Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений |
|
|
Функция полезности вида u(x1,...,xi) = s(x1 ,...,Жц)+ x называется квазилинейной. Очевидно, что две разные квазилинейные функций полезности, соответствующие одним и тем же предпочтениям, должны совпадать с точностью до константы. Таким образом, в данном случае уникальность нормировки определяется самим видом функции. Дополнительно, для нахождения константы, можно потребовать, чтобы выполнялось s(0) = 0. Выведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(-) - строго вогнутая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и доходе содержит все продукты в положительном количестве, т. е. x(p, R) > 0. Тогда по теореме Куна - Таккера при некотором положительном Л, верны соотношения JXL = Лр (i = l) и рЛ = 1. Будем предполагать без потери общности, что р = 1. Тогда Л = 1, и JXl(x1,..., жг_1) = Pi, i = l. Из этих уравнений следует, что спрос на все блага, кроме последнего, не зависит от дохода: Xi = Xi(p1,... ,р_1) = Xi(p_i), i = l. Кроме того, можно заметить, что эти уравнения, фактически, задают обратные функции спроса вида pi(xЧ) для всех благ, кроме l-го /если функция спроса обратима??/. Эти рассуждения приводят к следующим дифференциальным уравнениям: ds тЧ= Pi(x1,... ,x_1), i = 1,...,l - 1. dxi Решая их, восстановим функцию s(-). 3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 118 Пример 25: Пусть l = 3 и спрос на первые два блага задается следующими функциями: Х1(Р1 ,Р2) = г1Ч, Х2(Р1,Р2) = 1 Р1Р2 yW2 Соответствующие обратные функции спроса имеют вид p1(x1,x2) = x-3/4x2/4, p2(x1,x2) = x1/4x-3/4. Решив дифференциальные уравнения (их можно решать по аналогии с Примером ?? ниже.) ds -3/4 1/4 ds 1/4 -3/4 9X1 =X1 Х2 , dx2 =X1 Х2 , получим s(x1,x2) = 4x1/4x1/4 + const. Чтобы выполнялось s(0, 0) = 0, константа должна быть равна нулю. Окончательно получаем следующую квазилинейную функцию полезности: и(жьж2, ж3) = 4x1/4x1/4 + ж3. Д Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (дополнительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т. е. 1-1 и(ж1,... ,жг) = Y s*(x*) + жг. *=1 Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (x(p, R) > 0), а цена последнего блага равна единице, имеют вид s*(x*(p)) = p*. Эти уравнения, фактически, задают обратную функцию спроса вида р*(ж*). При этом спрос на каждое благо зависит только от его цены, т. е. ж*^) = ж*(р*). Проинтегрировав уравнения s* = Р*(ж*), получим следующие выражения для функций s*(-): Г Xi S*^*) = / P*(t)dt + S*(0). жJ0 Интеграл в этом соотношении является так называемым потребительским излишком, поэтому S*^*) = С5*(ж*) + S*(0) и 1-1 и(ж1,..., жг) = ) + ж^ + const. *=1 Таким образом, если предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности, то по спросу (предварительно обратив его) можно восстановить непосредственно функцию полезности.? Другой подход к восстановлению квазилинейной функции полезности состоит в восстановлении соответствующей непрямой функции полезности. При таком подходе тождество Роя - ^ / ^ Xi(p,R) рассматривается как система дифференциальных уравнений. Учитывая вид функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид 1-1 v(p-, 1, R) = s(xi(p_fc),..., x_i(p_i)) + R -J2PiXi(p-). i=1 При этом = 1, и ^dp'^ не зависит от R. Поэтому, интегрируя l - 1 уравнение тож дества Роя по p1, ..., pi_1 соответственно, мы можем получить (с точностью до константы интегрирования) искомую функцию v(-, ж). Соответствующие интегралы будут равны изменению потребительского излишка как функции цен. Если предпочтения квазилинейные и сепарабельные, то непрямая функция полезности имеет вид 1-1 1_1 v(p,R) - Е Si(xi(pi)) + R - PiXi(Pi). i=1 i=1 Из тождества Роя получаем соотношение: x ,(Д л - dv(p,R) = dVi (p л Xi(Pi) = - dpi = - dpi(pi) где Vi(pi) - Si(xi(pi)) - pixi(pi), и, следовательно, гdv- Г hi dpi Jpi откуда r vi(pi) - lim vi(pi) - / xi(t)dt, jpi или г vi(pi) Ч + const. pi Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек как функция цены: г CSi(pi) - Xi(t)dt. pi Отсюда 1_1 1_1 v(p, R) - ^ Vi (pi) + R - ^ CSi(pi) + R + const. i=1 i=1 Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следующему правилу: u(x(p, R)) - v(p, R). Однако данное правило задает полезность не всех наборов, а только для наборов из области значений функции спроса. Эту проблему мы еще обсудим ниже в случае функции полезности общего вида. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений" |
|
|