Моделирование оптимальных стратегий финансового инвестирования в стохастических условиях

Ботенко, Лилия Ивановна

Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Моделирование оптимальных стратегий финансового инвестирования в стохастических условиях тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат

Ученаd>кандидат экономических наук
Автор	Ботенко, Лилия Ивановна
Место защиты	Кисловодск
Год	2006
Шифр ВАК РФ	08.00.13

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Моделирование оптимальных стратегий финансового инвестирования в стохастических условиях"

На правах рукописи

Ботенко Лилия Ивановна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ФИНАНСОВОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Кисловодск - 2006

Диссертация выпонена в Кисловодском институте экономики и права

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Наталуха Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор

Защита состоится 10 июня 2006 года в 14 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 521.002.01 по экономическим наукам при Кисловодском институте экономики и права (357700, г. Кисловодск, ул. Р. Люксембург, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кисловодского института экономики и права

Автореферат разослан 6 мая 2006 года

Попова Елена Витальевна

кандидат экономических наук, доцент Винтизенко Анна Михайловна

Ведущая организация: Таганрогский государственный

радиотехнический университет

диссертационного совета

Ученый секретарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гитман Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Колас Б., Коб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Марко-виц Г., Маршал Д., Майерс С., Мертон Р., Миддтон Д., Милер М., Модильяни Ф., Моргенштерн О., Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка И.А., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева H.H., Хоминич И.П.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментл ^^^y^jygin^

БИБЛИОТЕКА С.-Петербург ОЭ 200

водственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарин Г.П., Капитоненко В.В., Кардаш В.А , Касимов ЮФ, Кутуков В.Б., Перепелица В.А , Попова Е.В , Четыркин Е.М., Аким Э., Браун С., Бригхэм Ю., Гапенски JI., Джордан Н., Карберг К , Кочович Е., Паррамоу К., Уотшем Т., Шим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко В С , Комогоровым А.Н., Макаровым В.Л., Марковым A.A., Мельниковым A.B., Новиковым А.А , Павловым И.В., Прохоровым Ю.В., Ширяевым А.Н. Из иностранных ученых отметим Винера Н., Ито К., Као X., Карни Е., Маковского J1., Мандельброта Б., Маркуса С., Муна Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.

Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометри-ческие методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Айвазяна С.А., Болерслева Т., Винтизенко И.Г., Давниса В.В., Дибода Ф., Ингла Р , Кэмпбела Дж., Перепелицу В А., Попову Е.В., Тейлора С., Хансена С., Макарова В., Эфрона Б., Яновского Л.П.

В то же время, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. В большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэдаззи П., Висейра Л., Ким Т., Кэмпбел Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются стратегии оптимального размещения капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка с учетом промежуточного потребления. Объектом исследования является инвестиционный портфель финансового инвестора.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач оптимального инвестирования (с учетом промежуточного потребления) на финансовом рынке, характеризующемся стохастичностью инвестиционной среды. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработка экономико-математических моделей, позволяющих рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемого в рисковые финансовые инструменты с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемые доходностей, вариационно-ковариационной матрицы доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;

- исследование свойств оптимальных стратегий инвестирования и потребления;

- моделирование и анализ оптимальных стратегий потребления инвестора с заданной функцией полезности (соответствующих инвестиционным стратегиям) с учетом того, что инвестор извлекает полезность из конечного капитала и/или промежуточного потребления;

- моделирование и анализ оптимального размещения капитала в рисковые активы при постоянных инвестиционных возможностях;

- построение оптимальных стратегий хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления при общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки и цен рисковых активов;

- анализ оптимального спроса на хеджирование и эффективности хеджирования процентного риска акциями и облигациями. Анализ оптимального инвестирования в спекулятивную и в хеджирующую части портфеля в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора;

- построение облигации с непрерывным купоном, оптимально хеджирующей стохастические изменения краткосрочной процентной ставки для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления и конечного капитала.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам финансовых инвестиций, фондового рынка, экономической теории благосостояния, теории полезности, методам стохастического оптимального управления.

Информационно-документальной базой исследования являются законодательные акты РФ; решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Министерства финансов РФ и Центрального банка России, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (С118Р), а также собственные расчеты автора.

Диссертационное исследование выпонено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономического исследования: математического моделирования, стохастического оптимального управления, теории полезности, решения и анализа обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, графический и расчетно-конструктивный.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- построена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и порт-

фель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями; исследованы свойства оптимальных стратегий инвестирования и потребления;

- при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска разработан метод определения замкнутых оптимальных решений инвестирования и потребления в широком классе стохастических моделей эволюции параметров инвестиционной среды, что позволило провести анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и установить, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата величины рисковых премий;

- выведены и исследованы оптимальные стратегии инвестирования и потребления при постоянных краткосрочной процентной ставке и ожидаемых доходностях активов. Доказано, что оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени (заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени);

- при достаточно общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки (описываемой уравнением Орнштейна-Уленбека) и цен рисковых активов (индекса акций и облигаций) построены оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления. Доказано, что спрос на хеджирование включает только облигацию, так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента относительного неприятия риска инвестора оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигацию - увеличивается; отношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растет с увеличением относительного неприятия риска инвестора;

- доказано, что если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, то наиболее эффективным инструментом хеджирования процентного риска является облигация с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора. Инвестор, характеризующийся логарифмической полезностью (нейтрально относящийся к риску), не хеджирует против изменения инвестиционных возможностей. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска отрицательна, в то время как более осторожный инвестор занимает длинную позицию по облигации. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта;

- доказано, что для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления, оптимальным инструментом хеджирования стохастических

изменений процентной ставки является облигация с непрерывным купоном, динамика которой определена аналитически.

Практическая значимость исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и агоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Рассчитанные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) позволяют инвесторам реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов и краткосрочными процентными ставками. Проведенный анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями, позволил установить, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата величины рисковых премий по рисковым активам. Построенные в диссертации оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления, позволяют инвестору наиболее эффективно занимать хеджирующие позиции по облигации с непрерывным купоном (динамика которой определена аналитически) или облигации с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на V и VI Всероссийских симпозиумах Математическое моделирование и компьютерные технологии, (г. Кисловодск, 2002, 2004), региональных научных семинарах Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки (г. Вогоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2002-2005 г.г.), Всероссийской научно-практической конференции Механизмы эффективного управления в рыночной экономике (г. Кисловодск, 2004), Всероссийском симпозиуме Экономическая психология: проблемы и перспективы (г. Кисловодск, 2004), Международном симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск, 2005).

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 6 печатных работах общим объемом 2,75 п.л. (в том числе автора 2 п.л.).

Объем и струю ура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 127 страницах, включает 5 таблиц, 5 рисунков. Список использованной литературы содержит 153 источника.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана характеристика степени изученности проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость.

В первой главе "Управление финансовыми активами" рассматриваются виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности, методы оценки эффективности инвестирования капитала в финансовые инструменты, а также методы управления портфелем ценных бумаг с учетом финансовых рисков. Дается характеристика факторов, определяющих инвестиционные качества отдельных финансовых инструментов инвестирования. Обсуждаются модели оценки реальной стоимости ценных бумаг. Сделан обзор работ, посвященных формированию портфеля финансовых инвестиций, выбору портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля. Рассматривается оценка финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации. Изложены принципы оперативного управления реструктуризацией портфеля финансовых инвестиций. Рассматриваются виды отношений инвесторов к риску и характеристики интенсивности нерасположенности к риску.

Во второй главе Моделирование оптимального размещения капитала в рисковые активы при постоянных инвестиционных возможностях построена модель финансового инвестирования в непрерывном времени, на основе которой выведены оптимальные портфельные и потребительские стратегии инвестора с различной степенью неприятия риска при постоянных ожидаемых доходностях рисковых активов и краткосрочной процентной ставке.

Финансовый инвестор дожен выбрать непрерывный во времени процесс потребления с = (с, и непрерывный во времени процесс инвестирования

в = (в\ ),е[0 т] Здесь 0, - п -мерный вектор количества капитала 1г, инвестируемого в момент / в с! рисковых активов. Оставшаяся часть капитала инве-

стора в, = Щ - I = - ди (I - (I -мерный вектор из единиц, а верхний

индекс Г означает транспонирование), инвестируется в безрисковый актив (банковский счет). Целью финансового инвестора является максимизация ожидаемой полезности на инвестиционном горизонте, которая предполагается аддитивно сепарабельной по времени

Е Т\е~*и{с1 У? + е 5ти{\т) , _о

где Е - оператор математического ожидания, а и и П - возрастающие и вогнутые функции полезности Ньюмена-Моргенштерна. Определим неявный процесс полезности У = (У,) следующим образом

J(W,t)= sup Ew/\e's's-,)u{cs)ds + e-s^!)u{W!)^ 0)

('Мфл t

где 8 - субъективный дисконтный фактор инвестора. Оптимальная стратегия потребления и инвестирования (с*, 0*) характеризуется тем, что она обеспечивает по крайней мере такую же высокую ожидаемую полезность, как любая другая допустимая стратегия.

При выборе стратегий потребления и инвестирования экономический агент имеет дело с рядом переменных, стохастически эволюционирующих с течением времени:

Х краткосрочная процентная ставка rt;

Х цены, ожидаемые ставки доходности, вариационно-ковариационная матрица ставок доходности по рисковым активам;

Х ожидаемая скорость изменения дохода инвестора вне финансового рынка;

Х ковариации или корреляции между перечисленными переменными.

Будем предполагать, что все экзогенные возмущения указанных переменных могут быть представлены стандартным броуновским движением. Прямым следствием этого предположения является отсутствие скачков цен активов. Динамика цен рисковых активов описывается вектором цен Pt, следующим стохастическому процессу следующего вида

dPt = diag(Pt %r,I + о",Л, )dt + atdzt ],

где z, =(z,,,...,zrf,)r - d-мерное стандартное броуновское движение, т.е. вектор d независимых одномерных броуновских движений, diag{Pt) - nxti диагональная матрица с элементами Pt по главной диагонали, ц - вектор ожидаемых доходностей рисковых активов, ст, - п х п - мерная матрица волатильностей. Вектор рисковых премий А, =а]"'(//, - г:1) является мерой избыточной доходности актива.

В этой главе предполагается, что краткосрочная процентная ставка г, ожидаемые нормы доходности и и матрица волатильностей рисковых активов а постоянны во времени. Вектор рисковых премий Я поэтому также не зависит от времени Предполагается, что инвестор не имеет дохода вне финансового рынка. Динамику капитала инвестора при данных стратегиях потребления с, и инвестирования л, (вектор весов рисковых активов в портфеле инвестора определяется отношением л, =6jWl, так что вес безрискового актива составляет т

1 - л, I = 1 - Xя ) записываем в виде:

dWt = W,(г + KTaX)dt - cdt + W^adz,. Применяя к (1) принцип оптимальности Белмана, получаем следующее уравнение

г2пт аат п

эир \и(с) + Ч {W,t)+Jw{W,t^v[r + Jrтax}-c)+

Максимизация правой части уравнения (2) по с дает следующее условие первого порядка

г/(с)=/М- (3)

Это условие оптимальности устанавливает, что предельная полезность текущего потребления одной допонительной единицы дожна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы.

Безусловная максимизация правой части уравнения (2) по п дает оптимальную инвестиционную стратегию

я(1,1) = - (аа'ГЧм-П). (4)

ж/Щ (иг, О

Заметим, что множитель--Представляет собой коэффициент отно-

сительной терпимости к риску (обратный коэффициенту относительного неприятия риска) для функции неявной полезности. Оптимальные инвестиции в рисковые активы поэтому равны коэффициенту относительной терпимости к риску, умноженному на вектор, одинаковый для всех инвесторов (при условии, что они одинаково воспринимают переменные а, ц и г). Этот вектор представляет собой произведение матрицы, обратной к вариационно-ковариационной матрице, и вектора избыточных ожидаемых доходностей рисковых активов.

Из оптимальной инвестиционной стратегии (4) следует важный результат: при постоянных инвестиционных возможностях, т.е. постоянных г, и и сг, оптимально размещение капитала в два фонда: инвестор вкладывает часть своего капитала

в рисковый фонд, а остальную часть в безрисковый актив (банковский счет).

Далее получены замкнутые решения для оптимальных стратегий инвестирования и потребления при наиболее употребительных функциях полезности: функции полезности с постоянным относительным неприятием риска и логарифмической функции полезности. Рассмотрены три интересных для приложений типа задач: инвестор извлекает полезность: (1) только из потребления; (2) только из конечного капитала; (3) из потребления и конечного капитала. Эти три задачи можно решить одновременно, вводя два параметра - индикатора ех и ег, которые принимают значения 0 и 1. Положим

А = ^ZIMZIA rlf {аатГ - rl).

c 1-7 _

u(c) = ,"-, u(W) = s2--.

1 -r 1-y

Три ситуации, упомянутые выше, соответствуют следующим комбинациям параметров и е2 (1) -, = 1, е2 = 0; (2) ех =0, е2 =1; (3) - ег =1.

В диссертации доказано, что для функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска оптимальная инвестиционная стратегия определяется следующим образом

Tl(W, t) = - {атух у = -{аат)А{ц-г1). (5)

Если инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления (\ = l), оптимальная стратегия потребления имеет вид

C(fV,t)= A(l + (2A - 1 )e'MT")Yw, (6)

-r(\-y) 11-У 2 у1

Оптимальная стратегия потребления состоит в потреблении меняющейся со временем части капитала в соответствии с (6). Доказано, что когда ег -1, отношение потребление/капитал стремится к единице при t Ч> Т, в то время как

при = 0 limЧ= оо. 2 нг(Г

Оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени. Заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени. Рассмотрим актив, входящий в оптимальный профиль с положительным весом. Если цена этого актива увеличивается больше, чем цены других активов в портфеле, то доля капитала, соответствующая этому активу, будет увеличиваться. Поэтому инвесюр дожен сократить количество единиц этого актива в своем портфеле. Следовательно, оптимальная стратегия состоит в продаже активов, цена которых растет быстрее остальных, и покупке более медленно растущих активов Чем выше коэффициент относительного неприятия риска у, тем ниже инвестирование в рисковые активы и тем выше инвестирование в безрисковый актив. Инвестиционная стратегия в рассматриваемых условиях не зависит от инвестиционного горизонта. Подставляя выражение для оптимальной стратегии из (5) в уравнение, определяющее динамику капитала инвестора, получаем

dW* = W*

r + ~J -ig(t)~' yt + -X' dz, I (7)

Поэтому оптимальный капитал эволюционирует как геометрическое броуновское движение (хотя и с зависящей от времени тенденцией). Будущие значения капитала распределены логнормально, что обеспечивает положительность капитала. Оптимальная стратегия потребления при логарифмической полезности

может быть получена вычислением предела при у Ч> 1 стратегии потребления (6) для функции полезности с постоянным относительным неприятием риска.

Многочисленными эмпирическими исследованиями установлено, что в течение последнего столетия догосрочные инвестиции в акции в большинстве случаев давали более высокую доходность, чем догосрочные облигации. На коротких инвестиционных горизонтах доминирование инвестиций в акции менее очевидно. Основываясь на этих эмпирических фактах, многие консультанты по финансовым инвестициям рекомендуют догосрочным инвесторам размещать большую часть капитала в акции и далее постепенно сдвигать портфель инвестиций от акций к облигациям по мере сокращения инвестиционного горизонта. Эта рекомендация находится в некотором противоречии с полученной выше оптимальной портфельной стратегией. Согласно проведенному анализу, оптимальные портфельные веса рисковых активов для инвесторов, характеризующихся постоянным относительным неприятием риска, не зависят от инвестиционного горизонта. Потому ли это, что предложенная модель ценообразования финансовых активов не согласуется с эмпирическими фактами, упомянутыми выше? Ответ отрицателен. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим простейший случай с единственным активом в виде акции (которая может представлять индекс акций), характеризующимся ценовой динамикой вида

Р^РХ/дИ + ак,), где г, ц и а постоянны. Это означает, что вероятность того, что инвестирование в акции превосходит по доходности безрисковые инвестиции за период Т лет, равна

где - кумулятивная функция распределения стандартной нормально распределенной случайной величины.

Рис 1 илюстрирует зависимость между вероятностью (8) и инвестиционным горизонтом. Кривые различаются предполагаемой ожидаемой нормой доходности акции, те. //, в то время как процентная ставка равна 4% и вола-тильность цены акции составляет 20% для всех кривых. Эмпирические исследования показывают, что акции на фондовых рынках США за 100 - летний период имели среднюю избыточную норму доходности 8-9% в год. Рис. 1 показывает, что догосрочные инвесторы дожны инвестировать большую долю капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы. Почему выведенная оптимальная стратегия инвестирования не отражает это свойство? Важно понимать, что оптимальное решение не может основываться только на вероятностях прибылей и потерь. Очевидно, что большинство агентов отвергнут биржевую игру с 99% вероятностью выигрыша 1 руб. и 1% вероятностью проигрыша 1 мн. руб. Величины прибылей и потерь также важны для оптимального инвестиционного решения. Табл. 1 показывает вероятность того, что инвестирование в акции обеспечит доходность, которая на 0, 25, 50, 75 и 100 процентных пунктов ниже, чем безрисковая доходность за тот же период. Значения в ряде 0% равны

Рг| ^>егтЛ Ро

100% за вычетом вероятностей (8), показанных на рис 1 За 10-летний период доходность безрискового фондового инструмента при ставке процента 4% в год равна

(е0,0410 -!)Х 100% л49,1%.

Инвестиционный горизонт, количество лет Рис. 1. Вероятность (8)

Табл. 1 показывает, что с вероятностью 22,2% инвестирование в акции за 10 -летний период даст доходность акций ниже 49,1 - 25% = 24,1%, и с вероятностью 5,7% доходность акций будет ниже 49,1% - 75% -- -25,9% За 40-летний период безрисковая доходность равна 395% Имеется 13% вероятность того, что инвестирование в акции даст доходность по крайней мерс на 100 пунктов ниже, т.е. ниже 295%. На больших периодах вероятность того, что ценные бумаги дадут доходность ниже облигаций, меньше, но вероятность экстремально плохих доходностей акций больше, чем на коротких периодах Ожидаемая избыточная доходность акций увеличивается с длиной инвестиционного горизонта, но при этом также увеличиваются дисперсия и волатильность доходности Любой инвестор, характеризующийся полезностью с неприятием риска, дожен принимать во внимание этот компромисс Для инвестора с функцией полезности, характеризующейся постоянным относительным неприятием риска, в построенной модели финансового рынка с постоянными инвестиционными возможностями указанные два эффекта компенсируют друг друга поностью, так что оптимальный портфель не зависит от инвестиционного горизонта.

Таблица 1

В таблице показаны вероятности того, что инвестирование в акции за период 1, 10 и 40 лет обеспечивает процентную доходность, которая по крайней мере на 0, 25, 50, 75 и 100 процентных пунктов ниже, чем безрисковая доходность. Данные таблицы вычислены при ц= 9%, г =4%, а =20%

Избыточная доходность облигаций 1 год 10 лет 40 лет

0% 44,05 31,8% 17,1%

25% 6,4% 22,2% 16,1%

50% 0,0% 13,1% 15,1%

75% 0,0% 5,7% 14,0%

100% 0,0% 1,3% 13,0%

В третьей главе Моделирование оптимальных портфельных стратегий с учетом промежуточного потребления в стохастических условиях определены оптимальные стратегии финансового инвестирования при наличии промежуточного потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В аналитической форме получены составляющие оптимального решения (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора.

Предполагаем, что существует стохастически эволюционирующая переменная состояния x = (xt), определяющая изменения во времени процентной ставки по безрисковому активу г, п - мерного вектора ожидаемых доходностей по рисковым активам л и стохастического процесса волатильностей а размерности пу п, т.е. r( = r(x,), nt = ju(xnt), at - cr{xnt). Изменения переменной состояния х определяют будущие ожидаемые доходности и ковариационную структуру финансового рынка. Рисковая премия по рисковому активу также определяется переменной состояния

Л(х,) = а(х,,t)~'(ji{x,,t)~ r(x,)/).

Сначала рассмотрена ситуация, когда переменная состояния является одномерной. Динамика цен рисковых активов описывается стохастическими дифференциальными уравнениями

dP, = diag(Pt \{r{x, )I + cr(x,, t)X(x, ))dt + a{x, ,t]dz:\ (9)

Предполагается, что x определяется одномерным диффузионным процессом

dxt = m(xf )dt + v(x, )T dzt + v(x, ]dz,, (10)

где z - одномерное стандартное броуновское движение, не зависящее от z. Поэтому при v(x,) Ф 0 существует экзогенное возмущение переменной состояния, которое не может быть хеджировано инвестициями на финансовом рынке. Другими словами, рынок в этом случае является непоным (в противном случае, если vixt) = 0, финансовый рынок является поным). Вектор v(x,) описывает чувствительность переменной состояния к экзогенным возмущениям рыночных цен активов, вектор cr(x, t)v(x) есть вектор мгновенных коэффициентов ковариации между доходностями по рисковым активам и переменной состояния, а матрица ста7 - вариационно-ковариационная матрица ожидаемых доходностей.

Эволюция капитала инвестора описывается уравнением

dWl=Wl^(x,)+nJa{xДi)X{xl)\it-cldt + WlKja{xnt)dzl, (11)

где с, - стратегия потребления, ал, - стратегия инвестирования. Неявная

функция полезности инвестора определяется следующим образом

j{W,x,t)= sup Ew^t le'^-Mc^s + е^{Тч)й(Щ) , (12)

)л[/,?] L

где E - оператор математического ожидания, и(с) - мгновенная функция полезности инвестора, д - субъективный дисконтный фактор.

На основе уравнения Белмана, соответствующего задаче (12), в диссертации выведено выражение, определяющее оптимальную инвестиционную стратегию

, л . (13)

Оптимальный портфель включает (кроме безрискового актива) (1) спекулятивный ("близорукий") спрос (первая составляющая выражения (13)) и (2) спрос на хеджирование (вторая составляющая выражения (13).

По мере сокращения инвестиционного горизонта неявная функция полезности приближается к конечной функции полезности й(№), не зависящей от состояния х. Следовательно, производная JWx (IV, х,/) и второй член портфельной стратегии стремятся к нулю при I -> Т. Другими словами, краткосрочные инвесторы (т.е. имеющие короткий инвестиционный горизонт) не хеджируют изменения инвестиционных возможностей. Кроме того, вторая составляющая в (13) исчезает для инвесторов с конечным инвестиционным горизонтом в двух специальных случаях:

(1) Переменная состояния не влияет на предельную полез-

ность инвестора. Как показывает анализ, проведенный в диссертации, это всегда справедливо для инвестора с логарифмической полезностью. Такой инвестор не заинтересован в хеджировании изменений переменной состояния.

(2) v(x)s 0. Переменная состояния не коррелирована с мгновенной доходностью продаваемых активов. В этом случае инвестор не способен хеджировать изменения переменной состояния.

Во всех остальных случаях переменная состояния приводит к появлению допонительного спроса инвестора в оптимальном портфеле (спроса на хеджирование) по сравнению со случаем постоянных инвестиционных возможностей.

Заметим, что структура спекулятивного спроса и спроса на хеджирование меняется со временем благодаря изменениям переменной состояния. В диссертации доказано, что абсолютное значение мгновенной корреляции между изменением инвестиционной стратегии и изменением переменной состояния максимально для инвестиционной стратегии хеджирования . Для поного финансового рынка максимальная корреляция равна единице, и спрос на хеджирование в основном повторяет динамику переменной состояния.

Рассмотрим ситуацию, когда имеется единственный рисковый актив, так что cj(xj) и v(x) суть скаляры. Спрос на хеджирование в оптимальной портфельной стратегии принимает вид

Jwx v WJww а'

Заметим, что J ww < 0 в силу вогнутости функции J. Если ист имеют одинаковый знак, то доходность по рисковому активу будет положительно коррелирована с изменениями переменной состояния. В этом случае видно, что спрос на хеджирование по активу положителен, если предельная полезность Jw возрастает с ростом х, так что JWx > 0. По сравнению с ситуацией с постоянными инвестиционными возможностями при наличии спроса на хеджирование инвестор будет размещать большую долю капитала в рисковый актив, имеющий высокую доходность в состояниях рынка с высокой предельной полезностью. Противоположная ситуация имеет место, если v и а имеют разные знаки, т.е. коррелированы отрицательно.

В диссертации предложена еще одна интерпретация оптимальной портфельной стратегии Доказано, что оптимальная портфельная стратегия тс* представляет собой единственную стратегию, минимизирующую флуктуации потребления со временем, среди всех портфельных стратегий с одинаковой с п ожидаемой доходностью.

Выше были обсуждены общие выражения для оптимальных стратегий инвестирования, выраженные через неизвестную неявную функцию полезности. Чтобы найти конкретные решения, следует подставить стратегии оптимальные стратегии в уравнение Белмана, соответствующее задаче (12), в результате чего получается дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. В диссертации рассмотрена процедура его решения для широкого класса функций полезности с постоянным относительным неприятием риска в предположении, что функции г(х), Л(х)т Л(х), m(x), v(x)TA(x), v(x)rv(x) являются аффинными и квадратичными.

Из анализа, проведенного выше, может показаться, что инвесторы дожны хеджировать все переменные, влияющие на г1, //, и сг(, но в действительности это не так. В диссертации доказано, что инвесторам, характеризующимся аддитивной по времени функцией полезности, имеет смысл хеджировать только стохастические изменения, влияющие на краткосрочную процентную ставку и на квадрат рыночных цен риска

Этот результат допускает следующую интерпретацию. Спекулятивный портфель определяется соотношением

К. =-г-г-тЧ (сГ ) Л .

/г(сг,г)Г Я,V '

Ожидаемая избыточная доходность по спекулятивному портфелю равна

)г С", -г,1)= * Х 1т(а!) Л,

Волатильность спекулятивного портфеля определяется выражением

о,а] к, = 1 -Щл,-

1т{а!) Я,

Наклон мгновенной линии рынка капитала поэтому равен ^Л^А, . (В модели с

единственным рисковым активом Л, - {/л, - г, )/сг, и д/Я,7 А, = -^Я^ = Я,). В статической постановке оптимальный портфель определяется положением линии рынка капитала, т.е. (1) безрисковой процентной ставкой г и (2) наклоном, который равен коэффициенту Шарпа для касательного портфеля. Поэтому естественно, что для инвесторов в динамической модели представляют интерес изменения только этих двух переменных.

В четвертой главе диссертации Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями при достаточно общей стохастической динамике процентных ставок и цен рисковых активов определены оптимальные стратегии инвестирования в акции (индекс акций) и облигации в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления.

Динамику краткосрочной процентной ставки описываем уравнением Орнштейна-Уленбека

^ = к(г - - сг ({ги, где г - догосрочное значение гп гД - стандартное одномерное броуновское движение, к - скорость релаксации г, к догосрочному значению. Динамика цены В1 произвольной облигации определяется стохастическим дифференциальным уравнением

йВ, = В,[(г, +Л1ав(г1,ф!и сгй(/;,/>&Д!, (14)

где Л, = (//, - г, )/сгй - рисковая премия, - ожидаемая норма доходности, <тв - волатильность цены облигации. Цена акции 5, с учетом реинвестирования дивидендов эволюционирует согласно стохастическому процессу

с15, = 5, [(г, + у/сгц )(И + + ], (15)

где р - корреляция между доходностями облигации и акции, г2( - еще одно броуновское движение, сг5 - волатильность акции, у/ - коэффициент Шарпа. В построенной модели финансовый рынок является поным с единственной переменной состояния (х1 =}]). Переменная состояния имеет аффинную тенденцию и постоянную волатильность, а вектор рисковых премий Л =(Л1,Л2)Т, где

Л2 = ()// -рЛ,)/д/Г-/?2 , также постоянен Поэтому в рассматриваемых условиях применимы результаты анализа оптимальных стратегий инвестирования и потребления, полученные в третьей главе диссертации.

Если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, получаем оптимальную инвестиционную стратегию в виде

где Ь(г) = Ч (1 - е ~кг). Как следует из выражения (16), оптимальная инвестици-к

онная политика может быть представлена в виде двух составляющих, первая из которых представляет собой спекулятивную часть портфеля (соответствующую игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей), а вторая - спрос на хеджирование, который показывает, как инвестор дожен оптимально хеджировать против изменения инвестиционных возможностей. Из (16) нетрудно видеть, что спрос на хеджирование включает только облигацию, так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента относительного неприятия риска у оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигацию - увеличивается. Можно записать доли капитала, инвестируемые в акцию и облигацию, в следующем виде

Г^л/ь 1

тгЬ(Т-0

Если облигация в портфеле представляет собой облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора, т.е. в момент Т, то ггв (г, () = с1 Ь(Т Ч с), и в этом случае хеджирующая часть портфеля заключается во вложении части капитала 1 -1/у в облигацию с нулевым купоном. Это естественный выбор инструмента хеджирования, поскольку указанная

облигация является действительно безрисковым активом для инвестора, заинтересованного только в капитале в момент Т. Инвестор, характеризующийся логарифмической полезностью при у = 1 (нейтрально относящийся к риску), не хеджирует против изменения инвестиционных возможностей. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска (у < 1) отрицательна, в то время как более осторожный инвестор (у > 1) занимает длинную позицию по облигации для хеджирования процентного риска. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска (у оо) размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в момент Т. Заметим, что если в качестве облигации используется облигация с нулевым купоном со сроком погашения Г, из (16) следует, что можно представить рисковую часть оптимальной инвестиционной стратегии в виде

п (1Г,г,0 =

<П в(1Г,г,*У

Следовательно, часть капитала, инвестируемая в банковский счет, составляет

П0(^,г,1) = 1-Пв((Г,г,1)-П^,г,() = Ц1-/г(аг(()Ул)

Заметим, что выражение в скобках в точности соответствует размещению капитала в банковский счет инвестором с логарифмической полезностью. Поная инвестиционная стратегия может быть представлена в форме

Согласно (19), инвестиционная стратегия является простой комбинацией портфеля инвестора с логарифмической полезностью и облигации с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. С ростом коэффициента относительного неприятия риска инвестора позиция, занимаемая по акциям, сокращается, в то время как позиция по облигациям растет. Следовательно, отношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растет с увеличением относительного неприятия риска инвестора.

В диссертации доказано, что если инвестор извлекает полезность только из промежуточного потребления, то можно интерпретировать хеджирование стохастической процентной ставки в момент г1 как инвестирование доли капитала 1-1/у в облигацию с непрерывным купоном

/ф) = ехр[а(л' - 0 + - 0 - - ~ 0 + - - 'Н (20)

где а(-) и А(-) - известные функции. Заметим, что для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления в течение всего периода Г], облигация с нулевым купоном со сроком погашения не является безрисковым

активом (в отличие от рассмотренного ранее случая, когда инвестор извлекает полезность только из конечного капитала). Поскольку инвестор заинтересован в платежах в любые моменты времени из промежутка [^Г], он хеджирует риск, связанный со стохастическим изменением процентной ставки, путем инвестирования в комбинацию всех облигаций с нулевыми купонами со сроками погашения в промежутке [/,Г], т.е. в облигацию с непрерывным купоном (20).

В численном примере, илюстрирующем построенную модель, используем многолетние статистические данные об инвестиционных возможностях (средних доходностях, средних квадратических отклонениях и корреляциях между доходностями) финансового рынка США. Согласно приведенным данным, средняя за последние 55 лет реальная доходность на рынке акций США составляет //5=8,7%, а среднее квадратическое отклонение сг5 = 20,2%. Средняя реальная доходность рынка облигаций с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения составляет цв =2,1% при среднем квадратическом отклонении ав = 10,0%. Средняя реальная краткосрочная процентная ставка в США составляет г = 1,0%. Корреляция между доходностями рынка акций и рынка облигаций с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения р = 0,2. Среднее число Шарпа для рынка облигаций Л, = 0,11, а среднее число Шарпа для рынка акций у/ - 0,3812. Отсюда для рисковой премии по рынку акций получаем = (у/ - )/д/1 - р2 =0,3666. Вариационно-ковариационная матрица

доходностей определяется соотношением = (тсгт. Касательный портфель, составленный из облигации и акции с рассчитанными характеристиками, имеет вид

..гч {0,1596^

ТГ^-г!) л.

так что отношение портфельных весов облигации/акции составляет приблизительно 0,19. Касательный портфель характеризуется средней доходностью 7,65% и средним квадратическим отклонением 17,37%.

Инвесторы с постоянным относительным неприятием риска, игнорирующие флуктуации краткосрочной процентной ставки, оптимально выбирают портфель рисковых активов, определяемый соотношением

л = -[1Г(етТ1Л]яш.

Этот портфель не зависит от инвестиционного горизонта. В табл. 2 показано оптимальное размещение капитала в портфель при различных значениях коэффициента относительного неприятия риска у. Данные в стобце я1311 соответствуют доли капитала, инвестируемого в касательный портфель. Это инвестирование разделяется на инвестирование в облигацию и акцию в следующих двух стобцах. Оставшаяся часть капитала инвестируется в банковский счет. По-

следние два стобца показывают мгновенную доходность и волатильность портфеля.

Таблица 2. Портфельные веса инвесторов с постоянным относительным неприятием риска, игнорирующих флуктуации краткосрочной процентной ставки

У тЩ0 *г туо Банковский счет Избыточная доходность Волатильность

0,5 4,4079 0,7034 3,71 -3,41 0,30 0,77

1 2,2039 0,3517 1,85 -1,20 0,16 0,38

2 1,1020 0,1758 0,92 -0,10 0,08 0,19

2,2 1,0000 0,1596 0,84 0,00 0,08 0,17

3 0,7346 0,1172 0,61 0,27 0,06 0,13

4 0,5510 0,0879 0,46 0,45 0,05 0,10

5 0,4408 0,0703 0,37 0,56 0,04 0,08

6 0,3673 0,0586 0,31 0,63 0,03 0,06

8 0,2755 0,0440 0,24 0,72 0,03 0,05

10 0,2204 0,0352 0,19 0,78 0,02 0,04

20 0,1102 0,0176 0,09 0,89 0,02 0,02

50 0,0441 0,0070 0,03 0,96 0,01 0,01

200 0,0110 0,0018 0,01 0,99 0,01 0,00

Далее рассмотрим оптимальные портфельные стратегии инвесторов, учитывающих стохастические изменения краткосрочной процентной ставки во времени. Предполагаем, что реальная краткосрочная процентная ставка г( описывается однофакторной моделью Орнштейна - Уленбека. Догосрочное среднее значение процентной ставки г; =1%, а волатильность принята равной ст. = 5%, что соответствует многолетним статистическим данным по финансовому рынку США. Скорость релаксации процентной ставки к своему догосрочному среднему значению принята к = 0,49, так что волатильность облигации с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет, соответствующая рассматриваемой модели, равна 10%.

Сначала рассмотрим оптимальные портфельные стратегии инвесторов, извлекающих полезность только из конечного капитала. Их оптимальные портфели определяются выражениями (18) и (19). В табл. 3 показаны оптимальные портфели для инвесторов с постоянным относительным неприятием риска при различных комбинациях степени относительного неприятия риска у и инвестиционного горизонта. Данные в стобце спрос на хеджирование вычислены

Таблица 3. Портфельные веса инвесторов с постоянным относительным неприятием риска, извлекающих полезность только из конечного капитала

Инвестиционный горизонт У Спекулятивный портфель Спрос на хеджирование в / 7CS Банковский счет м а

(о (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Г= i 05 4 4079 -0 3941 0 3093 3 7045 0 08 -3 0138 0 2986 0 7551

1 2 2039 00000 0 3517 18522 0 19 -1 2039 0 1565 0 3827

2 1 1020 01970 0 3729 0 9261 0 40 -0 2990 0 0854 0.1979

5 0 4408 0 3153 0 3856 0 3704 104 0.2439 0 0428 0 0908

10 0 2204 0 3547 0 3899 0 1852 2 11 0 4249 0 0286 0 0592

20 0 1102 0 3744 0 3920 0 0926 4 23 05154 0 0214 0 0467

7=5 05 4 4079 -0 9229 -0 2195 3 7045 -0 06 -2 4850 0 2928 0 7442

1 2 2039 0 0000 03517 1 8522 0 19 -1 2039 0 1565 0 3827

2 1 1020 04615 0 6373 0 9261 069 -0 5634 0 0883 0 2094

5 0 4408 0 7383 0 8087 0 3704 2 18 -0 1791 0 0474 0 1207

10 0 2204 0 8306 0 8658 0 1852 4 67 -0 0510 0 0338 0 1010

20 0 1102 0 8768 0 8943 0 0926 9 66 0 0130 0 0270 0 0950

7 = ю 05 4 4079 -1 0000 -0 2966 3 7045 -0 08 -2 4079 0 2920 0 7429

1 2 2039 0 0000 0 3517 1 8522 0 19 -1 2039 0 1565 0 3827

2 1 1020 0 5000 0 6758 0 9261 0 73 -0 6020 0 0887 02112

5 0 4408 0 8000 0 8703 0 3704 2 35 -0 2408 0 0481 0 1256

10 0 2204 0 9000 0 9352 0 1852 5 05 -0 1204 0 0345 0 1074

20 0 1102 0 9500 0 9676 0 0926 10 45 -0 0602 0 0278 0 1022

Т =зо 05 4 4079 -1 0070 -0 3036 3 7045 -0 08 -2 4009 0 2919 0 7428

1 2 2039 0 0000 0 3517 1 8522 0 19 -1 2039 0 1565 0 3827

2 1 1020 0 5035 06794 0 926! 0 73 -0 6055 00888 02114

5 0 4408 0 8056 0 8760 0 3704 2 37 -0 2464 0 0482 0 1261

10 0 2204 0 9063 0 9415 0 1852 5 08 -0 1267 0 0346 0 1080

20 0 1102 0 9567 0 9743 0 0926 10 52 -0 0669 0 0278 0 1028

ны по формуле -Ч>(10)Ч к0Щ?351 определяет спрос на хеджирование на

облигацию с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет. В то время как вес касательного портфеля и вес акций не зависит от инвестиционного горизонта, это не имеет места для веса портфеля хеджирования и, следовательно, для поного портфельного веса облигации и банковского счета. Отношение весов облигации и акции в оптимальном портфеле показано в стобце лоблигация/акция. Видно, что отношение лоблигация/акция увеличивается существенно с ростом относительного неприятия риска инвесторов и, для инвесторов с у > 1, с ростом инвестиционного горизонта. Инвестор с инвестиционным горизонтом Т хеджирует риск, связанный с изменениями процентной ставки, инвестируя в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения, равным инвестиционному горизонту. Эта облигация моделируется портфелем, состоящим

из позиции единиц облигации с нулевым купоном с 10-летним сроком

погашения, и банковского счета. Поскольку функция Ь возрастает по Т, спрос на хеджирование на облигацию с нулевым купоном с 10-летним сроком погашения растет с ростом инвестиционного горизонта. Важно отметить, что портфельные веса по облигации, и следовательно, отношение портфельных весов облигаций и акций зависит от срока погашения (и расписания платежей) по облигации, используемой инвестором. В частности, рекомендация конкретного веса облигации в портфеле или отношения портфельных весов облигаций и акций дожна сопровождаться спецификацией облигации.

Далее рассмотрим инвесторов, извлекающих полезность только из промежуточного потребления. В этом случае облигация в хеджирующей позиции (18) заменяется облигацией с непрерывным купоном (20). Табл. 4 показывает оптимальные портфели для инвесторов с одногодичным и 30-летним инвестиционными горизонтами. Видно, что общая картина остается той же, что и для инвесторов, извлекающих полезность только из конечного капитала, однако в рассматриваемом случае для данного инвестиционного горизонта спрос на хеджирование на облигацию и, следовательно, отношение весов облигация/акция, меньше, поскольку оптимальная облигация для хеджирования имеет дюрацию, меньшую инвестиционного горизонта.

Табл. 5 показывает оптимальные портфели для инвесторов с постоянным относительным неприятием риска, равным 2, но имеющим различные инвестиционные горизонты. Из табл. 5 можно проследить влияние инвестиционного горизонта на оптимальные размещения капитала в облигацию и на отношение весов облигация/акция. По сравнению с экстремально краткосрочными инвесторами догосрочные инвесторы имеют в оптимальном портфеле такой же вес акций, однако увеличивают доли капитала, размещаемые в облигации, за счет размещения в банковский счет. Если сравнить мгновенный компромисс риск/доходность краткосрочных и догосрочных инвесторов, то видно, что догосрочные инвесторы выбирают более рискованные портфели, т.е. принимают на себя больший краткосрочный риск.

Таблица 4. Портфельные веса инвесторов с постоянным относительным неприятием риска, извлекающих полезность только из промежуточного потребления (нумерация стобцов соответствует табл. 3)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Т=| 05 4 4079 -0 2253 0 4780 3 7045 0 1290 -3 1825 0 3005 0 7593

1 2 2039 0 0000 0 3517 1 8522 0 1899 -1 2039 0 1565 0 3827

2 1 1020 0 1114 0 2872 0 9261 03101 -0 2134 0 0845 0 1949

5 0 4408 0 1787 0 2490 0 3704 0 6722 0 3805 0 0413 0 0835

10 0 2204 0 2013 0 2365 0 1852 1 2766 0 5783 0 0269 0 0481

20 0 1102 0 2126 0 2302 0 0926 2 4856 0 6772 0 0197 0 0324

т = зо 05 4 4079 -0 9624 -0 2605 3 7045 -0 0699 -2 4440 0 2924 0 7435

1 2 2039 0 0000 0 3517 1 8522 0 1899 -1 2039 0 1565 0 3827

2 1 1020 0 4425 0 6187 0 9261 0 6677 -0.5448 0 0881 0 2085

5 0 4408 0 7241 0 7957 0 3704 2 1445 -0 1662 0 0473 0 1196

10 0 2204 0 8228 0 8597 0 1852 4 6319 -0 0449 0 0337 0 1004

20 0 1102 0 8731 0 8927 0 0926 96176 0 0147 0 0270 0 0948

Таблица 5. Портфельные веса инвесторов с постоянным относительным неприятием риска у Ч 2, извлекающих полезность из конечного капитала или из промежуточного потребления (нумерация стобцов соответствует табл. 3)

(1) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Т=0 1 1020 0 0 1758 0 9261 0 19 -0 1020 0 0832 0 1914

Г = 1, полезность из конечного капттала 1 1020 0 1970 0 3729 0 9261 0 40 -0 2990 0 0854 0 1979

Г =5, полезность из конечного каптала 1 1020 0 4615 0 6373 0 9261 0 69 -0 5634 0 0883 0 2094

7=10, полезность из конечного каптала 1 1020 0 5000 0 6758 0 9261 0 73 -0 6020 0 0887 02112

Т =30, полезность из конечного кагттала 1 1020 0 5035 0 6794 0 9261 0 73 -0 6055 0 0888 02114

7=1, полезность из промежуточного потребления 1 1020 0 1114 0 2872 0 9261 03101 -0 2134 0 0845 0 1949

Г =30, полезность 1 1020 0 4425 0 6187 0 9261 0 6677 -0 5448 0 0881 0 2085

из промежуточного потребления

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ботеико Л.И. Моделирование оптимального размещения рисковых активов при постоянных инвестиционных возможностях. - Кисловодск: Издательский центр Кисловодского института экономики и права- 2003. - 0,5 п.л.

2 Ботенко Л.И., Наталуха И.Г. Оптимальное решение задачи инвестирование-потребление при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска // Материалы Всероссийского симпозиума Экономическая психология: проблемы и перспективы. - Кисловодск, 2004. - 0,35 п.л. (в том числе автора 0,2 п.л.).

3. Ботенко Л.И. Анализ модели поного финансового рынка с непрерывным временем методами стохастического динамического программирования // Современные научные исследования. - 2004, № 3. - 0,4 пл.

4. Ботенко Л.И., Наталуха И.Г. Оптимальное хеджирование процентного риска // Сборник научных трудов VI Всероссийского симпозиума Математическое моделирование и компьютерные технологии. Секция 2 Математическое моделирование в экономике и других общественных науках. -Кисловодск, 2004. - 0,3 п.л. (в том числе автора 0,15 п.л.).

5. Ботенко Л.И., Наталуха И.Г. Моделирование оптимальных портфельных стратегий с учетом промежуточного потребления в стохастических условиях // Современные научные исследования. - 2005, № 1. - 0,9 п.л. (в том числе автора 0,45 п.л.).

6. Ботенко Л.И. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления при многомерной переменной состояния // Материалы Международного симпозиума Математическое моделирование и компьютерные технологии. -Кисловодск, 2005. - 0,3 п.л.

Подписано в печать 26 апреля 2006 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская №1 Гарнитура Тайме. Уел печ. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 06003 Издательский центр Кисловодского института экономики и права Лицензия на полиграфическую деятельность ВРО 100558 Лицензия на издательскую деятельность ВРО 100559 357700, Кисловодск, ул Розы Люксембург, 42

ООО б ft

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Ботенко, Лилия Ивановна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ ФИНАНСОВЫМИ АКТИВАМИ.

1.1. Виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности.

1.2. Формирование портфеля финансовых инвестиций

1.3. Оперативное управление портфелем финансовых инвестиций. Управление рисками финансового инвестирования капитала.

1.4. Функции полезности и измерение степени неприятия риска

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ КАПИТАЛА В РИСКОВЫЕ АКТИВЫ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ

2.1. Анализ модели поного финансового рынка с непрерывным временем методами стохастического динамического программирования

2.2. Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска

2.3. Сравнение теоретических предсказаний построенной модели с эмпирическими данными

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ С УЧЕТОМ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ.

3.1. Экономико-математическая модель инвестирования и потребления. Свойства оптимальных стратегий.

3.2. Оптимальное решение задачи инвестирование-потребление при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска.

3.3. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления при многомерной переменной состояния.

3.4. Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления для аффинных моделей краткосрочной процентной ставки и рисковой премии.

ГЛАВА 4. СТРАТЕГИИ ОПТИМАЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ ПРОЦЕНТНОГО РИСКА ОБЛИГАЦИЯМИ.

4.1. Моделирования оптимального размещения капитала в акции и облигациями с учетом реальной стохастической динамики краткосрочных процентных ставок.

4.2. Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления и калибровка модели к статистическим данным.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование оптимальных стратегий финансового инвестирования в стохастических условиях"

Актуальность темы исследования. Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Эти и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и финансовой эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гитман Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Колас Б., Коб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Маркович Г., Маршал Д., Майерс С., Мертон Р., Миддтон Д., Милер М., Модильяни Ф., Моргенштерн О., Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка И.А., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева H.H., Хоминич И.П.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарин Г.П., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Касимов Ю.Ф., Кутуков В.Б., Перепелица В.А., Попова Е.В., Четыркин Е.М., Аким Э., Браун С., Бригхэм Ю., Гапенски Л., Джордан Н., Карберг К., Кочович Е., Паррамоу К., Уотшем ТД Шим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко B.C., Комогоровым А.Н., Макаровым В.Л., Марковым A.A., Мельниковым A.B., Новиковым A.A., Павловым И.В., Прохоровым Ю.В., Ширяевым А.Н. Из иностранных ученых отметим Винера Н., Ито К., Као X., Карни Е., Маковского Л., Мандельброта Б., Маркуса С., Муна Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.

Сформировавшись буквально в последние два десятилетия, финансовая эконометрика является в настоящее время одной из наиболее бурно развивающихся областей эконометрики. Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометрические методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Болерслева Т., Дибода Ф., Ингла Р., Кэмпбела Дж., Тейлора С., Хансена С., Макарова В., Айвазяна С., Эфрона Б.

В то же время, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. В большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэдаззи П., Висейра Л., Ким Т., Кэмпбел Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования является оптимальное размещение капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка с учетом промежуточного потребления. Объектом исследования является инвестиционный портфель финансового инвестора.