Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
10.5 Равновесие с налогами на экстерналии |
|
|
В дальнейшем будем рассматривать лишь налоги с единицы экстерналии, выраженные в деньгах. Обозначим через Pi множество благ k, потребление которых i-м потребителем облагается налогами. Аналогично через Pj обозначим множество благ k, производство которых j-м производителем облагается налогами. Пусть tik - ставка налога на потребление блага k потребителем i. Тогда задача i-го потребителя модифицируется следующим образом: ui(xi, x-i, y) ^ max xi Y Pk Xik + Y (Pk + tifc )Xifc ^ ei, (10.9) fceP; kePi xi G Xi. Условия первого порядка для внутреннего решения xi данной задачи имеют вид dui(x i, x-i, y) dXik dui(xi, x-i, y) dXik = ViPk, Vk G Pi, (10.10) = Vi(pk + tik), Vk G Pi, (10.11) где Vi - множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению. Соответственно если tjk - ставка налога на производство блага k производителем j, то задача производителя j имеет вид: Е Pk yjk + Е (Pk - tjk )yjk ^ max (10.12) k/Pj kePj yj g(yj, y-j, x) ^ 0. (10.13) Условия первого порядка для решения У, данной задачи имеют вид dg(y j, У-j, x) j j j + pk = 0, VkGPj, (10.14) dg(y j, У -j, x) ' dyjk к + pk - tjk = 0, Vk G Pj, (10.15) где к, - множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению. Введем обозначения для ставок всех налогов, существующих в экономике, t/ = { tik | k G Pi } и t J = j tjk k G Pj j, и рассмотрим общее равновесие с такими налогами. Определение 71: Назовем (p, x, y) равновесием с налогами (t/, {Pi}i, tj, {Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями, если O xi - решение задачи потребителя (10.9) при ценах p, доходах ei = pai + Yijpy, + Si, jeJ налогах, определяемых t/, Pi, и объемах потребления и производства других экономических субъектов x-i, y. О у, - решение задачи производителя (10.12) при ценах p, налогах, определяемых tj, Pj и объемах производства и потребления других экономических субъектов y, x. О (x, y) - допустимое состояние, т. е. - Wifc) = Y j Vk. ie/ jeJ О сумма налогов равняется сумме трансфертов ^ifcxik + Е Е j= Е Si. ie/ fcePi je J fceP, ie/ Приведенное ниже утверждение представляет собой аналог второй теоремы благосостояния для равновесия с налогами на экстерналии. Оно утверждает, что (при некоторых естественных условиях) для Парето-оптимального состояния этой экономики можно найти цены благ и налоги такие, что данное Парето-оптимальное состояние окажется равновесием с налогами. Теорема 110: Пусть (x, y) - Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = R+. Предположим также, что xik > 0 Vi Vk ? Ei; функции полезности Ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) дифференцируемы; существует благо ko, для которого выполнены условия (O); функции Ui(x, y) вогнуты по xi; функции gj(y, x) вогнуты по переменным yj. Тогда существуют цены p, множества налогооблагаемых благ Pi и Pj , налоги t/, tj, и трансферты S, такие что (p, x, y) является равновесием с налогами. При этом множества налогооблагаемых благ можно выбрать так, что Pi = Ei и Pj = Ej. J Доказательство: Ограничимся также схемой доказательства. В качестве цены k-го блага pk можно взять множитель Лагранжа Ok для балансового ограничения. В качестве множеств Pi и Pj облагаемых налогами благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. В качестве ставки налога tik, k ? Pi выберем tfc = - ^ Л du*(x y) _ ^ p %(y, x) s=i dXik jeJ dXik где Л* и pj - множители Лагранжа для задачи, характеризующей рассматриваемый оптимум Парето. Ставка налога для блага, не принадлежащего P*, принимается равной нулю. Далее доказывается, что xi является решением задачи (10.9) при ^i = Pxi + ^ ] tikxik, kePi x-i = x-i, y = y, данных ценах и введенных налогах. Действительно, точка xi является допустимой в этой задаче. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия первого порядка. Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом: Лdu^M) = Pk + tik, Vk ? Pi, dxik dui (x, y) ЛiЧ^ = Pk, Vk ? Pi. dxik Но это и есть условия первого порядка в задаче потребителя при v, равном ^. Аналогично в качестве ставки налога tjk, k G Pj выберем , _ v-4 \ дui(X, y) v^ dgs(y, x) ie/ dyjk s=j dyjk а ставку налога для блага, не принадлежащего Ps, примем равной нулю. Далее доказывается, что у, является решением задачи (10.8) при данных ценах и x = x и y-, = y-,. Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S . Легко видеть, что требуемыми трансфертами являются величины Si = pxi + tik Xik - (pa i + Y Yij (py, - E tjk yjk)). kePi j e J ke Pj Их сумма равна, как и требуется, величине tikXik + Е Е tjk2/jk, i / k Pi j J k Pj и с учетом этих трансфертов доходы потребителей равны ^i = pxi + ^ ] tikXik, k Pi то есть ровно столько, сколько необходимо для покупки набора xi. ж Замечание: Ставка налога может оказаться величиной отрицательной. Это, в частности, будет иметь место когда потребление (производство) данного блага вызывает только положительные экстерналии. Содержательно это означает, что потребителю (производителю) выплачивается дотации по соответствующей ставке. Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (O) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости. В следующем утверждении описаны условия, при которых равновесия с налогами Парето- оптимальны. Таким образом, это утверждение представляет собой вариант первой теоремы благосостояния для такой экономики. Условия оптимальности равновесия с налогами, (x, y), имеют вид следующего правила Пигу: tik dus(x, y)/dXik , dgj(y, x)/dXik + > ~ , Vi, Vk G Pi, Pko s= dus(x, y)/dXsko jeJ dgj(У, x)/dyjko: tjk = - y, dui(x, y)/dyjk + y- dgs(y, x)/dyjk Vj Vk G P. (T) Pko ie/ dui(x, y)/dXiko s=j dgs(y, x)/dysko , , j. Если равновесие с налогами на экстерналии Парето-оптимально и удовлетворяет правилу Пигу, то соответствующие налоги называют налогами Пигу . Теорема 111: Предположим, что (p, x, y) - равновесие с налогами (t/, {Pi}i, tj, {Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями и, кроме того, xi G int Xi (равновесие внутреннее) все блага, порождающие экстерналии, облагаются налогами, т. е. Ei С Pi и E, С Pj. функции полезности и производственные функции дифференцируемы; существует благо ko, для которого выполнены условия (O). Тогда, если функции полезности и производственные функции вогнуты, то чтобы это равновесие с налогами было Парето-оптимальным, достаточно, чтобы налоги удовлетворяли правилу Пигу (T); если равновесие с налогами Парето-оптимально, и для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i (или производитель j), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т. е. k ? Pi (k ? Pj), то налоги должны удовлетворять правилу Пигу (T ). J Доказательство: (i) Нам нужно показать, что найдутся числа {Л^, {pj}j, {ok}k, Лi ^ 0,pj ^ 0, такие что для них выполнены соотношения (10.1)-(10.2) (дифференциальная характеристика Парето-оптимума экономики с экстерналиями). По обратной теореме КунаЧ Таккера при во-гнутости функций полезности и производственных функций выполнение этих соотношений - достаточное условие максимума для каждой из задач, характеризующих Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями. Воспользуемся дифференциальной характеристикой равновесия с налогами (10.10)-(10.11) и (10.14)-(10.15). Множители Лагранжа выберем следующим образом: Ai = 1/vi, Pj = Kj, ok = pk. Поскольку по предположению все блага, не облагаемые налогами, т. е. k ? Pi и k ? Pj, не порождают экстерналий, то дифференциальные характеристики Парето-оптимума для них имеют вид: л dui dg7- Л^Ч = Ok, Vi, pj- + Ok = 0, Vj. dxik cj Легко проверить, что они выполнены при выполнении соотношений (10.10) и (10.14). Кроме того, из (10.10) и (10.14) при k = ko имеем Л = - = pk0 > 0, i Vi dui/dxiko , Pj=к^=_я Pko > 0, откуда получаем следующие выражения для налогов, указанных в условии теоремы: dus ^ dgj tik=_ 5Л*jPj dxik' , _ ^, dui v^ dgs tjk = _ Mj, ps ie/ dyjk dyjk Подставляя их в дифференциальные характеристики равновесия с налогами (10.11) и (10.15), убеждаемся в том, что дифференциальные характеристики Парето-оптимума (10.1)-(10.2) выполнены. (ii) Для любого k = ko существует экономический субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Из условий первого порядка задачи потребителя i следует, что dui/dxik = _pk dui/dxiko Pko. С другой стороны, потребление этим потребителем благ k и ko не порождает экстерналий и поэтому из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что dui/dxik = Ok dui/dxiko Oko' Это означает, что pk/Pko = Ok/Oko, т. е. множители Лагранжа пропорциональны ценам. Для произвольного потребителя i и блага k, потребление которого данным потребителем облагается налогом (k ? Pi), имеем из условия первого порядка задачи потребителя dui/dxik = pk + tik dui/dxiko Pko ' С другой стороны, из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что dui/dxik + у^ dus/dxik у^ dgj /dxik = Ok dui/dxiko dus/dxsko dgj/dyjko ko' Производя соответствующие замены, получим требуемый результат: tik = dus/dxik + y^ dgj/dxik pko dus/dxsko jeJ dgj/dyjko . Аналогично, для произвольного производителя j и блага k, производство которого данным производителем облагается налогом (k ? Pj), имеем dgj/dyjk = Pk _ tjk dgj/dyjko pko . и dgj/dyjk + y^ dui/dyjk y-^ dgs/dyjk = _ _Ok dgj/dj ie/ dui/dxiko S=j dgs/dysko Oko , откуда следует, что j = _ y. dui/dyjk + y- /dyjk Vj Vk ? P pko ie/ dui/dxiko s=j dgs/dysko , , j. Замечание: Хотя по условиям теоремы множество благ, потребление (производство) которых облагается налогами, не обязано совпадать с множеством благ, порождающих экстерналии, ставки налога на блага, не порождающие экстерналии (блага из множеств Pi\E и Pj\Ej) оказываются равными нулю. Из этого, фактически, следует, что множества налогооблагаемых благ должны включать блага, порождающие экстерналии, и только их. Замечание: Предположение о том, что для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i (или производитель j), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т. е. k ? Pi (k ? Pj) фактически оказывается необходимым для справедливости второй части теоремы. В ситуациях, когда оно не выполняется, поведение потребителя i, а следовательно и равновесие, не зависят от того, какую часть цены pk + tik, с которой он сталкивается, данный потребитель выплачивает в качестве налога, а какую - в качестве рыночной цены. Пример 45 ((продолжение Примера 44)): Введем в экономику Примера 44 ti и t2 - налоги на выпуски 1-го и 2-го предприятия соответственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с налогами. Пусть (Pi,P2,P3,Xi,X2,X3,yi,y2,ai,a2,ti,t2) Ч такое равновесие. Задача максимизации прибыли j -го производителя имеет следующий вид: nj = (Pj - tj)fj(aj, y-j) - P3aj ^ max. aj Дифференцируя по a,, получаем условия первого порядка для решения этой задачи: 1 Pi - ti 1 P2 - t2 = и = , d/i/dai P3 d/2/da2 P3 то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен, с которыми сталкивается производитель, т. е. цен с учетом налогов. Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится, так как потребитель не облагается налогом du/dXi Pi du/dX2 P2 du/dX3 P3 du/dX3 P3' Из полученной дифференциальной характеристики равновесия имеем следующие соотношения: du/dXi 1 ti du/dX3 d/i/dai P3' du/dX2 1 + t2 du/dX3 d/2/da2 P3. Для того, чтобы равновесие было Парето-оптимальным, необходимо, чтобы du/dXi 1 d/2/dyi du/dX3 d/i/dai d/2/da2' du/dX2 = 1 d/i/dy2 du/dX3 d/2/da2 d/i/dai' т. е. ti = _ d/2/dyi = _ d/i/dy2 P3 d/2/da2, P3 d/i/dai. Заметим, что если предпочтения потребителя выпуклы, то такие ставки налогов гарантируют Парето-оптимальность равновесия с налогами. Д |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "10.5 Равновесие с налогами на экстерналии" |
|
|