Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
10.3 Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о неэффективности |
|
|
Не представляет труда переформулировать для экономики с экстерналиями понятие Па- рето-эффективности. По аналогии с классической моделью доказывается утверждение, характеризующее Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями: допустимое состояние (x, y) является Парето-оптимумом тогда и только тогда, когда оно является решением следующих m задач (io - 1,..., m): Uj0 (x, у) ^ max (x>y) Uj(x,у)^йг - Uj(X,у) Vi e I, i - io, x. e X. Vi e I, gj (у, x)^0 Vj e J, - wifc) - Y yjfc Vk e K. ie/ jeJ На основе этого свойства Парето-оптимального состояния можно получить его дифференциальную характеристику. Лагранжиан этой задачи для некоторого io имеет вид: L - Y AiUi(x, у) + Pj gj (у, x) + E (53 yjfc - 53 (xifc - wifc)) ie/ jeJ keK jeJ ie/ Условия первого порядка для внутренних решений имеют вид: V^ \ Чus(x, у) , V^ Чgj(у, x) nw 7 ПП1А -xikЧse/As +jJ"j j-ЧЧ0 (10Л) Ai-^ + Е + Д - 0 Vj,k. (10.2) О / j i О / j I s r\ Чyjfc ie/ Чyjfc seJ dyjfc Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что существует благо ko, обладающее следующими свойствами: благо ko не порождает внешние влияния, т. е. ko e Ei Vi e I и ko e Ej Vj e J, в рассматриваемом состоянии экономики (O) ЧUi > 0 Vi e I и ^ < 0 Vj e J. dxifco dyjfco Такое благо может играть роль естественной единицы счета для экономики . Если в рассматриваемом оптимуме Парето существует подобное благо, то, как можно проверить, выполнены условия регулярности теоремы КунаЧ Таккера, и можно считать, что Ai0 - 1 (для всех io - 1,...,m). Это позволяет исключить из полученных соотношений множители Лагранжа и представить дифференциальную характеристику в терминах предельных норм замещения. Из условий первого порядка для блага ko получим Ai ЧUi(x, у)/дж^ Vi e ^ ^fco w . J dgj (у, x)/dyjko Vj e J. Кроме того, для потребителя io соотношение dL/ЧXi0fc0 - 0 можно записать в виде Чuio (x у) ^fco . dxiofco Следовательно, > 0. (Таким образом, множители Лагранжа Ai и pj все положительны.) Произведя подстановку, получим следующую дифференциальную характеристику Парето-гра- ницы в экономике с экстерналиями: dUj/dxjfc dUs/dxjfc у^ dgj/dxifc = 3) dUi/dxiko dUs/dxsko jJ dgj/dyjko ako, . dgj/dyjk v dUi/dyjk . v Из (10.3) в частности, для каждой пары потребителей, ii и i2, и любого блага к выполнено y^dUi/dxilfc у^ dgj/dxilfc у, dUi/dxi2fc у^ dgj/dxj2fc 5) ill dUi/dxiko dgj/djo ^ dUi/dxiko dgj/dyjko ' . Аналогичное соотношение справедливо для любой пары экономических субъектов, потребителей или производителей. Сравним полученную дифференциальную характеристику Парето-оптимальных состояний для экономики с экстерналиями с дифференциальной характеристикой рыночного равновесия (p x y) в этой экономике (в предположении, что такое равновесие существует). Как и выше, будем предполагать, что существует благо ко, такое что выполнены условия (O). Здесь мы делаем обычное для моделей с экстерналиями предположение, что экономические субъекты считают экстерналии, которые на них влияют, фиксированными (экзогенными, величина которых не зависит от их решений). Таким образом, экономический субъект максимизирует свою целевую функцию только по лсвоим переменным. Так, i-й потребитель максимизирует полезность по своему потребительскому набору xi. Задача потребителя имеет вид: Ui(xi, x-i, y) ^ max pxi ^ ei, xi G Xi' А j-й производитель максимизирует прибыль, выбирая объем производства yj, т. е. решает следующую задачу: py,- ^ max j yj gj(yj, y-j, x) ^ 0' Как несложно показать, цена блага ко во внутреннем равновесии положительна. Дифференциальная характеристика рыночного равновесия имеет привычный вид: dUi(x, y)/dxifc pfc = -Ч, vi G I, dUi(x, y)/dxifco Pko dgj (x, y)/dyjfc pfc = , Vj G J, dgj(x, y)/dyjfco Pko где k - произвольное благо. Отсюда следует, что для любой пары потребителей, il и i2, выполнено (10.6) du^ /Txi1fc - Tui2 /Txi2fc duil /dxi1 fc0 dui2 /dxi2 fc0 Сравнивая дифференциальные характеристики равновесия и Парето оптимума, мы видим, что левая часть соотношения (10.6) является одним из слагаемых левой части соотношения (10.5). То же самое можно сказать про правые части. Из общих соображений трудно ожидать, что одно из этих соотношений влечет за собой другое. Вполне может оказаться, что эти две дифференциальные характеристики несовместны. Несовместность дифференциальных характеристик означала бы, что справедливо утверждение, противоположное по смыслу теоремам благосостояния, то есть аналоги теорем благосостояния для такой экономики были бы неверны. С другой стороны, сложно выявить достаточно общие условия, которые гарантировали бы, что дифференциальные характеристики рыночного равновесия и Парето-оптимума несовместны в экономике с экстерналиями. Это связано с тем, что деятельность любого экономиче-ского субъекта в общем случае может влиять на любого другого экономического субъекта, и структура взаимосвязей в экономике с экстерналиями может быть слишком сложной, чтобы позволить делать однозначные выводы. По-видимому, нельзя обойтись без того, чтобы предположить некоторого рода лрегулярное поведение производных по экстерналиям. Следующая теорема использует один из возможных наборов таких предположений (несомненно, эти предположения можно было бы ослабить). Теорема 108: Пусть (x, у) - допустимое состояние экономики с экстерналиями такое, что x- e int X- Vi, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме того, существует благо ko, для которого выполнены условия (O); все экстерналии, связанные с объемом производства производителем j* блага k* (yj*fc*), неотрицательные в том смысле, что Tui(x,у) > 0, Vi, TyjH-fcH. Чgj(x у) ) ^ 0, Vj - j*, TyjH-fcH. причем хотя бы одно неравенство строгое; Х потребление хотя бы одним потребителем io блага k* (ж-0&) не порождает внешние влияния, т. е. k* e E-0. Тогда следующие два утверждения не могут быть верными одновременно: Существуют цены p и распределение собственности, такие что (p, x, у) - рыночное равновесие этой экономики. Состояние (x, у) - Парето-оптимум этой экономики. J Доказательство: Пусть рассматриваемое состояние является Парето-оптимальным. Тогда для k - k* и j - j * выполняется соотношение (10.4). Поскольку мы предположили, что экстерналии, связанные с yjfc, положительные, и, кроме того, производные, связанные с благом ko, Tui/Txifc0 и dgj/Tyjfc0 положительны и отрицательны соответственно, то сумма лэкстерналь- ных слагаемых в левой части уравнения (10.4) больше нуля. Это означает, что Чgj* (у, x)/dyj*fc* < Ofc^ dgj* ^ x)/Чyj*fco ^fco. Кроме того, для k = k* и i = io в уравнении (10.3) по предположению нет слагаемых, связанных с экстерналиями, т. е. его можно записать в виде dui0 (x, y)/dxj0fc* = Ofc* dui0 (x, y)/dXioko ^fco 0 Окончательно получаем < dgj* (y, x)/dyj*fc* < duio(x, y)/dxjpfc* d5j* (У, x)/dy?*fco duio(x, y)/dxioko' С другой стороны, если бы рассматриваемое состояние было равновесием, то в нем то же самое соотношение должно было бы выполняться как равенство: dgj* (y, x)/dyj*fc* = duio (x, y)/dxipfc* d5j* (У, x)/dy?*fco duio(x, y)/dxioko' Отсюда следует доказываемое утверждение о том, что (x, y) не может быть одновременно равновесием и Парето-оптимумом. ж Замечание: В данной теореме мы предположили, что экстерналии положительны, связаны с производством, и существует потребитель, потребление которым того же блага не создает экс- терналий. Все эти три предположения можно изменить, то есть рассмотреть отрицательные экстерналии и/или экстерналии, связанные с потреблением, и/или предположить существование производителя, производство которым того же блага не создает экстерналий. Теорема при этом остается верной. Доказательство проводится аналогично. Замечание: Хотя теорема одна, но она противоположна обеим теоремам благосостояния. Ее можно переформулировать двумя способами: Равновесие в экономике с экстерналиями не может быть Парето-оптимальным. Парето-оптимум в экономике с экстерналиями нельзя реализовать как рыночное равновесие (ни при каких ценах и распределении доходов). Неоптимальность равновесия (p, x, y) в условиях Теоремы 108 можно подтвердить также, подобрав Парето-улучшение - другое допустимое состояние экономики, (x, y), которое доминирует по Парето состояние (x, y). При этом Парето-улучшение (x, y) мы можем подобрать так, что в нем производство положительных экстерналий yjfc строго больше, чем в рассматриваемом равновесии. Если же все экстерналии связанные с некоторой переменной yjfc отрицательные, то аналогичным образом можно подобрать Парето-улучшение так, что в нем производство экстерналий строго меньше, чем в рассматриваемом равновесии. Верны и аналогичные утверждение для благ, вызывающих экстерналии в потреблении. Доказательство этих утверждений мы опускаем, проиллюстрировав их для конкретных примеров экономик с экстерналиями. Проиллюстрируем проведенный анализ частным случаем экономики с экстерналиями./??[Маленво]/ Пример 44 (/Маленво/ (Общее равновесие; экстерналии в производстве)): Рассмотрим экономику с 3 товарами, 1 (репрезентативным) потребителем и 2 производителями. Производитель j = 1, 2 производит только j -ый продукт, используя единственный производственный фактор - труд. Будем обозначать объемы производства yi и y2, а затраты труда - ai и Й2 соответственно . Будем предполагать также, что технологии представимы явными производственными функциями следующего вида: У1 ^ fi(ai, У2), У2 ^ f2(a2,yi)- то есть выпуск каждого блага при тех же затратах труда зависят от выпуска другого блага, что означают имеют место экстерналии. Предпочтения потребителя заданы функцией полезности и(ж!,ж2,жэ), зависящей от объемов потребления двух производимых в данной экономике благ, Х ^ 0 и Х2 ^ 0, и досуга Хз ^ 0. Потребитель обладает только запасом и 3-го блага (времени). Функция полезности и производственные функции в дифференцируемы. Кроме того, производные этих функций везде имеют лестественные знаки, а именно: f > 0,/ > 0, - > 0, - > 0, - > 0. da2 oal dxl dx2 dx3 Балансовые ограничения в рассматриваемой экономике имеют вид: yl = Xl, У2 = Х2, al + Й2 + Хз = и. Парето-оптимальные состояния данной экономики , (Xl,X2,X3,yl,y2,al,a2), должны быть решениями следующей задачи : u(yl,y2,u - al - a2) ^ max yl ^ /l (al, У2), У2 ^ f2(a2, yl), yl ^ 0, У! ^ 0, al + a2 ^ и. Задача, характеризующая Парето-оптимум, здесь одна, так как потребитель один. Лагранжиан этой задачи имеет вид: L(yl,y2,al,a2,Pl, P2) = = и(УьУ2,и - al - a2) + Pl(/l(al, У2) - yl) + P2(/2(a2,yl) - У2) Будем предполагать, что решения этой задачи внутренние. Тогда Парето-оптимальное состояние можно охарактеризовать следующими соотношениями: du d/2 du d/l Pl + P^^Ч = 0, + Pl- P2 = 0, dxl dyl dx2 dy2 du d/l du d/2 Ч + Pl^ =0, - + P^ я2 = 0. Поскольку предельный продукт труда положителен, можно записать множители Лагранжа как du/dx3 du/dx3 Pl = /дОГ, P2 = d/!7da! и получить следующую характеристику Парето-оптимума: du du/dx3 ^ du/dx3 d/2 ^ dxl d/l/dal d/2/da2 dyl du du/dx3 d/l du/dx3 dx2 d/l/dal dy2 <9/2/^2 . Или, разделив на положительную предельную полезность досуга du/dx3, du/dxi 1 d/2/dyi du/dx3 d/i/dai df2/da2' du/dx2 1 dfi/dy2 du/dx3 d/2/da2 dfi/dai' Теперь охарактеризуем рыночные равновесия в данной экономике, при которых все блага потребляются в положительных количествах (внутренние равновесия). Пусть (Pi,P2,P3,Xi,X2,X3,yi,y2, ai, a2) Ч равновесие. Выпуск yj и затраты труда aj являются решением следующей задачи (максимизации прибыли j-го производителя): nj = Pj fj (aj, y-j) - P3aj ^ max. Поэтому в равновесии Uj 1 Pi 1 P2 d/i/dai P3 d/2/da2 P3' то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен. С другой стороны, функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид L = u(xi, Ж2, Ж3) + А(в - (pixi + P2Х2 + P3X3)). Дифференцируя ее по xi, Х2 и Х3 и упрощая полученные условия первого порядка, получим обычную характеристику потребительского набора (Xi,X2,X3) - равенство отношения предельных полезностей отношению цен: du/dxi pi du/dx2 p2 du/dx3 p3 du/dx3 p3' Поэтому в равновесии du/dxi 1 du/dx2 1 du/dx3 d/i/da^ du/dx3 d/2/da2' Если хотя бы одна из производных d/i/dy2 и d/2/dyi, характеризующих предельный эффект внешнего влияния, в состоянии равновесия, не равна нулю, то сравнивая дифференциальные характеристики, мы можем сделать вывод, что равновесие не может быть Парето-опти- мальным, и, наоборот, Парето-оптимум невозможно реализовать как равновесие. Величины //g/a-j , на которые отличаются характеристики равновесия и Парето-оптиму- ма, показывают (в случае положительных экстерналий), сколько труда можно лсэкономить при производстве данного блага при увеличении на лмалую единицу производства другого блага. Рассчитывая оптимальный объем затрат труда, производитель не учитывает этот эффект. Из сопоставления ее с характеристикой равновесия можно заключить: При выполнении условия d/j/dy-j =0 в состоянии рыночного равновесия характеристика равновесия будет иметь такой же вид, как и характеристика Парето-оптимального состояния. Но поскольку обе эти характеристики представляют необходимые условия, из этого факта нельзя заключить без дополнительных предположений, что равновесие Парето-оптимально. Стандартный подход в доказательстве оптимальности рыночного равновесия опирается предположение о вогнутости производственных функций и функции полезности. Однако предположение о вогнутости производственных функций по лчужой переменной (экстерналиям) представляется произвольным и ему нельзя дать столь же естественной интерпретации, как вогнутости по лсвоей переменной. Проиллюстрируем утверждение о неоптимальности производства благ в данном примере, указав в явном виде Парето-улучшение для равновесного состояния. Построим это в дифференциалах - малый допустимый сдвиг (dxl, dx2, dx3, dyl, dy2, dal, da2). из точки равновесия, который бы повышал полезность потребителя. Чтобы искомый сдвиг был допустимым, он не должен нарушать балансовые и производственные ограничения. Соответствующие условия получаем дифференцированием этих ограничений: dyl = dxl, dy2 = dx2, dal + da2 + dx3 = 0, л d/l d/l d/o d/o dyl = dal + dy2, dy2 = da2 + dyl. dal dy2 da2 dyl Отсюда получаем dx3 = Чdal - da2 = 1 d/l/dal (dyl - Юdy2) - d/o7da! (dy2 - dy? dyl, Полезность потребителя изменится на величину du du du du = ЧЧ(x)dxl + ЧЧ(x)dx2 + ЧЧ(x)dx3. dxl dx2 dx3 Подставим dxfc, выраженные через dyj: du du du = dXl(x)dyl + dX!(x)dyo - du (_) dx3 \ d/l/dal dyo - d^O dyl ) | = 1 d/l , \ 1 dylЧ ТГ"dy? + af /я , dy2 I d/2/da2 1 + dM dyl + du/dxl du/dx3 d/l/dal ' d/2/da2 1 + /d^i dyo + / du/dx2 \du/dx3 d/2/da2 ' d/l/dal - Учитывая дифференциальную характеристику равновесия, получим, что du /d/o/dyl d/l/dy? \ du = dX3 (.д/удО!dyl + /МУГdy2J . Если хотя бы одна из производных d/l/dy2 и d/2/dyl не равна нулю, то можно подобрать изменения объемов производства dyl и dy2 так, что полезность потребителя увеличится (du > 0). Это означает, что соответствующее изменение объемов производства определяет Парето-улуч- шение. Так, если, например, d/l/dy2 = 0 (случай одностороннего внешнего влияния), то если d/2/dyl > 0 (случай положительных внешних влияний), то следует dyl > 0, т. е. локальное Парето-улучшение связано с увеличением производства блага, вызывающего положительные экстерналии в производстве другого блага. Это можно интерпретировать как локально недостаточное производство положительных экстерналий. Остается открытым вопрос: является ли производство в равновесии недостаточным по сравнению также и с Парето-оптимальным состоянием экономики, т. е. верно ли yi < yi ? Ответить на этот вопрос можно только при дополнительных предположениях относительно рассматриваемой экономики. Покажем, что предположение о том, что равновесие внутреннее, существенно для истинности утверждения Теоремы 108. Пусть в равновесии Хз = 0. Тогда в равновесии выполнено следующее соотношение du/dxi d/2/da2 du/dx2 d/i/dai' В оптимальном состоянии Д ,Д i _ д/2/дУ1 du/dxi = d/i/dai s/2/sл2 du/dx2 = i д/1/дУ2 ж ' 2 d/2/Sл2 d/i/dai Эти две характеристики совпадут, если (/V / = /d/2V d/i \daij dyi \da2j dy2' Нетрудно придумать конкретные функции, для которых данная характеристика будет до-статочным условием Парето-оптимальности, так что равновесие окажется Парето-оптималь- ным. Подчеркнем, что и условие дифференцируемости функций полезности и производственных функций существенны для справедливости Теоремы 108. Существуют также и опровергающие примеры с взаимокомпенсацией экстерналий, когда часть экстерналий, связанных с некоторой переменной, положительные, а часть - отрицательные. Возможная неэффективность рыночного равновесия в экономике с экстерналиями часто служит обоснованием государственного регулирования экономики. Существуют два основных способа такого регулирования: прямое - количественные ограничения на производство и потребление благ, вызывающих экстерналии, и непрямое - налогообложение таких благ. Рассмотрим эти способы подробнее. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "10.3 Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о неэффективности" |
|
|