Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Логистика
| Т.В. Азарнова, Н.Б. Баева. МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ, ЛОГИСТИКИ И РИСКА, 2008 | |
1.2. Закрепление приемов построения моделей |
|
|
Задача 1. Известен выпуск продукции на трёх заводах: 460, 340 и 300 тонн соответственно. Требования четырёх потребителей на эту продукцию составляют: 350, 200, 450 и 100 тонн. Известны также затраты на производство 1 единицы продукции на каждом заводе: 9, 8 и 2 р. соответственно, а также матрица транспортных расходов на доставку 1 единицы продукции от i-го завода k-му потребителю: C = Ck ) '3 4 6 1Л 5 12 3 V у 4 5 8 1 Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заво-дам из условия минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку. Сравнить с оптимальным планом, построенным из условия минимизации только транспортных расходов. Решение. Обозначим через xik объем поставки продукции от i-го завода k-му потребителю. Данная транспортная задача является сбалансированной (460 + 340 + 300 = 350 + 200 + 450 + 100). Тогда ограничения на выпуск продукции будут выглядеть следующим образом: X11 + X12 + X13 + X14 460, X21 I X22 I X23 I X24 - 340, (1) X31 I X32 I X33 I X34 - 300. Ограничения на потребление продукции: X11 I X21 I X31 350, X12 I X22 I X32 - 200, (2) + Х23 \ 450, Х14 + Х24 + Х34 100. Неотрицательность объемов поставок: xk > 0, i = 1...3,к = 1...4. (3) Задача состоит в минимизации суммарных расходов на производство и перевозку. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение: 9* (Х^! \ Х12 \ Х13 \ Х14 Х21 + Х22 + Х23 + Х24 )+ 2( Х31 + +32 + Х33 + Х3++ (4) + 3Хп + 4Х12 + 6Х13 + Х14 + 5Х21 + Х22 I 2Х23 + 3Х24 + 4Х31 + 5Х32 + 8Х33 + Х34 ^ ^иах.. Таким образом, целевая функция (4) и ограничения (1-3) представ-ляют собой математическую модель для решения поставленной задачи. В случае, когда необходимо минимизировать только транспортные расходы, из целевой функции исключается выражение, описывающее производственные затраты. Целевая функция в этом случае примет вид: ЗХц + 4 Х12 + 6 Х13 + +4 + 5 Х21 + Х22 + 2 Х23 + 3Х24 + (4>) +4Х31 5Х32 8Х33 Х34 ^ При этом все ограничения останутся прежними. Задача 2. Строительный песок добывается в трёх карьерах и доставляется на четыре строительные площадки. Данные о производительности за день (ai в тоннах), потребностях в песке строительных площадок (bk в тоннах), затратах на добычу песка (di в р./т) и транспортных расходах (ckk) приведены в следующей таблице. ai 40 35 30 45 di 46 4 3 2 5 2 34 1 1 6 4 3 40 3 5 9 4 1 Недостающее количество песка - 30 т в день - можно обеспечить следующими тремя путями: - увеличение производительности первого карьера, что повлечёт за собой дополнительные затраты в 3 р. на добычу 1 т сверх плана; - увеличение производительности второго карьера с дополнительными затратами в 2 р./т сверх плана; - эксплуатация нового карьера с общими запасами 30 тонн, затра-тами на добычу 5 р./т и на транспортировку к указанным строительным площадкам: c41 = 2, c42 = 3, c43 = 1, c44 = 2 (р./т). Построить модель определения плана закрепления строительных площадок за карьерами и оптимального варианта расширения поставок песка. Решение. Обозначим через объем поставки продукции от i-го карьера на к-ю строительную площадку. Данная транспортная задача не является сбалансированной (46 + 34 + 40 - 40 + 35 + 30 + 45). Поэтому в задаче без дополнительных условий (IЧIII) ограничения на выпуск продукции будут выглядеть следующим образом: X11 + X12 + X13 + X14 46, X21 + X22 + X23 + X24 = 34, (1) X^31 \ X32 \ X^33 \ X34 40. Ограничения на потребление продукции: X11 + X21 + X31 - 40, X12 + X22 + X32 - 35 , (2) X13 + X23 + X33 - 30 , X14 + X24 + X34 < 45. Неотрицательность объемов поставок: Xk > 0, i = 1...3, к = 1...4. (3) Задача состоит в минимизации суммарных расходов на производство и перевозку. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение: 2 (X11 + X12 + X13 + X14 ) + 3 (X21 + X22 + X23 + X24 ) + (X31 + X32 + X33 + X34 ) + + 4 X1 1 + 3x12 + 2X13 + 5X14 + X21 + X22 + 6X23 + 4X24 + (4) \ 3X^31 \ 5 X32 \ X^33 \ 4 X34 ^ mm. Варианты расширения поставок фактически необходимы для того, чтобы сбалансировать задачу и обеспечить потребности строительных площадок. Поэтому для того чтобы учесть данные варианты, введем новые переменные и изменим ограничения (1-2) и целевую функцию (4). Пусть x4k - объем поставки песка из нового четвертого карьера на к-ю строительную площадку; zi - объем дополнительного производства на первом карьере, z2 - объем дополнительного производства на втором карьере. Тогда ограничения (1) будут заменены на следующие: X^11 + Х12 + Х13 + Х14 - 46 + Z1, Х21 + Х22 + Х23 + Х24 - 34 + z2 , (1 ) X31 + X32 + X33 + X34 - 40 , Х41 \ Х42 \ Х43 \ Х44 < 30. Ограничения (2) на следующие: Х11 \ Х21 \ Х31 40, Х12 \ Х22 \ Х32 35, (2Л) Х^13 \ Х23 \ Х^33 3^0, Х14 \ Х24 \ Х34 45. Неотрицательность объемов поставок: Хк > 0, i = 1...4, к = 1...4; z1,z2 > 0. (3-) Целевая функция примет вид: 02 (Хц \ Х12 \ Х13 \ Х14 ) \ 5 Z1 \ 3( Х21 \ Х22 \ Х23 \ Х24 ) \ 5 Z2 \ \ (Х31 \ Х32 \ Х33 \ Х34 ) \ 4Х11 \ 3Х12 \ 2Х13 \ 5Х14 \ (4') \ Х21 \ Х22 \ 6Х23 \ 4Х24 \ 3Х31 \ 5Х32 \ 9Х33 \ 4Х34 \ \ 2X41 \ 3X42 \ X43 \ 2X44 ^ min. Задача 3. Первый склад (Si) имеет сталь двух марок: 3000 т марки А и 4000 т марки Б. Второй склад (S2) также имеет сталь двух марок: 5000 т марки А и 2000 т марки Б. Сталь должна быть вывезена в два пункта потребления: в пункт P1 необходимо поставить 2000 т стали марки А, 3000 т марки Б и остальные 2000 т стали любой марки. Аналогично второй пункт потребления P2 должен получить 6250 т стали, из них 1000 т стали марки А и 1500 т стали марки Б. Известно, что 2000 т стали марки А могут быть заменены на 1600 т стали марки Б (но не наоборот). Стоимость перевозок в рублях за тонну составляет: из пункта Si в пункты P1 и P2 1 р. и 1,5 р., из пункта S2 в P1 и P2 соответственно 2 р. и 1 р. Составить модель оптимального плана перевозок. Решение. Обозначим через х? объем поставки стали g-й марки из i-го склада на к-й пункт потребления. Подобные задачи (со взаимозаменяемыми ресурсами) решаются путем выражения объемов одного ресурса в единицах другого. Например, в данной задаче выпишем все ограничения в единицах стали марки Б. В таблице приведены основные параметры задачи, выраженные в единицах стали марки Б. Тип ограничения Марка стали В исходных единицах В единицах стали марки Б Запасы на складе Si марка А 3000 2400 марка Б 4000 4000 Запасы на складе S2 марка А 5000 4000 марка Б 2000 2000 Потребность 1-го пункта потребления марка А 2000 1600 марка Б 3000 3000 любой марки 2000 1600* Потребность 2-го пункта потребления марка А 1000 800 марка Б 1500 1500 любой марки 3750 3000* Х В качестве стали ллюбой марки логично выбрать сталь марки А, которую затем можно заменить на меньшее количество стали марки Б. Как видим, общая потребность в стали обоих пунктов потребления составляет 11 500 тонн (в единицах стали марки Б), в то время как общий запас (обоих складов) составляет 12 400 тонн. Задача не является сбалансированной. Тогда ограничения на наличие ресурсов будут выглядеть следующим образом: xA + x2 < 3000, xf1 + xf2 < 4000, (1) xA1 + xA2 < 5000, xB21 + x2B2 < 2000. Ограничения на потребление стали марки Б (т. к. она не заменима маркой А): xfl + x21 > 3000, (2) xf2 + x2B2 > 1500. Сталь марки А, как и остаток ллюбой марки, может быть заменена сталью марки Б, поэтому к ограничениям (2) для каждого склада необходимо добавить ограничения на общее количество поставляемой стали всех марок, выраженное в единицах стали марки Б: 0,8( xA + x2A1) + (xB + xB21) = 6200, (3) 0,8( xA + x?) + ( XjB + x22) = 5300. Здесь 6200 и 5300 - общая потребность соответственно 1-го и 2-го пунктов потребления стали обеих марок, выраженная в единицах стали марки Б (подробнее - см. табл. к задаче 3), а 0,8 = ""600 - коэффициент перевода стали марки А в сталь марки Б. Неотрицательность объемов поставок: xg > 0, i = 1..2,к = 1..2,g е{"А","Б"}. (4) Задача состоит в минимизации суммарных расходов на производство и перевозку. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение: (Х1А1 + Х1В1) +1,5 (xi2 + Х1В2) + 2 (x21 + X2B1) + (Х2 + X2B2) ^ min. (5) Целевая функция (5) и ограничения (1-4) представляют собой математическую модель для решения поставленной задачи. Задача 4. Компания Рекорд имеет 4 различных сборочных линии на своём главном заводе. Управляющий производством имеет 5 служащих и желает назначить по одному служащему к каждой из сборочных линий. Каждый из этих служащих может работать на любой сборочной линии, но с различными затратами, связанными с индивидуальным опытом и мастерством. Эти затраты приведены в таблице. Сужащий Сборочная линия 1 2 3 4 Служащий 1 23 19 22 27 Служащий 2 18 22 20 18 Служащий 3 25 20 22 30 Служащий 4 20 24 24 28 Служащий 5 16 18 20 25 Каким образом следует управляющему производством прикрепить служащих к сборочным линиям с тем, чтобы минимизировать общие затраты? Решение. Введем переменные xik е {0,1} следующим образом: xik = 1, если i-й служащий назначается на k-ю производственную линию, в противном случае xik = 0. Данная задача не является сбалансированной - количество служащих больше количества производственных линий. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.2. Закрепление приемов построения моделей" |
|
|