Банковское дело / Доходы и расходы / Лизинг / Финансовая статистика / Финансовый анализ / Финансовый менеджмент / Финансы / Финансы и кредит / Финансы предприятий / Шпаргалки Главная
Финансы
Финансовый менеджмент
| Под ред. акад. Г.Б. Поляка. Финансовый менеджмент: Учебник для вузов Под ред. акад. Г.Б. Поляка . - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА,2006. - 527 с., 2006 | |
5.2. Методы учета фактора времени в финансовых операциях |
|
|
В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью специальных методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. Сущностью этих методов является приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. В качестве нормы приведения используется процентная ставка г. В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко. Процентная ставка здесь также выступает: в качестве измерителя уровня (нормы) доходности осуществляемых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к объему вложенных средств и выражаемого в долях единицы либо в процентах; в качестве альтернативной стоимости (издержек) капитала. Под наращением понимают увеличение первоначальной суммы в результате начисления процентов. Экономический смысл метода наращения состоит в определении суммы, которая будет или может быть получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в результате проведения операции. Другими словами, метод наращения позволяет определить будущий размер {future value (FКО текущей суммы (present value (PV)) через некоторый промежуток времени п исходя из заданной процентной ставки г. Используемую при этом ставку иногда называют ставкой роста. Дисконтирование представляет собой нахождение современного (на текущий момент времени) размера некоторой суммы по ее известному или предполагаемому значению в будущем. В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современную или текущую стоимость будущей суммы FV. Дисконтирование по сути есть зеркальное отражение наращения. Используемую при этом процентную ставку г называют нормой дисконта. В зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов. 1. Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году. Базой для исчисления процентов за каждый период в этом слу-чае является первоначальная (исходная) сумма сделки. ? Наращение по простым процентам. В общем случае наращение по годовой ставке простых процентов осуществляют по следующей формуле: , FV = PV{\ + т) , (5.1) где FV - будущая стоимость; PVЧ современная стоимость; п - число периодов (лет); г - процентная ставка. На практике продолжительность краткосрочной операции часто бывает меньше года. В этом случае срок проведения операции п в (5.1) определяется следующим образом: и = 4, (5-2) где / - число дней проведения операции; В Чж временная база (число дней в году: 360, 365 или 366). С улетом (5.2) формула расчета будущей стоимости примет следующий вид: (5.3) Обычно при определении продолжительности операции даты ее начала и окончания считаются за I день. В процессе проведения анализа в качестве временной базы В часто удобно использовать условный или финансовый год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими. Точные проценты получают при базе, равной фактическому числу дней в году, т.е. при В - 365 или 366. Пример 2. Покупателю предоставлен кредит под гарантию оплаты продукции на сумму 10 ООО ден. ед. через 30 дней. Ставка по кредиту определена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту? Решение, а) С использованием обыкновенных процентов 10 000(1 + 0,30 Х 30 : 360) - 10 250. б) С использованием точных процентов ГУ= 10 000 (1 + 0,30 Х 30 : 365) = 10246,57. В свою очередь срок продолжительности операции / также может быть приблизительным (когда любой месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каждом месяце). Тогда в зависимости от параметров I и В возможны следующие варианты начислений процентов: 365/365 - точное число дней проведения операции и фактическое количество дней в году; 365/360 - точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней); 360/360 - приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев по 30 дней). Обыкновенные проценты (360/360) более удобно использовать в аналитических расчетах. Этим объясняется популярность их применения на практике в большинстве развитых стран, включая США и государства континентальной Европы. В России в основном применяются точные проценты (365/365). В частности, они используются в официальных методиках ЦБР и МФ РФ для расчета доходности по краткосрочным государственным обязательствам. Начисление по формуле точных процентов требует определения фактического числа дней проведения операции по специальным справочным таблицам либо с помощью компьютерных программ, например MS Excel1. Формула (5.1) представляет собой уравнение прямой; таким об-разом, рост исходной суммы при начислении простых процентов осуществляется линейно. График роста суммы в 10 ООО при годовой ставке 10% приведен на рис. 5.1. Рис. 5.1. Наращение по простым процентам Время, дней ? Дисконтирование по простым процентам. В зависимости от вида процентной ставки в коэффициенте приведения при анализе краткосрочных финансовых операций применяют два метода дисконтирования - математическое и коммерческое (так называемый банковский учет). В первом случае в качестве нормы приведения используют ставку г, применяемую при наращении (5.1). Во втором случае в роли нормы приведения выступает учетная ставка, для обозначения которой в дальнейшем будет использоваться символ (1. Математическое дисконтирование представляет собой задачу, обратную наращению и сводится к определению РУ по известным 1 Детальное описание методов моделирования финансовых расчетов с помощью MS Excel изложено в книге: Лукасевич И.Я. -лАнализ финансовых операций. - М.: Юетгга, 1998. значениям ГУ, г, п. С учетом принятых обозначений формула дисконтирования по ставке г будет иметь следующий вид: PV FV (1 + nt) PV = (5.4) В Разность (РУ - РУ) называют дисконтом, или скидкой, а используемую норму приведения г - декурсивной ставкой процентов. Пример 3. Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию с номиналом в 100 ед. и погашением через 90 дней, если требуемая норма доходности равна 12%? Решение, а) С использованием обыкновенных процентов РУ= 100/(1 +0,12 ж 90 : 360) = 97,087. б) С использованием точных процентов РУ= 100/(1 + 0,12 -90: 365) = 97,12. Банковский или коммерческий учет применяется в основном при учете векселей. Суть метода заключается в том, что проценты сразу начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка с. Формула дисконтирования по учетной ставке имеет следующий вид: (5.5) При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения dназывают антисипативной ставкой процентов. Пример 4. Простой вексель на сумму 100 000 ден. ед. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Учетная ставка банка равна 15%. Определить полученную владельцем векселя. PV= 100 000 (1 - 0,15 Х 90 : 360) = 96 250. Соответственно банк удержал в свою пользу 100 000 - 96 250 = 3750. Как следует из формулы (5.5), при неизменном значении ставки d, чем раньше проводится учет векселя, тем больше будет размер дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец. Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при г = d (рис. 5.2). Как следует из рис. 5.2, учетная ставка d дает более быстрое снижение исходной суммы, чем обычная ставка г. 10200- 10000 9800 - 9600 - 9400 * 9200 - 9000 8800- 8600- 8400- л >. о з X X а и о а х з о 5 360 0 300 60 120 180 240 Время, дней Рис. 5.2. Дисконтирование по простым процентам (/-=Учетная ставка й может применяться и для наращения. Необходимость в таком наращении возникает при определении будущей суммы контракта, например общей суммы векселя. Формула опре-деления будущей суммы в этом случае имеет следующий вид: РУ (5.6) _ РУ _ РУ \-dn~ В Изменим условие примера 4 следующим образом. Пример 4а. На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы .поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров в полном объеме, если банковская учетная ставка равна 15%? Очевидно, что здесь мы имеем дело с обратной задачей - наращением по учетной ставке д. При этом будущая сумма ГУ (номинал векселя) определяется по формуле (5.6): РУ= 100 000 : (1 - 90 Х 0,15 : 360) = 103 896,10. ? Определение процентной ставки и срока проведения операции. Процентная станка г или учетная ставка й могут быть определены из соотношений (5.1) и (5.5). Решив соответствующие уравнения относительно г или (I, получим (5.7) (5.8) Г^РУ - РУ ^РУ-РУ в. РУ 'I РУ-п РУ-( ' ^.^РУ -РУ ^РУ-РУ в РУ-п Пример 5. Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22% номинала. Определить доходность операции для инвестора. Решение, а) С использованием обыкновенных процентов уд 100-98,22, 360 ^о,о72, Дли 7,2; 98,22 90 б) с использованием точных процентов Уа 100-9^2,365 = 98,22 90 Определим срок операции, дней: (5.9) РУ-г е=11^ГУв. , (5.10) Х с1 Для предыдущего примера определить срок владения обязательством стоимостью 98,22, погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности равна 7,22%. Решение. 100-98,22 .360,90?61> 98,22-0,072 ? Эквивалентность процентных ставок г и й. Принцип эквива- лентности процентных ставок широко применяется в финансовом и инвестиционном анализе. Его используют при сравнении условий сделок, замене одного вида ставок на другой, определении эффективности операций и т.д. В общем случае две различные процентные ставки считаются эквивалентными, если их использование при одинаковых условиях сделки приводит к одному и тому же финансовому результату. Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения: 1 + ИГ = (1-лй)- 1. (5.11) С учетом (5.11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут следующий вид: а) временная база ставок одинакова и равна В (360 или 365 дней) <5Л2) в Вг (5.13) Я-ь г б) временная база ставки г равна 365 дням, а с - 360 дням. г= ЪШ ; (5.14) 360-л/ = (5.15) 365 + Г/- В практике финансового управления более важную роль играют сложные проценты, которым в дальнейшем и будет уделено основное внимание. 2. Сложные проценты широко применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов. ? Рассмотрим наращение по сложным процентам на следующем примере. Пример 6. Сумма в 100 ден. ед. помещена в банк на депозит сроком на 3 года. Ставка по депозиту - 8% годовых. Проценты по депозиту накаляются раз в год. Какова будет сумма депозита в конце срока? По условиям операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада РУ= 100,00, процентная ставка г - 8% и срок п - 3 года. Решение. Определим будущую сумму вклада на конец первого периода: ГУ] = РУ+ РУ - г ~ РУ( + г) = 100,00 (I + 0*08) = 108,00. Соответственно для второго периода сумма ГУ будет равна ру2 = ру1 + ГУ,, г = РУ( 1 + г) + РУ( 1 + г) г = РУ (Г + г)2 = - 100,00 (1 + 0,08)2 = 1 16,64. Для последнего периода (п - 3): ГУ3 = РУ2 + РУ2 Х Г = РУ( 1 + г)3 - 100,00 (1 + 0,08)3 - 125,97. Схема наращения по методу сложных процентов для данного примера показана на рис. 5.3. ["(Г | 2 ~ 3 Время) 100(1,08) П 108(1,08) ~Т116,64(1,08) 1 100 108 116,64 125,97 100(1,08)' и > 125,97 Рис. 5.3. Схема наращения по сложным процентам Как следует из рис. 5.3, наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов. Процесс реинвестирования полученных доходов получил название капитализации. Общее соотношение для определения будущей суммы имеет следующий вид: ГУД = РУ(1 + г)". (5.16) Сумма ГУ существенно зависит от г и п. Например, будущая сумма всего 1,00 ед. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174 313,45! На рис. 5.4 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 ед. при различных ставках сложных процентов. 2 3 4 5 6 7 8 9 Период времени Рис. 5.4. Рост суммы в 1,00 ед. при разных ставках сложных процентов На практике в зависимости от условий финансовой сделки проценты могут начисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение (5.16) для исчисления будущей стоимости будет имегь следующий вид: \тп 1+- > т) г у = ру 1 г пм л (5.17) где т - число периодов начисления в году. Допустим, что в предыдущем примере проценты выплачиваются ежеквартально (т = 4). Определим /У3: Л0= 100,00 (Г + 0,08/4)12 л (26,82. Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту по формуле EPR = 1 + ^- -1, (5.18) т J где г - номинальная ставка; т число периодов начисления. Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate, EPR), или ставкой сравнения1. Пример 7. На годовой депозит в 10 000,00 ед. ежеквартально начисляются сложные проценты по ставке 2,5% (т.е. из расчета 10% годовых). Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000,00 ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых раз в году? Решение. Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций: ЕРЯ={ 1 + 0,1/4)4 - 1 =(1 + 0,025)4 - 1 = 0J 03813; ЕРЯ = (I + 0,1/1)' - 1 = 0,10. Таким образом, условия помещения суммы в 10 000,00 ед. на депозит сроком на 1 год под 10% годовых, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора. В свою очередь, если известна сумма ЕРЯ, номинальная ставка процентов г может быть определена так: v = +EPR-\). (5.19) ? Дисконтирование по сложным процентам. Формулу для определения современной суммы по сложным процентам можно легко вывести из соотношения (5.16) делением его обеих частей на (1 -ь г)". Выполнив соответствующие математические преобразования, получим FV PV.. = (5.20) (I + г)" Пример 8. Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила 100 ден. ед. Определить первоначальную сумму вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых. На рис. 5.5 приведена схема процесса дисконтирования по сложным процентам для рассматриваемого примера. Го г 3 Время 2 "Т 85,73/(1,08) 92,60/(1,08) ' 100/(1,08) 85,73 92,60 100 79,38 79,38 <- 100/(К08)3 Рис. 5.5. Схема дисконтирования по сложным процентам Реше н и е. РУ= 100,00/(1 + 0,08)3 = 79,38. На рис. 5.6 приведена диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1,00 ед. при различных ставках сложных процентов. 1 " "1 I г } I | 1" | 3 4 5 6 7 8 9 ю 11 Период времени Рис. 5.6. Дисконтирование суммы в 1,00 ед. при различных процентных ставках Как и следовало ожидать, сумма РУтакже зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость злесь обратная - чем больше г и п, тем меньше текущая (современная) сумма. Если начисление процентов осуществляется т раз в году, соотношение (5.20) будет иметь следующий вид: ру РУпш = . (5.21) ' (1 + г/т)пш ? Исчисление процентной ставки и продолжительности операции. Формулы для определения величин г и п могут быть получены из (5.16) и (5.20). (5.22) При известных величинах РУ, РУ и л процентную ставку можно определить по формуле Г ру \"п J п PV ' ' п / Пример 9. Сумма в 10 000,00 ед. помещенная в банк на 4 года, составила 14 641,00. Определить процентную ставку (доходность операции). Решение. /Х= (14 641,00 / 10 000,00)1/4 - I ^ о,ю (10%). Длительность операции определяется логарифмированием: log(l + r) Пример 10, Сумма в 10 000,00 ед., помещенная в банк под 10% годовых, составила 14 641,00. Определить срок проведения операции. Решение. п = log( 14 641,00 / 10 000,00) / log(l + 0,1) = 4 года. 3. Непрерывные проценты используются в случаях, когда вычисления необходимо проводить за бесконечно малые промежутки времени. Они играют ключевую роль в ряде финансовых моделей, например в известной модели опенки опционов Блэка- Шоулза. Проведем анализ роста коэффициента наращения в формуле (5.17) исходя из допущения о возможности ежедневного, ежечасного, ежеминутного и даже ежесекундного начисления процентов, на-пример по ставке 10%. Обозначим множитель наращения через & тогда V - П + (1 / т)\ Х т. Результаты соответствующих расчетов приведены в табл. 5.1. Таблица 5.1. Расчет зависимости множителя V от роста т т 4 6 12 365 8760 525600 31536000 ? 2,44141 2,52163 2,61304 2,71457 2,71813 2,71828 2,71828 /8н-1 1,03286 1,03625 1,03886 1,00131 1,00006 1,000001 С переходом от ежедневного к ежечасному начислению процентов (т.е. при увеличении т в 24 раза) значение V увеличилось всего в 1,00131, или на 0,13%; с переходом от ежечасного к ежеминутному начислению (при увеличении т в 60 раз) рост V составил около 1,00006, или 0,006%. Разницу между ежеминутным и ежесекундным начислением можно заметить только в шестом знаке после запятой. Таким образом, при бесконечном росте т величина g стремится к константе 2,7182818..., известной в математике как число е. Тогда будущая стоимость денег при непрерывном начислении будет равна РУ^РУ-еЩ. (5.24) где с Ч- экспоненциальная константа (2,71828...). Соответственно современная стоимость денег при непрерывном начислении процентов составит: РУ = РУ- с~'п. (5.25) ? Эквивалентность сложных и непрерывных ставок. Ставка непрерывных процентов гс может быть приведена к ставке сложных процентов и обратно. Соотношения эквивалентности имеют следующий вид: 1 г, л#и(ег'-1);. гс = т 1п т В дальнейшем по ходу изложения материала данной главы будут использоваться сложные проценты, техника исчисления которых служит базой для количественного анализа долгосрочных операций. Рассмотренные методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "5.2. Методы учета фактора времени в финансовых операциях" |
|
|