Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005

3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов


Существует простой способ выбора уникальной функции полезности, представляющей данные предпочтения. Если зафиксировать некоторый вектор цен p, то можно поставить задачу для данного набора x ? X подобрать эквивалентный ему набор h ? X, который бы стоил как можно меньше в ценах p. Тогда набору x в качестве величины полезности можно сопоставить стоимость набора h в ценах p, т. е. ph.
Рис. 3.14 иллюстрирует эту идею. Набор x' определяет кривую безразличия. Среди наборов на этой кривой h' имеет наименьшую стоимость в ценах p (наклон штриховой линии, проходящей через h' соответствует отношению цен). Так же точно h'' при тех же ценах имеет наименьшую стоимость среди наборов, эквивалентных x''. Поскольку x' лежит на более высокой кривой безразличия, чем x'', то его полезность ph' будет выше, чем полезность x'', равная ph''.
- ж2 ж1

Рис. 3.14. Функция расходов как функция полезности
Очевидно, что выбранная указанным способом функция полезности является функцией расходов (см. Определение 26 на с. 77). Действительно, нам известно (см. Теорему 26), что при фиксированных ценах p функция расходов e(p, x) = ph(p, x) = px(p, e(p, x)) представляет собой функцию полезности:
x ^ y ^ e(p, x) Z e(p, y).
В этом разделе мы покажем, что знание системы функций спроса позволяет восстановить функцию расходов, а, следовательно, и предпочтения на множестве потребительских наборов, которые могут быть выбраны потребителем при некоторых значениях цен и доходов, т. е. на множестве значений спроса. В последующем мы обсудим, как имеющаяся информация о спросе потребителя позволяет восстановить (оценить) предпочтения и для остальных потребительских наборов.
Заметим сначала, что по лемме Шепарда (Теорема 29)
de(p, x)
Ч = hi(p, x),
dpi
где по определению h(p, x) = x(p, e(p, x)). Тем самым, мы имеем систему дифференциальных уравнений относительно функции расходов e(p, x) при фиксированном x:
^^ x) f f чч
= ^(p,e(p,x))
или
Vp e(p, x)= x(p, e(p, x)). (B)
К ней следует добавить граничные условия e(p', x) - R, где p' - вектор цен, который при доходе R может породить спрос x, т. е. такой вектор цен, что x - x(p', R).
Решая эти уравнения, мы для каждого набора x из области значений функции спроса найдем значение функции расходов e(p, x) при всех возможных ценах p, т. е. минимальное значение расходов потребителя, достаточное, чтобы при ценах p обеспечить ему не меньший уровень полезности, чем тот, который обеспечивается набором x.
Будем предполагать в дальнейшем, что функция спроса имеет является непрерывно дифференцируемой (и по ценам, и по доходу). Можно заметить следующее. Если функция e(p) является решением системы дифференциальных уравнений (И), то она является дважды непрерывно дифференцируемой. Кроме того, l х l матрица S(p, R) с элементами Sj(p, R) - + Xj(p, R) (лматрица замены) должна быть симметричной. Действительно,
продифференцировав уравнения (И) по ценам, увидим, что матрица S совпадает с матрицей вторых производных по ценам функции e(-). Но последняя матрица должна быть симметричной (согласно теореме Юнга).
Оказывается, симметричность матрицы S является не только необходимым, но и достаточным условием существования и единственности решения системы (И). Это классический результат теории дифференциальных уравнений в частных производных (так называемая теорема Фробениуса). Кроме того, известно, что решение будет непрерывно дифференцируемой функцией параметров p', R, задающих граничные условия. Заметим, однако, что эти результаты гарантируют существование только локального решения. Для того, чтобы гарантировать существование глобального решения, нужны дополнительные предположения .
Пример 26:
Продемонстрируем восстановление функции расходов e(p, x) из функции спроса вида x(p, R)
( VTtЧ^; 7Чч*2 ) . Мы не проверяем выполнение требуемых условий, так как, фактиче-
Vpip2+a.2(pi)2 ' (P2)2+a2Р1Р2 J ft- t- J J i > т
ски, все это уже было сделано в предыдущих параграфах. Нам требуется решить следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:
de ep2 de a2ep1
dp1 p1p2 + a2(p1)2 dp2 (p2)2 + a2p1p2
Решим первое уравнение, рассматривая p1 как переменную, а p2 и x как параметры. Заметим, что оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Кроме того, дробь Щт,Чг, допускает разложение Щг,Чуг - Ч ^Ч . Используя это, можем
^ PlP2+л2(Pl)2 PlP2+a2(Pl)2 Pi P2+л2Pi J '
записать de Г dp1 Г a2dp1
+ const.
Интегрируя, получим
или
J e J p1 J p2 + a2p1 ln(e) - ln(p1) - ln(p2 + a2p1) + const,
e - A p1
p2 + a2 p1
где A зависит от p2 и x, которые мы при решении рассматривали как неизменные параметры: A - A(p2, x).
Подставим полученное выражение для e(p, x) во второе уравнение и получим дифференциальное уравнение для A:
dA Pi _ a Pi _ A a2Pi Pi
dP2 P2 + a2Pi (P2 + a2Pi)2 (P2)2 + a2PiP2 P2 + a2Pi
или
dA ^ a2Pi A 1 ^ 1
dP2 (P2)2 + a2PiP2 P2 + a2Pi P2'
Отсюда
f dA Г dP2
-Ч = + const.
A P 2
Интегрируя, получим решение следующего вида: A(P2) = BP2, где B - множитель, который зависит от набора x, который мы в данном случае рассматривали как постоянный параметр, т. е. A(P2, x) = B(x)P2.
Таким образом, получили следующее выражение для функции расходов:
f \ Ш \ PiP2
e(p, x) = B (x) жЧ.
P2 + a2Pi
Для вычисления B(x), требуется использовать граничные условия. Для этого сначала найдем цены, при которых потребитель предъявит спрос на данный набор x (другими словами, найдем обратную функцию спроса p(x, R)). Уравнения спроса
RP2 a2RPi Xi = -IT и X2 =
PiP2 + a2(Pi)2 (P2)2 + a2PiP2
при этом следует рассматривать как систему уравнений относительно цен Pi и P2 . Данную систему несложно преобразовать к виду
/XT = _P2_ V X2 aPi' PiXi + P2 X2 = R.
Это дает линейные уравнения относительно Pi и P2, решая которые, найдем
R aR
Pi = ^ ^ , ^ и P2 =
/XI(/XI + a/X2) /X2 (/XI + a/X2)'
Подставив эти цены в функцию расходов, мы должны получить доход R:
PiP2
B(x) жЧ= R.
P2 + a2Pi
Отсюда найдем выражение для B(x):
D, Л R(P2 + a2Pi)
B (x) = = Jxi + a/X2.
P1P2 Окончательно, получим следующую функцию расходов:
e(p, x) = Ч;ЧЧ (/XI + a/X2).
P1P2 P2 + a2 Pi
Как мы уже говорили, функция расходов при фиксированных ценах есть функция полезности. Поскольку первый множитель здесь не зависит от потребительского набора x, то он не представляет интереса при восстановлении предпочтений. Поэтому более простая функция B(x) = /XT + a/X2 тоже является функцией полезности, порождающей рассматриваемый спрос.
Заметим, что предложенное здесь решение можно упростить, положив (без потери общности) P2 = 1 и интегрируя только по первой цене.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов"
  1. 2.1. КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
    восстановлению экономического равновесия. Исследования, проведенные монетаристами в области денежного обращения, привели их к выводу о том, что путем регулирования объема денежной массы можно контролировать совокупный спрос в обществе и уровень цен. Если ранние классики, как уже отмечалось, относились к деньгам, как к то монетаристы показали, что деньги являются товаром, который способен
  2. 2.2. КЕИНСИАНСКАЯ КРИТИКА КЛАССИЧЕСКИХ ВЗГЛЯДОВ. ПОНЯТИЕ ЭФФЕКТИВНОГО СПРОСА
    восстановления равновесия на уровне полной занятости (колесо крутится в обратном направлении). Но даже если снижение цен на товары и ресурсы и происходит, то это еще не означает, что экономика возвратится к естественному уровню производства и полной занятости, как это представлялось сторонниками микроэкономического (классического) подхода. В США, например, снижение заработной платы началось
  3. з 3. Функции налогообложения и классификация налогов
    восстановление) эксплуатируемых ресурсов. Контрольная функция налогообложения означает, что государство посредством налогов контролирует финансово- хозяйственную деятельность юридических лиц и граждан. Одно временно осуществляется контроль за источниками доходов и направлениями расходования средств. В конечном счете конт рольная функция позволяет обеспечивать минимум налоговых поступлений в
  4. 9.2. Экономический цикл и его фазы
    восстановлению равновесия, повышению эффек тивности экономики. Можно сказать, что в самом кризисе заложена возможность его пре-одоления. Кризис, прежде всего, устраняет свою непосредственную причину - перенако пление капитала, поскольку в фазе кризиса экономика избавляется от части основного капитала посредством его обесценения и даже уничтожения. Это стимулирует массовое обновление
  5. Вопросы для повторения
    восстановлении нацио-нальной промышленности запрещалось любое преследование деятельности профсоюзов, в том числе дискриминация членов профсоюзов при приеме на работу. Закон о восстановлении национальной промышленности известен с тех пор как "Хартия вольностей рабо- чего класса Америки". Как вы считаете, каковы были ближайшие и долгосрочные последствия решения президента Рузвельта?
  6. 1.2. Субъекты мирового хозяйства
    восстановления) и для догоняющего типа развития. В промышленно развитых странах Запада в 70-е годы государственные предприятия обеспечивали до 20 % ВВП. В настоящее время экономическая роль государства в большей мере сводится к воздействию на производственные процессы через перераспределение национального дохода, регулирование воспроизводства. В целом государство, используя свою властную
  7. 1. РАЗВИТИЕ СИСТЕМЫ ПЛАВАЮЩИХ ОБМЕННЫХ КУРСОВ 1.1.ДЕБАТЫ ВОКРУГ ПРОЕКТА "БОЛЬШИХ НАМЕРЕНИЙ"
    восстановления некоторой экономической симметрии в мире. Европа, разумеется, придерживалась иного мнения. Страны Старого Света считали, что США злоупотребляют своей монетарной гегемонией. Их "печатный станок изготавливал доллары, считающиеся золотом". Предназначение последнего было прежде всего направлено на финансирование собственного растущего дефицита платежного баланса и усиление
  8. Словарь
    восстановления затраченной энергии. Закон убывающей предельной полезности - закон, согласно которому полезность каждой новой единицы потребляемого товара или услуги уменьшается в результате насыщения потребностей. Данный закон (обычно изучаемый в рамках микроэкономики) - один из первых, доказывающий существование научного самоменеджмента. Законное слияние - обычно слияние двух компаний, при
  9. 3.1.3 Задача минимизации расходов и хиксианский спрос
    восстановлении предпочтений по наблюдаемой функции спроса (см. параграф 3.C). Проиллюстрируем теперь нахождение функции расходов. Пример 15 (продолжение Примера 11): Найдем функцию расходов e(p, x), соответствующую функции полезности u(x) = -^/х? + й\/ж2. Как было показано выше, функция хиксианского спроса для рассматриваемого потре- ,2 / ДД Д,/Дч \ 2ч бителя равна h(p,x) = ^(pp+al^) , (pf+U2*!)
  10. 3.C.5 Задачи
    восстановлении технологического множества по функции прибыли в Теореме 54 на с. 149). Множество L++(x) = { y | y У x } можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль p к отделяющей гиперплоскости - вектор с положительными коэффициентами. Тогда p - решение задачи (9). ^ 171. Пусть u(x) - функция полезности. Вычислите для нее непрямую функцию полезности, решите