Лекции о формировании и ранней эволюции планетных систем

Вид материала

Лекции

Подобный материал:

• Концепция эволюции в биологии, 91.47kb.
• Ю. А. Головин, инженер, 97.95kb.
• Лекции №8 Общая экология 2 Лекции №8-9 Тема: Популяция единица эволюции, 151.83kb.
• 10 Основные этапы становления идеи развития в биологии, 187.16kb.
• И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений(7382) Петровский И. Г. Лекции, 55.62kb.
• Лекции по филологии и истории религий, 4721.42kb.
• 1. Лекция: Введение, 365.84kb.
• 1. Лекция: Введение, 344.47kb.
• Введение. Основы колористической композиции, 10.69kb.
• Программаное обеспечение вычислительных систем Классификация, назначение, состав, 1049.39kb.

• Пыль – маленькие частицы размером от долей микрона до сантиметров. Эти частицы хорошо сцеплены с газом, однако они могут медленно дрейфовать в вертикальном или радиальном направлении. Рост частиц происходит путем столкновений, приводящих к слипанию.
  
• Камни – объекты метровых размеров. Эти частицы гораздо слабее связаны с газом, и может быть полезно аппроксимировать их динамику как комбинацию движения по кеплеровским орбитам и аэродинамического торможения. Рост частиц через этот размер должен быть быстрым, но его механизм остается неизвестным.
  
• Планетезимали – тела размером 10 км и выше. Планетезимали достаточно массивны, чтобы их движение происходило практически независимо от газа. Популяцию тел таких размеров часто рассматривают как начальное условие для последующей стадии формирования планет, так как эволюция такой популяции описывается хорошо известной – хотя и исключительно трудной – задачей N тел, на которые действуют только гравитационные силы.
  
• Планеты земной массы и прародители ядер планет-гигантов. Как только растущие планеты достигают массы, по порядку равной массе Земли, они снова оказываются связанными с газовым диском, хотя на этот раз не через аэродинамическое взаимодействие, а через гравитационное. Мы рассмотрим эту связь позже в контексте различных режимов планетных миграций. Возможно, формирование планет земного типа происходит после рассеяния газового диска (в случае, когда это сцепление спорно), но для формирования ядер планет-гигантов такое сцепление неизбежно.
  
• Ядра планет-гигантов с массами, равными по порядку величины 10 массам Земли. Около этой массы происходит переход от квази-гидростатического ядра и оболочки к режиму быстрой аккреции газа.
  

Хотя он был написан до открытия экзопланетных систем, обзор Lissauer (1993) остается прекрасным удобочитаемым резюме большей части физики этого процесса, к которому мы и обратимся в этом разделе.


А. Формирование планетезималей.

Сферические частицы радиуса a, движущиеся относительно газа со скоростью v, испытывают силу аэродинамического торможения, направленную против направления движения:
F_D = -1/2 C_D * pi a² * p v² (формула 90)
где C_D есть коэффициент торможения. Форма коэффициента торможения зависит от размера частиц в сравнении с длиной свободного пробега молекул в газе (Weidenschilling, 1977b; Whipple, 1972). Для небольших частиц (размером порядка сантиметра и меньше), для которых
a < 9/4 lambda (формула 91)
коэффициент торможения
C_D = 8/3 * v_/v (формула 92),
где v_ = (8/pi)^1/2 * c – средняя скорость теплового движения молекул газа. Этот режим называется режим торможения Эпштейна. Для больших частиц реализуется режим торможения Стокса. Вводя число Рейнольдса
Re = 2 a v/u, (формула 93)
где u – молекулярная вязкость газа, коэффициент торможения может быть представлен в виде кусочно-линейной функции:
C_D = 24/Re, Re < 1
C_D = 24 Re^-0.6, 1 < Re < 800
C_D = 0.44, Re > 800 (формулы 94)

Мы будем использовать эти законы торможения для рассмотрения как вертикального распределения, так и радиального дрейфа небольших твердых тел в газовом диске.


1. Оседание пыли.

Пылевые частицы сильно связаны с газом силами аэродинамического торможения. Для частицы массы m «характерное время трения (или остановки)» определим как
t_fric = m v/F_D (формула 95)

Это – характерное время, в течение которого силы аэродинамического торможения изменят относительные скорости газа и твердой частицы. Записав выражение для массы частицы как
m = 4/3 pi a³ p_d,
где p_d – плотность частицы, получим простое выражение для «характерного времени остановки» в режиме Эпштейна:
t_fric = p_d/p * a/v (формула 96)

Приняв условия в диске на расстоянии, близком к 1 а.е.: p = 5 * 10^-10 куб.см, v = 2.4 км/сек, и p_d = 3 г/куб.см, получим t_fric = 2.5 сек. Маленькие частицы действительно очень быстро сцепляются с газом.

Рассмотрим тонкий вертикально изотермический газовый диск с поверхностной плотностью S и шкалой высот h = 2^1/2 c/sigma_K. Тогда вертикальный профиль плотности
P(z) = … (формула 97)

Для начала давайте проигнорируем эффекты турбулентности и предположим, что диск полностью неподвижен. В этом случае основные силы, действующие на частицу на высоте z над плоскостью диска - это вертикальный компонент сил гравитации и сила аэродинамического торможения в газе:

Модуль Fgrav = m sigma_K² z

Модуль FD = 4/3 pi a² v_ pv(формулы 98)

При сильном сцеплении, ожидаемом для пылевых частиц, предельная скорость будет быстро достигнута, и мы приравняем эти силы, чтобы получить скорость оседания пыли:
v_settle = sigma_K²/v_ * p_d/p a z (формула 99)

Скорость оседания выше на больших z (где плотность газа ниже, а вертикальный компонент силы притяжения выше) и для больших гранул. Например, для частицы пыли микронного размера при z = h на расстоянии 1 а.е. скорость оседания равна v_settle = 1 мм/сек, и характерное время оседания t_settle = z / v_settle = 2 * 10⁵ лет (формула 100)

Тогда в отсутствии турбулентности мы ожидаем, что пылевые частицы микронных размеров осядут из верхних слоев диска за характерное время, меньшее времени жизни диска, в то время как для частиц с размером < 0.1 мкм это время является предельным.

В уравнении для времени оседания функцией высоты является только плотность. Вставляя в это уравнение выражение для профиля вертикальной плотности, получим общее выражение для времени оседания:
t_settle = … (формула 101)

Сильная z-зависимость подразумевает, что в отсутствии турбулентности пыль будет быстро оседать из верхних областей диска. Это представляет некоторый интерес, т.к. изображения рассеянного света протопланетных дисков (e.g. Burrows et al., 1996) чувствительны к пыли, удаленной от центральной плоскости.

Допущение, что диск неподвижен, не слишком-то реалистично – та же самая турбулентность, которая приводит к переносу углового момента, весьма вероятно, хорошенько размешает пыль и предотвратит ее оседание к центральной плоскости диска. Решение влияния турбуленции на оседание частиц является весьма хитрым и поднимает две тонкие проблемы:
- Каков эффективный коэффициент диффузии в вертикальном направлении для пассивных частиц, попавших в турбулентный поток?

- Насколько хорошо сцеплены газ и твердые частицы?

Несколько недавних работ, включая Dullemond & Dominik (2004), Johansen & Klahr (2005), Carballido, Stone & Pringle (2005), Turner et al. (2006) and Fromang & Papaloizou (2006) представляют детальные расчеты влияния турбулентности (в основном вызванной магнитно-ротационной неустойчивостью) на оседание частиц. Для простого решения, которое является по крайней мере качественно правильным, мы можем предположить, что эффективный коэффициент диффузии пыли по оси z просто равен турбулентной вязкости,
u_d = u = alfa c h, (формула 102)
и что характерное время, за которое турбуленция хорошенько размешает слой толщиной z, получается из обычного выражения диффузии:
t_stir ~ z²/u_d (формула 103)

Очевидно, что t_stir растет с увеличением z, тогда как t_settle уменьшается с высотой. Приравнивая эти выражения, мы получим оценку толщины пылевого слоя, который останется хорошо перемешанным вследствие турбулентности. Толщина z неявно дается выражением:
… (формула 104)

Подставляя свойства типичного диска и пыли в нем в правую часть уравнения, мы найдем, что размеры микронных частиц в диске при alfa = 10^-2 и S = 1000 г/куб.см в правой части по порядку величины равны 10^-4. Это означает, что малые частицы останутся перемешанными с газом в диске, по крайней мере, до высоты в нескольких характерных высот (h). С другой стороны, для a = 1 см выражение в правой части уравнения 104 близко к единице, таким образом, крупные частицы осядут к z ~ h, даже если диск будет полностью турбулентным.


2. Радиальный дрейф частиц.

Ранее мы показали (уравнение 42), что азимутальная скорость газа в геометрически тонком диске близка к кеплеровской скорости. Однако то, что эти скорости не идентичны, имеет важные последствия для эволюции небольших твердых тел в диске (Weidenschilling, 1977b). Мы можем различить два режима:

1. Малые тела (a < 1 см) хорошо сцеплены с газом. В первом приближении мы можем представить себе, что они вращаются со скоростью газа. Однако, так как они не испытывают градиента радиального давления подобно газу, они испытывают силу, направленную внутрь системы, и дрейфуют внутрь с их радиальной предельной скоростью.
   
2. Камни (a > 1 м) не так сильно сцеплены с газом. В первом приближении мы можем представить себе, что они вращаются с кеплеровской скоростью. Эта скорость выше, чем скорость газа, таким образом, камни чувствуют встречный ветер, который уменьшает их угловой момент и заставляет их двигаться по спирали к звезде.
   

Чтобы определить эти эффекты количественно, мы сначала вычислим величину отклонения между скоростью газа и кеплеровской орбитальной скоростью. Начиная с радиального компонента уравнения для момента:
v_fi,газа² / r = gamma M/r² + 1/p dP/dr, (формула 105)
мы запишем изменение давления в центральной плоскости диска в зависимости от радиуса как степенную функцию около радиуса r₀:
P = P₀ (r/r₀)^-n (формула 106),
где P₀ = p₀ c². Подставляя, мы найдем, что
v_fi,газа = v_K (1 – nu)^1/2 (формула 107),
где nu = n c²/v_K² (формула 108)

Обычно n положительно (т.е. давление уменьшается наружу), так что скорость газа немного меньше, чем локальная кеплеровская скорость. Например, для диска с h(r)/r ~ 0.05 и профилем поверхностной плотности S ~ 1/r мы имеем n = 3 и
v_fi,газа = 0.9981 v_K (формула 109)

Относительная разница между скоростью газа и кеплеровской скоростью действительно мала! Однако на расстоянии 1 а.е. даже такая маленькая разница составляет относительную скорость, по порядку величины равную 100 м/сек. Большие камни ощущают сильный (хоть и не сверхзвуковой) встречный ветер.

Эффект аэродинамического торможения в динамике частиц случайного размера был вычислен Weidenschilling (1977b). Здесь мы воспользуемся подходом Takeuchi &

Lin (2002) и перейдем к рассмотрению радиального и азимутального уравнений движения частицы:

… (формулы 110)


⁷ (Хотя эти вычисления прямые, легко спутать три различные азимутальные скорости – частицы, газа и кеплеровскую. Будьте осторожны!)


Мы упростим азимутальное уравнение, заметив, что индивидуальный угловой момент частицы всегда остается близок к кеплеровскому (т.е. частица движется по спирали через последовательность почти круговых кеплеровских орбит):

… (формула 111)

Таким образом, получим:
v_fi – v_fi,gas = -1/2 t_fric v_r v_K/r (формула 112)

Возвращаясь к радиальному уравнению, мы заменим Sigma_K , используя уравнение 107. Сохраняя только величины низшего порядка,
… (уравнение 113)

Член dv_r/dt незначителен, и для простоты мы также предположим, что v_r,gas << v_r, что будет верно для тех частиц, которые испытают самое быстрое падение орбиты. Исключая (v_fi – v_fi,gas) из уравнений 112 и 113, мы получим:
… (уравнение 114)

Этот результат можно представить в более интуитивно понятной форме, введя безразмерное время остановки:
tau_fric = t_fric sigma_K (формула 115)
в терминах которой радиальная скорость частицы будет равна
v_r/v_K = -nu/( tau_fric + tau_fric^-1) (формула 116)

Максимум радиальной скорости будет достигнут, когда tau_fric = 1 (т.е. когда «характерное время трения» равно sigma_K^-1), и равен nu v_K/2 независимо от свойств диска.

Рисунок 16 вычерчивает v_r/v_K как функцию безразмерного времени остановки для диска с h/r = 0.05, принятого нами за основу.


Подпись к Рисунку 16. Дрейф радиальной скорости частицы в центральной плоскости протопланетного диска с h/r = 0.05, вычерченный как функция безразмерного времени остановки tau_fric. Радиальная скорость газа задана равной нулю. Наиболее быстрый дрейф частицы внутрь происходит при физическом времени остановки, равном 1/Sigma_K, которое в типичной модели диска соответствует размеру частиц от 10 см до нескольких метров. Для 1 а.е. максимум скорости дрейфа вовнутрь близок к 60 м/сек, что приводит к времени падения на звезду, близкому к 100 годам.