во внимание, что гидродинамический поток устойчив, только когда собственный угловой момент увеличивается наружу, магнитогидродинамический поток для устойчивости нуждается в том, чтобы угловая скорость сама была возрастающей функцией радиуса (Balbus & Hawley, 1991; Chandrasekhar, 1961; Velikhov, 1959):
d/dr (Sigma²) > 0 (уравнение 73)

⁴(Значение результата Чандрасекара для происхождения турбуленции в протопланетном диске было высоко оценено Сафроновым (1969), который заметил, что критерий магнитогидродинамической устойчивости не переходит в критерий Рэлея при магнитном поле, стремящемся к нулю, и что «для слабого магнитного поля облако должно быть менее устойчиво, чем мы нашли ранее в отсутствии поля». Важность магниторотационной неустойчивости для аккреционных дисков была оценена по достоинству лишь спустя 20 лет Балбусом и Холли (Balbus & Hawley).)

Условие (73) в кеплеровском диске не выполняется. Как следствие, в идеале (коэффициент диффузии, равный нулю) магнитогидродинамики при произвольно слабом магнитном поле достаточно, чтобы привнести в кеплеровский диск линейную неустойчивость, с возмущениями, экспоненциально растущими за динамическое время. Всесторонний обзор физики этой неустойчивости – называемой магниторотационной – или неустойчивостью Балбуса-Холли был выполнен Balbus & Hawley (1998). Магниторотационная неустойчивость является линейной и приводит к самоподдерживающейся турбуленции в хорошо ионизованном аккреционном диске (Brandenburg et al., 1995; Stone et al., 1996). Она переносит угловой момент наружу, массу потока – внутрь, и освобождает гравитационную потенциальную энергию. Магниторотационная неустойчивость не всегда действует подобно «альфа-вязкости» (Pessah, Chan & Psaltis, 2006), но, согласно численному моделированию, грубо эквивалентна ей и обычно приводит к эффективности переноса порядка альфа ~ 10^-2 – подобно величинам, выведенным для протопланетных дисков, но меньше, чем они же, предполагаемые для дисков вокруг белых карликов (вспышки карликовых новых звезд).

5. Слоистые диски.

Как полагает большинство, магниторотационная неустойчивость – самая важная (а возможно, и единственная) причина переноса углового момента в аккреционных дисках вокруг белых карликов, нейтронных звезд и черных дыр. Однако в протопланетных дисках возникает интересное осложнение, связанное с тем, что низкая степень ионизации газа приводит к конечной проводимости. Удельное сопротивление (или другие отклонения от идеальной магнитогидродинамики, такие как амбиполярная диффузия или эффект Холла) может тогда потенциально заглушить магниторотационную неустойчивость, подавить турбулентность и связанный с нею перенос углового момента. Линейная физика в этом режиме была проанализирована в многочисленных работах, включая работы Blaes & Balbus (1994), Desch (2004) and Salmeron & Wardle (2005), к которым мы и направляем читателей. Здесь я обрисую более широкую картину, основанную на простой физике, которая была предложена Gammie (1996) как модель, для которой магниторотационная неустойчивость могла бы работать в протопланетных дисках. Я подчеркиваю, что в отличие от предыдущего обсуждения основных принципов магниторотационной неустойчивости, это применение к протопланетным дискам остается несколько умозрительным.

Следуя Гамми (Gammie), мы начнем с замечания, что в присутствии удельного сопротивления (предполагая, что именно оно является самым главным эффектом неидеальности, нарушающим магниторотационную неустойчивость), магнитное поле подчиняется обычному уравнению индукции:

DB/dt = … (формула 74)
где eta – магнитный коэффициент диффузии. С другой стороны, eta может быть записана в терминах степени ионизации x = n_e/n_H:
eta = 6.5 * 10^-3 x^-1 кв.см/сек (формула 75)

Наша цель состоит в определении минимального значения x, для которого магниторотационная неустойчивость еще будет работать, несмотря на затухание, вызванное удельным сопротивлением. Делая это, мы заметим, что удельное сопротивление легче всего подавляет магниторотационную неустойчивость на малых масштабах. Поэтому мы рассмотрим в диске элементы наибольших размеров l = h, и приравняем характерное время роста возмущений вследствие магнитогидродинамической неустойчивости (Balbus & Hawley, 1998):
tau_MRI = h/v_A (формула 76),
где v_A = sqrt (B²/4 pi p) – скорость альвеновских волн, к характерному времени затухания:
tau_затух = h²/eta (формула 77)

Таким образом, мы получим простой критерий для срабатывания магниторотационной неустойчивости:
eta < h v_A (формула 78)

Остается оценить соответствующие величины h и v_A. Для грубой оценки мы можем предположить, что при 1 а.е. h = 10¹² см и v_A ~ c ~ 10⁵ см/сек (более точно v_A ~ alfa^1/2 c, где alfa – коэффициент магнитогидродинамической турбуленции, аналогичный альфе Шакуры-Сюняева). В этом случае предел магнитного коэффициента диффузии eta < 10¹⁷ кв.см/сек, который соответствует минимальной степени ионизации x > 10^-13 (формула 79), которая более менее совпадает с величиной, полученной из более строгого анализа (Balbus & Hawley, 1998; Gammie, 1996).

Стоит отметить очень важную вещь – эта степень ионизации является очень маленькой! Линейный рост возмущений вследствие магниторотационной неустойчивости оказывается настолько быстрым, что даже крошечная степень ионизации достаточно хорошо «приклеивает» газ к магнитному полю и преодолевает стабилизирующее действие удельного сопротивления.

Хотя для работы магниторотационной неустойчивости требуется совсем малая степень ионизации, в протопланетном диске могут быть области, где и такая степень ионизации может быть не достигнута. Нужно рассмотреть два источника ионизации:

Ионизация при столкновениях. Вычисления Umebayashi (1983) показали, что ионизация щелочных металлов достаточна для поддержания x > 10^-13. Это происходит при температурах порядка 1000К и выше. Область самой внутренней части диска – в пределах нескольких десятых а.е. от звезды – должна быть в состоянии поддерживать магниторотационную неустойчивость в результате просто тепловой ионизации.
Ионизация космическими лучами. Космические лучи поглощаются слоем вещества с поверхностной плотностью 100 г/кв.см. (Umebayashi & Nakano, 1981). Они ионизируют всю толщу диска достаточно хорошо, чтобы магниторотационная неустойчивость заработала на больших расстояниях от звезды, где поверхностная плотность газа меньше двух критических, и ионизуют поверхностный слой с плотностью, равной критической, на меньших расстояниях.

Подпись к Рисунку 14. Схематический рисунок модели слоистого диска, представленный Gammie (1996). В этой модели внутренняя часть диска достаточно горяча, чтобы тепловая ионизация «приклеила» газ к магнитному полю и допустила развитие магниторотационной неустойчивости. На больших расстояниях от звезды космические лучи проникают на всю толщину диска и обеспечивают необходимую ионизацию. Вероятно, что на средних (промежуточных) расстояниях аккреция происходит в активном поверхностном слое с плотностью ~ 100 г/кв.см, который ионизован космическими лучами. Внутри этого слоя расположена неактивная «мертвая зона», в которой развитие магниторотационной неустойчивости подавлено и почти нет турбулентности.

Если нет других источников ионизации, то на расстояниях, где диск достаточно прохладен, чтобы не ионизироваться при столкновениях атомов и молекул газа, и достаточно плотен, чтобы в него не проникали космические лучи, мы могли бы ожидать новую структуру («мертвую зону»), в которой диск вблизи своей центральной плоскости был бы неподвижным, и только поверхностный слой был бы магнитно активным и поддерживал аккрецию (Gammie, 1996). Модель такого слоистого диска представлена на Рисунке 14.

Модели слоистых дисков качественно отличаются от обычных полностью вязких дисков в двух важных аспектах. Во-первых, поток массы через активный слой есть функция (по аналогии с уравнением 62) вязкости и глубины колонки u_слоя S_слоя активного слоя, которая не зависит от полной поверхностной плотности диска на этом расстоянии от звезды. Можно предсказать, что количество массы, которую активный слой может пропустить через себя, является падающей функцией расстояния до звезды, таким образом, газ, втекающий внутрь из внешних слоев диска, выбывает из потока и накапливается в мертвой зоне. В этом случае узкое место («бутылочное горлышко») при аккреции на звезду находится на внутреннем крае слоистой части диска. Поток массы через эту область оценивается по порядку величины в 10^-8 солнечных масс в год, что согласуется с наблюдениями звезд типа Т Тельца солнечной массы (Gammie, 1996). Однако предсказанный поток массы должен быть примерно константой и не зависеть от массы звезды, что не согласуется (Alexander & Armitage, 2006) с очевидным увеличением средней скорости аккреции в зависимости от массы звезды:

M` ~ M² (формула 80),
что было выведено из наблюдений как звездных, так и субзвездных объектов (Mohanty, Jayawardhana & Basri, 2005).

Во-вторых, слоистые модели предсказывают, что область вблизи центральной плоскости диска должна быть неподвижна в точности на тех расстояниях от звезды, которые представляют наибольший интерес с точки зрения формирования планет. Это имеет важное значение для оседания пыли, для последующего роста планетезималей и для миграции маломассивных планет (Matsumura & Pudritz, 2005). Возможна также причастность слоистой модели к объяснению переменности молодых звезд, так как растущая мертвая зона обеспечивает резервуар газа на малых расстояниях от звезды, где он в принципе может быть нагрет и ионизирован, приводя к вспышкам аккреции (Armitage, Livio & Pringle, 2001).

Слоистые диски дают нам интересные возможности, однако существуют ли они в действительности? В настоящее время существует несколько наблюдательных ограничений на их существование, хотя теоретически идея остается возможной. Численное моделирование (Sano & Stone, 2002) подтвердило, что, когда магнитное число Рейнолдса (оцененное в подходящем масштабе диска):

Re_M = v_A²/(eta Sigma) (формула 81)
падает ниже критического значения, лежащего в области между 1 и 30, турбуленция, возникающая из развития магниторотационной неустойчивости, оказывается подавленной. Это широко согласуется с простыми аргументами, приведенными выше, и приводит к той же критической степени ионизации. Однако необходимо крайне мало энергии для того, чтобы поддерживать достаточный уровень ионизации для развития магниторотационной неустойчивости, и было предложено, что энергии турбуленции достаточно для поддержания ионизации и магниторотационной неустойчивости активного диска (Inutsuka & Sano, 2005). Другая возможность, подтвержденная недавним численным моделированием Turner, Sano & Dziourkevitch (2006), заключается в том, что турбулентное перемешивание может быть способно перенести достаточно зарядов из поверхностного слоя к центральной плоскости диска и обеспечить там не равный нулю перенос вещества. Учитывая эти теоретические сомнения, вопрос, имеют ли протопланетные диски структуру, подобную указанной на Рисунке 14, остается открытым. Критический вопрос - существуют ли в достаточных количествах маленькие зерна (пылинки), смешанные с газом, чтобы эффективно поглощать свободные электроны.

6. Рассеяние диска.

Утрата газовой компоненты протопланетных дисков накладывает временной предел на завершение процесса формирования планет-гигантов и меняет окружающую среду при формировании планет земного типа. Самоподобное решение уравнения эволюции вязких дисков (формула 57) предсказывает, что поверхностная плотность и скорость аккреции уменьшаются на поздних временах по степенному закону, и, следовательно, переход между диском и бездисковым состоянием должен быть постепенным. Однако этого не наблюдается. Молодые звезды со свойствами, промежуточными между «классическими звездами типа Т Тельца» и «обнаженными звездами типа Т Тельца», относительно редки и составляют примерно 10% от полной популяции звезд, которые демонстрируют, по крайней мере, один признак околозвездного диска. Согласно этой статистике, можно сделать вывод, что характерное время рассеяния диска невелико и составляет ~ 10⁵ лет (Simon & Prato, 1995; Wolk & Walter, 1996).

Ключевой механизм, который может приводить к рассеянию диска, был обнаружен с помощью наблюдений космическим телескопом им. Хаббла маломассивных звезд, освещенных сильным ионизирующим излучением, испускаемым массивными звездами в ядре Туманности Ориона в скоплении Трапеция (O’Dell, Wen & Hu, 1993). Изображения показывают туманности в форме головастика, окружающие молодые звезды с околозвездными дисками, которые интерпретируются как фотоиспарение и улетучивание газа из диска в результате освещения внешним ионизирующим излучением (Johnstone, Hollenbach & Bally, 1998). Основная физика этого процесса относительно проста (Bally & Scoville, 1982; Hollenbach et al., 1994; Shu, Johnstone & Hollenbach, 1993) и тесно связана с хорошо изученной проблемой ветров, нагретых комптоновским излучением, в аккреционных дисках активных ядер галактик (Begelman, McKee & Shields, 1983). Ультрафиолетовые кванты с энергией > 13.6 эв ионизируют и нагревают поверхностный слой диска, повышая его температуру до 10⁴К, характерную для II-областей.

⁵ (Ультрафиолетовые кванты с энергией 6 эв < E < 13.6 эв также могут играть важную роль. Ультрафиолетовое излучение, достаточное для диссоциации молекул водорода, также может приводить к утеканию газа во внешних частях диска, где скорость вращения меньше. Детальная физика таких потоков – которые больше напоминают области фотодиссоциации, нежели области II – тяжела для вычислений, потому что температура горячего газа определяется балансом между фотоэлектрическим нагревом и охлаждением путем излучения атомных и молекулярных линий. Адамс и др. (2006) рассмотрел потерю массы дисков из-за внешнего ультрафиолетового излучения в своих моделях эволюции дисков в скоплениях, однако это ветры, вызванные излучением дальнего ультрафиолета, которые более важны для эффективного и быстрого рассеяния диска в конце фазы «классической звезды типа Т Тельца».)

Скорость звука в фотоионизированном гае составляет c ~ 10 км/сек. За пределами критического радиуса, определенного как
r_g = gamma M/c² (формула 82)
скорость звука в горячем газе превышает локальную кеплеровскую скорость. В этом случае газ становится несвязанным и вытекает из диска как тепловой ветер. Для звезды солнечной массы критический радиус оценивается в 9 а.е.

Этот же самый процесс может произойти независимо от того, приходит ли ультрафиолетовое излучение из внешнего источника, такого как массивная звезда в скоплении, или непосредственно от центральной звезды. Однако в типичной области звездообразования (Lada & Lada, 2003) большинство маломассивных звезд получает слишком мало ультрафиолетового излучения из внешних источников для того, чтобы их диски разрушились (Adams et al., 2006). Поэтому вероятнее, что фотоиспарение произойдет из-за излучения центральной звезды. В этом режиме Hollenbach et al. (1994) получил оценку скорости потери массы путем фотоиспарения:
M`_wind = … (формула 83)
где F – поток звездного света, способного ионизировать газ. Было предсказано, что большая часть потери массы через ветер произойдет вблизи r_g, с радиальной зависимостью темпа потери массы: Sigma` ~ r^-5/2. Гидродинамическое численное моделирование, проведенное Font et al. (2004), в значительной степени подтверждает эту основную картину, хотя в деталях было найдено, что потеря массы происходит и при расстояниях от звезды, меньших критического радиуса, а полный темп потери массы несколько меньше предсказанного уравнением (83).

Сочетание фотоиспарительного ветра и эволюции вязкого диска приводит к быстрому рассеянию диска (Clarke, Gendrin & Sotomayor, 2001). Вычисления Alexander, Clarke & Pringle (2006) предлагают трехступенчатый сценарий, схематически представленный на Рисунке 15:

Сначала M` >> M`_wind. Потеря массы через «дисковый ветер» оказывает незначительное влияние на диск, который эволюционирует как в обычных вязких моделях. Скорость аккреции и поверхностная плотность постепенно понижаются в вязкой шкале времени всего диска (определенной на больших расстояниях от звезды), которая по порядку величины равна миллиону лет.
Через несколько миллионов лет скорость аккреции уменьшается так, что M` ~ M`_wind. Дисковый ветер становится тогда достаточно сильным, чтобы определять эволюцию поверхностной плотности диска вблизи критического радиуса, привести к появлению промежутка (щели) в диске и отключить внутренний диск от пополнения газом из внешних, удаленных от звезды областей диска.
Как только внутренний диск оказывается лишен газа, оставшийся газ во внешней части диска становится непосредственно освещен ультрафиолетовым светом звезды (а перед этим он освещался в основном светом, рассеянным газом на более тесных орбитах). Этот свет быстро нагревает и рассеивает весь оставшийся газ.

Главный источник неопределенности в этих моделях – происхождение и величина потока звездного ионизирующего излучения. Есть немного ограничений на величину потока для звезд типа Т Тельца солнечной массы, и почти нет информации для звезд других масс.

Подпись к Рисунку 15. Схематическая иллюстрация того, как фотоиспарение, вызванное центральным источником ультрафиолетового излучения, рассеивает протопланетный диск. В начальный момент ультрафиолетовое излучение (показанное красными стрелками) ионизирует поверхность диска, приводя к вертикальному расширению связанной атмосферы диска при r < r_g, и потере массы путем теплового «дискового» ветра при r > r_g. Поток ионизирующего излучения, который заставляет испарятся внешний диск, возникает путем рассеяния фотонов звездного излучения диском на малых расстояниях от звезды («диффузное поле»). Через несколько миллионов лет темп аккреции в диске падает до величин, сравнимых со скоростью потери массы через «дисковый ветер». В этот момент ветер приводит к появлению в диске промежутка (щели) вблизи критического радиуса, отрезающего внутренний диск от пополнения запасов вещества из внешних слоев диска. Внутренний диск тогда быстро стекает на звезду – приводя к появлению «внутренней дыры» - и прямое ультрафиолетовое излучение звезды быстро рассеивает внешние области диска.

Г. Последовательность конденсаций.

В активном аккреционном диске должен существовать температурный градиент по вертикальной оси z для энергии, которая переносится от плотной центральной плоскости диска к фотосфере, где она освобождается и излучается (заметим, что для тонкого диска с h/r << 1 градиент по z будет доминировать над радиальным градиентом, которым можно пренебречь). Простое применение теории переноса излучения в плоскопараллельном случае (Rybicki & Lightman, 1979) позволяет нам получить отношение между центральной температурой диска T_c и эффективной температурой диска T_disk.

Продолжая, определим оптическую толщину в центральной плоскости диска
tau = ½ k_R Sigma (формула 84)
где k_R – средняя непрозрачность Росселанда, Sigma – поверхностная плотность диска. Вертикальный профиль плотности диска есть p(z). Если вертикальный перенос энергии происходит путем диффузии излучения (в некоторых областях также может быть важна конвекция), тогда для tau >> 1 вертикальный поток энергии дается уравнением диффузии излучения:
F(z) = … (формула 85)

Давайте предположим для простоты, что вся диссипация энергии происходит при z = 0.

⁶ (Отмечу, что для дисков, в которых активна магниторотационная неустойчивость, численное моделирование, проведенное Miller & Stone (2000), предлагает, что значительная доля освобожденной энергии переносится к большим z и рассеивается в областях с намного меньшей оптической глубиной, возможно, формируя горячую корону.)

В этом случае F(z) = (постоянная Стефана-Больцмана) * Т_диска⁴ не меняется с высотой (остается константой). Интегрируем, предполагая, что непрозрачность остается константой:

… (формула 86)
где при выводе финального уравнения мы использовали тот факт, что при tau >> 1 практически весь газ диска лежит ниже фотосферы. Для больших tau мы ожидаем, что T_c⁴ >> T_диска⁴, и уравнение упрощается до:
T_c⁴ / T_диска⁴ ~ ¾ tau (формула 87)

Значение этого результата заключается в том, что активные диски с большой оптической глубиной являются гораздо более горячими вблизи центральной плоскости, нежели на поверхности. Например, если tau ~ 100, для теплового излучения, испускаемого диском на некотором радиусе T_c ~ 3 T_диска. Это важно, т.к. центральная температура определяет скорость звука, а та определяет вязкость (уравнение 68), а еще центральная температура определяет, какие льды и минералы могут там существовать. Таким образом, относительно скромные уровни аккреции могут существенно изменить тепловую структуру диска.

И для формирования планет земного типа, и для формирования планет-гигантов (если их формирование происходит путем аккреции на ядро) представляют большой интерес примесь твердого компонента в диске. Газ, формирующий протопланетный диск, будет включать в себя межзвездные пылевые гранулы, состоящие из смеси силикатов, графита и полициклических ароматических углеводородов (ПАУ). Измерение зависимости поглощения света в межзвездной среде от длины волны привело к предположению, что количество пылевых гранул распределяется по степенному закону в зависимости от их размеров (Mathis, Rumpl & Nordsieck, 1977):
N(a) ~ a^-3.5 (формула 88)
где а – размер гранул (в предположении их сферичности), а распределение охватывает пылинки размером от 0.005 до 1 мкм. Это распределение обычно является отправной точкой для дальнейшей эволюции в условиях большей плотности, преобладающих в диске. В наиболее горячих внутренних областях диска центральная температура может быть достаточно высока для разрушения гранул (от 1000К до 2000К в зависимости от того, из графита или силикатов сделаны пылинки). Отсутствие пыли очень близко от звезды является одним из главных аргументов против образования горячих юпитеров «на месте», но радиус разрушения пыли достаточно мал (обычно гораздо меньше 1 а.е.), чтобы изредка приводить к образованию планеты земного типа или планеты-гиганта. Однако с наблюдательной точки зрения важно, что разрушение пыли приводит к резкому уменьшению непрозрачности газа. Поэтому во внутренней части диска будет наблюдаться дыра, отверстие, даже если газ будет там присутствовать.

Если газ, составляющий протопланетный диск, имеет известный элементный состав (например, как у Солнца), то это хорошая задача для химика – вычислить наиболее термодинамически устойчивую смесь химических веществ при данных давлении и температуре. Изобилие различных минералов и льдов в диске будет вытекать из этой последовательности конденсаций при условии, что есть достаточно времени для достижения равновесия химических реакций – это разумное предположение для горячего внутреннего диска, но в прохладных внешних частях диска возможны отклонения вследствие замедления химических реакций и радиального дрейфа газа и пыли. Состав равновесной смеси больше зависит от температуры, нежели от давления, таким образом, мы можем примерно нанести на карту последовательность конденсаций и предсказать изменение состава диска в зависимости от радиуса. Таблица II, адаптированная Лоддером Lodders (2003), перечисляет различные температуры, ниже которых должны доминировать различные льды и минералы. Из них, безусловно, самая важная – температура, ниже которой может существовать водный лед – это 180К при давлении 10^-4 бар (хотя в условиях протопланетного диска лед конденсируется при температуре 150К). Для смеси солнечного состава поверхностная плотность сконденсировавшихся материалов драматически растет с формированием водяного льда:
Sigma (льда и камня) = 4 Sigma (камня) (формула 89),
хотя это отношение зависит от еще неуверенного знания точного солнечного состава Lodders (2003). Это заставляет нас связывать изменения в эффективности формирования планет (в частности, разделение между планетами земного типа и планетами-гигантами в Солнечной системе) со значительным изменением предсказанной поверхностной плотности твердых частиц на данном расстоянии от звезды.

Радиус протопланетного диска, вне которого может существовать водяной лед, называется снеговой линией. В Солнечной системе астероиды, богатые льдом, были найдены только во внешней части пояса астероидов (Morbidelli et al., 2000), что говорит о том, что снеговая линия в протосолнечной туманности располагалась около 3 а.е. Для пассивных протопланетных дисков вычисленное расположение снеговой линии оказывается гораздо ближе к звезде – в ряде случаев порядка 1 а.е. – однако увеличение скорости аккреции до значений, соответствующих классическим звездам типа Т Тельца, достаточно для переноса снеговой линии до 3 а.е.

III Формирование планет.

Формирование планет из субмикронных пылевых частиц требует роста пространственных масштабов, по крайней мере, на 12 порядков величины. Полезно рассмотреть различные диапазоны размеров, для которых взаимодействие между твердыми частицами и газом качественно различаются:

Blog

Лекции о формировании и ранней эволюции планетных систем