Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| Я. Тинбэрхэн,Х.Бос . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА, 1967 | |
4.2. Замкнутая экономика с одним капитальным товаром |
|
|
4.21. Модель включает следующие переменные: о* - объем производства товара А (А = 1, . . Я); сп - объем потребления товара А; 5 - сбережения; / - инвестиции; у - доход. 4.22. Модель имеет следующие соотношения: п Инвестиции равны суммарному количеству капитально го товара, необходимого каждому сектору для расширения производства продукции в будущем. В уравнении (4.22.1) величина 8 представляет период созревания, принятый рав ным для всех секторов; тг есть соотношение капитал - продукция для Л-го сектора. 5 = /. (4.22.2) Предполагается, что инвестиции финансируются за счет сбережений э = оу. (4.22.3) Сбережения представляют собой определенную часть дохо да; а есть склонность к сбережению. у = (4.22.4) л Доход равен общей сумме всей произведенной продукции. vh = ch, к Ч2 Я, (4.22.5) v1 = j. (4.22.5') Объем продукции, при отсутствии экспорта и межотрасле вых поставок, равен потреблению для товаров 2, . . ., И и инвестициям для товара 1. = + (А = 2, ..Я), (4.22.6) ^ = 0. (4.22.6') Потребление является линейной функцией от дохода за вычетом сбережений и равно нулю для товара 1. В дан ном случае у* - предельная склонность к потреблению, ас*1 - отрезки, отсекаемые на кривых Энгеля. Мы пред-полагаем, что суммарное потребление равно доходу за выче том сбережений и что потребление не может быть отрица-тельным. Это означает, что постоянные ун и с7* должны удовлетворять следующим условиям: (4.22.7) л = (4.22.8) л сЛ> 0. (4.22.9) В результате для различных интервалов переменной у - 5 могут быть разные наборы коэффициентов ун и сы. Кроме того, одно из уравнений, например уравне ние (4.22.2), зависит от других уравнений. Поэтому общее число независимых уравнений составит 2Я + 3 и будет равно числу переменных. Данную модель можно применять для решения различных проблем. В этом параграфе мы обратим главное внимание на проблему планирования развития производства при заданном значении сг, которое, возможно, основано на соображениях, изложенных в главе 2. Данная модель затем служит для определения развития различных секторов, которое совместимо с заданным значением а. Эта проблема представляет собой один из простейших примеров второго этапа планирования после того, как на первом этапе было определено о. Этот второй этап помогает нам определить относительные размеры секторов, что в свою очередь дает нам возможность рассчитать такие средние величины, как, например, средние соотношения капитал - продукция, принятые с определенной величиной в макромодели, использованной на первом этапе планирования. Следова-тельно, на втором этапе расчетов можно получить средние соотношения капитал - продукция, отличающиеся от соот-ношений, предполагавшихся раньше. Если необходимо, то можно будет провести второй цикл этапов планирования. Характер решения можно прежде всего проиллю-стрировать на примере, если принять Н = 3 и 0 = 1. Систему уравнений можно сократить, ограничившись уравнениями, содержащими в качестве неизвестных только vh\ в этом частном случае при ? = 0 уравнения примут следующий вид: = V2 (1 - ог) (V1, + а + *) +~с\ (4.24.1) V9, - у3 (1 ~ сг) + V2, + V3,) + (4.24.2) а (VI + vl + VI) = х* - VI) + х2 (VI - VI) + ч3 (VI - VI). (4.24.3) В частном случае, когда х1 = х2 = х3 = х, дан ную систему уравнений можно записать иначе: = + ^ = -о) У1 + с\ <УУо = *(У1 - Уо) или Здесь третье уравнение аналогично соответствующему соотношению в модели Домара - Харрода, характери зующего изменение у во времени; первое и второе уравне ния дадут нам значения отдельных V. Система уравнений (4.24.1), (4.24.2) и (4.24.3) является обобщением. Последнее уравнение можно теперь записать следующим образом: оуо = (У1-У0) 2 Х <4 -26- ^ л Это означает, что данную модель можно применять как макромодель Домара - Харрода, если мы определим х = (4.26.2) ^ Ух-Уо х ' Л то есть если мы делаем х взвешенной средней х* с перемен ными весами - Уо)1(У\ - Уо)- Поскольку неизвестные становятся весами, то это не является решением в матема тическом смысле, но создает предпосылку для практических приближений Точное решение можно отыскать следующим обра зом. Мы решаем систему уравнений (4.24.1), (4.24.2) и (4.24.3) относительно сначала записав ее в виде - V2 (1 -о) v\ + ll-y*(l-o)] = -гЧ1-<т)и\-у3(1-о)и1 + [1-уЦ1-о)]и1 = с3, (4.27.1) + хз01 хзуз = (Х1 + а) + (х2 + (Хз + а) ^ Из первых двух уравнений найдем ^ и ^ в качестве линейных функций от без запаздывания. Поставив значе ния и в третье уравнение, найдем (относительно и}) линейное выражение в виде (к1 + о) VI + (х2 + а) *20 + (х3 + а)с* = 2 (хЛ + о) Ж 6* 83 Это выражение является единственной комбинацией началь ных значений uj, которые мы должны определить для того, чтобы найти все будущие значения всех переменных. Рассмотренные до сих пор формулы могут использоваться для численной экстраполяции. 4.28. Для определения будущего движения должна быть задана только одна комбинация начальных значений 2 + а) uj; поэтому математическое решение в общей форме *) будет содержать только одну произвольную постоян ную, отражая то обстоятельство, что наша система уравне ний (4.24.1), (4.24.2) и (4.24.3) может быть заменена уравнением первого порядка. Это обусловлено тем, что, во-первых, мы располагаем только одним капитальным товаром и, во-вторых, все периоды созревания инвестиций равны 1. Общее математическое решение состоит в допущении ot=vU** + vh, Л=1, 2, 3, (4.28.1) и отыскании этого решения. Подставляя полученный результат в систему уравнений (4.27.1), мы получим члены уравнения двух видов - одни члены, пропорциональные еш, и другие - постоянные члены. Для того чтобы полученные решения удовлетворяли уравнениям, должны выполняться следующие условия: -уЩ-о^ + П-уЦХ-о)]**- Y2(1- -y2(l-o)v1 + [l-y2(l-o)]v2- y2(l-o)v* = c\ - Y3(l - o) ^Ч Хf(l - o)v* + [l - Y30-ff)]c3 = c3, y}vl + x V + x3i/3 = = (x1 + o)v1 + ('K2 + o) v2 -+- (x3 + a) u3. Первая система (I) уравнений образована из членов, содержащих e(0t, а вторая (II)Ч из постоянных членов. Из системы И мы находим, что значения vh однозначно См.например, William J. Baumol, Economic Dyna mics, New York, 1959, p. 151 и сл. определяются с помощью аддитивных постоянных сн и коэф-фициентов системы уравнений, то есть с помощью струк-турных постоянных. Условия (I) являются линейными однородными относи тельно Vчто означает: с одной стороны, одно из них может быть выбрано произвольно, а с другой стороны, их коэффи циенты должны удовлетворять условию, заключающемуся в том, что их определитель равен нулю. - V2 (1 ЧО) 1 -у2(1-о) ЧV- (1 - Сх) -V3 (1 - о) -у3 (1 - а) 1 Чу3 (1 -а) - 0, (4.28.2) со'х1 - (хг + о) со'х2 - (х2 + а) со'х3 - (х3 + а) где со' записано вместо е(й. Это условие определяет со"; поскольку со'' встречается только в последней строке, уравнение линейно относи тельно со' и имеет только один корень. Это согласуется с нашим предыдущим выводом о том, что решение в общей форме содержит только одну произвольную постоянную. Эта постоянная должна быть определена таким образом, чтобы единственное выражение при значениях Vкоторое встречается в системе (4.27.1), а именно 2 (иЛ + <т) Л заключало правильное числовое значение. Это обычно не свойственно системам уравнений рассмотренного типа, но означает то, что математики называют вырождением, являющееся результатом отсутствия запаздывающих пере менных в первых двух уравнениях (4.27.1). Позднее мы будем рассматривать обычный, более общий случай, когда мы больше не будем предполагать существование только одного вида капитальных товаров. Только что объяснен ный факт интересен с экономической точки зрения. Даже когда значения ^ не согласуются с уравнениями спроса (4.22.5) и, следовательно, не удовлетворяют струк туре сбалансированного роста, как это определяется наши ми уравнениями, значения для / = 1, то есть будут уже удовлетворять. Хотя в более общих моделях мы встретимся с явлением переходного периода или периода приспособления, в течение которого экономика той или иной страны за ряд этапов достигает этой структуры, сам период приспособления протекает в течение одной единицы вре мени, в данном случае будучи периодом созревания. Как уже отмечалось в данном параграфе, такое приспособление за одну единицу времени возможно только тогда, когда мы имеем один капитальный товар, а период созревания равен одной единице времени. Рассматриваемые ниже модели будут постепенно услож няться. Однако, по-видимому, целесообразно сначала рас смотреть этот самый простой случай. Читатель не будет испытывать затруднений в устранении ограничения в виде только трех секторов. Это можно рассматривать как упраж нение. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "4.2. Замкнутая экономика с одним капитальным товаром" |
|
|