< Предыдущая		Оглавление		Следующая >

5.7. Интервальные оценки числовых характеристик

Интервал значений случайной величины, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение погрешности результата измерения, называется доверительным интервалом погрешности результата измерения, а соответствующую ему вероятность - доверительной вероятностью Р.

Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала называют доверительными границами.

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерения.

Как следует из определения, для характеристики случайной погрешности необходимо иметь две характеризующие ее величины - доверительный интервал и доверительную вероятность.

Оценка точности вычисления генеральной средней Хо

Обозначим через £ точность приближенного равенства Х0"Х. Тогда определение точности вычисления генеральной средней по данным выборки сведется к определению вероятности того, что истинное значение Х0 находится в пределах Х
£у где е> О, т. е.

Для определения вероятности о- можно воспользоваться распре-

делением величины

Из статистики известно, что если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то величина / при любом п следует закону Стьюдента, который имеет следующее выражение:

где к = п - I - число степеней свободы; Г (к) - гамма-функция

Как следует из (5.66), значение 54(/) зависит только от переменной / и числа степеней свободы к. Поэтому если задана вероятность а, то из (5.67) можно найти такое положительное число /", которое будет зависеть только от а и п:

Х-Х I

Так как =--, то выражение (5.67) можно переписать в следующем виде:

Значения /" приводятся в справочной литературе по статистике. С достаточной для практических целей точностью значение /" можно определить по следующим уравнениям, полученным в результате аппроксимации табличных значений для наиболее употребительных значений а= 0,9; 0,95; 0,99:

Пример.

По выборке из п - 20 найдено ЛТ = 19,235 и л = 0,08. Определить значение генеральной средней Хй.

Решение. Генеральная средняя определяется доверительным интервалом

Задаваясь вероятностью а, например, равной 0,95, из уравнения (5.70) определим 7ода5л. Число степеней свободы к = 20 - I = 19.

(Точное табличное значение равно 2,09.)

Учитывая, что (тх=-^=, будем иметь

Следовательно, с вероятностью 95% генеральная средняя будет находиться в интервале 19,198 <Х0< 19,272.

Оценка точности вычисления среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности по данным выборки

Задача сводится к определению вероятности а приближенного равенства <т0=*л-, точность которого равна е. Здесь л* - среднее квадратичное отклонение выборки из объема п.

Если известно, что случайная величина х в генеральной совокупности подчинена нормальному закону, то величина

имеет распределение х~* дифференциальная функция которого имеет вид

Определим вероятность о- приближенного равенства сг0-л-

Преобразуем неравенство в скобках следующим образом, полагая, что л* - е> 0:

Умножим все члены неравенства на положительное число з*1к, получим

Вероятность этого неравенства равна интегралу

Левая часть этого уравнения есть преобразованное выражение вероятности а= P(s - е< а0< s + £). С учетом этого окончательно можно записать

Значения интеграла Цдлк) приведены в табл. 5.1.

При числе степеней свободы к > 30 оценка может быть упрошена, так как величина/= ^. Где о- =-%
=-^ подчиняется нормальному закону распределения и, следовательно,

Полагая taas = е, получим P(s - е< а0< s + e) = а. Следовательно,

Пример.

По выборке из п - 20 найдено ^ - 0,8. Определить вероятность а приближенного равенства <7, = э при е ~ 0,2.

По табл. 5.1 находим значение а. При к~ 18 и q~ 0,25 а~ 0,849, а при к ~ 20 и q = 0,25 а = 0,868. Значение а для к ~ 19 находим как среднее значение

0,849 +0,868 =Q 8585i т е />(0,8 -0,2 < <70 < 0,8 + 0,2) = 0,8585 или, окончательно, Р(0,6 < <7"< I) - 0,8585.

5.1. Таблица вероятностей

Доверительные интервалы для оценки генеральной средней

Статистическая оценка параметра, вычисленная по данным выборки, является приближенной. Такая оценка будет иметь смысл, если укатан интервал, внутри которого будет находиться истинное значение параметра с заданной вероятностью Р

Значение / можно определить по таблицам или можно воспользоваться следующей аппроксимацией:

где а = -6,163127-Ю-5, Ь = 1,255452, с = -2,3107156, </= 1,0572091, е = -1,833726,/= 0,56556408, 0,4592514, к = -0,19052311.

Например, для а ~ 0,95 и п- 100 значение / определим из уравнения

(Табличное значение / при а ~ 0,95 равно 1,96).

Следовательно, доверительный интервал для генеральной средней будет

Внутри этого интервала будет находиться неизвестное среднее с вероятностью 0,95.

Значения X
0,196^ являются доверительными границами для среднего значения при уровне значимости д = 1 - а= 1 - 0,95 ~~ 0,05 (5 %-й уровень значимости).

Для выборок, объем которых меньше 25-30, величина / имеет распределение Стьюдента. В этом случае величина / определяется из таблиц распределения Стьюдента или вычисляется по формулам (5.69) - (5.71) для принятой вероятности а и заданного числа п.

Например, для а = 0,95 ип= 10 (к = п- 1 = 10-1 - 9) значение / определим из уравнения

(Табличное значение / при а ~ 0,95 равно 2,26).

Следовательно, доверительный интервал для генеральной средней будет

Значения ^
0,71565 являются доверительными границами для среднего значения при уровне значимости д = 1 - а- 1- 0,95 =0,05 (5 %-й уровень значимости).

Доверительные границы для оценки σ0

Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то величина имеет ^-распределение с числом степеней свободы к = п - 1.

Задавшись вероятностью а, определяют уровень значимости а = - а, а затем два значения %г; одно для вероятности Р = -^, а другое для вероятности ^=^- Первое из этих значений обозначим через

у.2, а другое - у}. Тогда вероятность того, что величина ^- будет находиться в границах от ^,г до х* будет равна

С вероятностью "будет выполняться следующее неравенство:

Значения х' ДЛЯ различных значений "можно определить по следующим зависимостям:

Пример.

Определить доверительные границы для "г,2 при а ~ 0,96, п ~ 20.

Решение. Число степеней свободы (к = п - 1 =20- 1= 19), значение д = 1 - а = 1 - 0,96 = 0,04. Вероятность Р1=1--= 0,98. Значение ^ )

определим из выражения (5.84), подставляя значение к = 19:

Вероятность = ~= 0,02, а значение^3 (ХйКЛА ) определим из выражения (5.92)

Доверительные границы в соответствии с выражением (5.83) будут равны

Доверительный интервал для ст0 с той же доверительной вероятностью

Для больших выборок (п > 30) можно использовать неравенство

которое после замены £=-^ примет вид

ы2п

Из уравнения (5.80) определим значение /.

Например, для а = 95 и п = 100 значение / определим из уравнения

(Табличное значение / при а ~ 0,95 равно 1,96). Подставляя значение / в уравнение (5.91), получим

Доверительные границы с вероятностью а ~ 0,95 будут следующими:

< Предыдущая		Оглавление		Следующая >