Модели оптимального распределения капитала страховой компании тема диссертации по экономике, полный текст автореферата
Автореферат
| Ученаd>кандидат экономических наук | |
| Автор | Журов, Александр Николаевич |
| Место защиты | Москва |
| Год | 2012 |
| Шифр ВАК РФ | 08.00.13 |
Диссертация
Автореферат диссертации по теме "Модели оптимального распределения капитала страховой компании"
На правах рукописи
Журов Александр Николаевич
Модели оптимального распределения капитала страховой компании
08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук
Москва 2012
1 5 НО Я 2012
005054779
005054779
Работа выпонена на кафедре "Прикладная математика" ФГОБУВПО
"Финансовый университет при правительстве Российской Федерации"
доктор физико-математических наук, профессор Шаповал Александр Борисович
доктор физико-математических наук, профессор Хохлов Юрий Степанович, ФГБОУ ВПО Российский университет дружбы народов, заведующий кафедрой "Теория вероятностей и математическая статистика"
доктор экономических наук, доцент Коломак Евгения Анатольевна, ФГБУН Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН, заведующая сектором межрегиональных народнохозяйственных проблем
ФГБОУ ВПО Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Защита состоится л21 ноября 2012г. в 10-00 часов на заседании
диссертационного совета Д 505.001.03 на базе ФГОБУВПО Финансовый
университет при Правительстве Российской Федерации по адресу: Ленинградский проспект, д.55, ауд. 213, г. Москва, 125993.
С диссертацией можно ознакомиться в диссертационном зале Библиотечно-информационного комплекса ФГОБУВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации по адресу: Ленинградский проспект, д.49, комн. 203, г. Москва, 125993.
Автореферат разослан л19 октября 2012 г. Объявление о защите диссертации и автореферат диссертации л19 октября 2012 г. размещены на официальном сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации по адресу Ссыка на домен более не работает/www.fa.ru.
Ученый секретарь совета Д 505.001.03, 4Ч /-у-*- О.Ю.Городецкая к.э.н., доцент
Научный руководитель: Официальные оппоненты
Ведущая организация
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. Решающим условием успешного функционирования страховых организаций является постоянное поддержание их финансовой устойчивости, что предполагает более жесткий контроль за изменением собственного капитала и разработку формализованных подходов к управлению капиталом.
Финансовая устойчивость страховой компании позволяет при наступлении страхового случая в установленные сроки и в поном объёме выплатить возмещение клиенту. Для обеспечения необходимой финансовой устойчивости страховая организация заинтересована в получении максимальной прибыли, которая является основным источником роста капитала. С этой целью временно свободные средства - часть страховых резервов и собственного капитала Ч компания инвестирует (с определенными ограничениями), как в условно безрисковые, так и рисковые финапсовые активы. Поэтому страховые организации становятся активными участниками рынка ценных бумаг.
Инвестирование капитала на финансовых рынках представляет один из самых рискованных видов деятельности страховой организации. Если условно безрисковые активы (государственные ценные бумаги, банковские счета) характеризуются минимальным риском, то рисковые активы (акции, корпоративные облигации, производные ценные бумаги) сосредотачивают в себе опасность значительного колебания их стоимости, что может привести к существенным потерям. В этих условиях актуальным является выбор оптимальной инвестиционной стратегии, удовлетворяющей, с одной сторопы, целям страховой компании, с другой стороны - ограничениям, накладываемым контролирующими органами.
Страховая компания заинтересована в мотивации своих сотрудников к более эффективному труду, в обновлении основных средств, проведении рекламных акций и других расходах, прямо не связанных со страховой деятельностью. Для этого часть средств выделяется на потребление, примером которого может быть выплата бонусов сотрудникам компании. На эти цели
используется часть прибыли, а руководство компании дожно решить задачу оптимального распределения прибыли между инвестированием в ценные бумаги и расходами на текущую деятельность.
Поскольку страховая компания использует часть средств страхователей для инвестирования в рисковые активы, ее инвестиционная стратегия дожна удовлетворять ограничениям по списку ценных бумаг, в которые разрешено инвестирование, и максимальной доли страховых резервов (прибылей и убытков) инвестируемых в определенный вид активов. Эти ограничения периодически меняются и имеют главной целью предупредить страховую компанию о неблагоприятной конъюнктуре на финансовом рынке, обеспечив тем самым её платежеспособность и финансовую устойчивость.
Оптимизация инвестиционной деятельности позволяет согласовать интересы участников страхового процесса Владельцы и управляющие страховой компании ставят перед собой цель улучшения финансовых показателей деятельности организации. Прежде всего, это связано с максимизацией прибыли, что (при некоторых условиях) позволяет обеспечить рост собственного капитала страховой компании. Страхователи (а вместе с ними контролирующие органы) заинтересованы в платежеспособности и устойчивом функционировании страховой компании, что математически означает стремление минимизировать вероятность разорения на заданном интервале времени.
Принимая на себя риски, страховая компания имеет дело с неопределенностью, выраженной в количестве и размере возмещений по страховым случаям. Одной из задач, решаемых страховой компанией, является прогноз страховых выплат как в целом по компании, так и отдельно по страховым группам. Основным показателем, прогноз которого необходимо предоставлять, является коэффициент актуарной убыточности, характеризующий суммарные убытки, нормированные на заработанную премию. Типичным допущением при расчете убыточности в целом по компании является комонотонность (максимальная положительная зависимость) актуарных убыточностей по различным группам страхования. В диссертации рассматриваются случаи, при
которых зависимость между случайными величинами задается элиптическими и архимедовыми копула-функциями. Конула-функции позволяют учесть как линейные, так и нелинейные зависимости актуарных убыточностей и построить адекватную модель диверсификации страховых рисков. Аппарат копула-функций в последнее время становится все более востребовапным, поэтому задачи, рассматриваемые в диссертации, являются актуальными.
Степень разработанности темы исследования. Модели выбора оптимальных стратегий страховых компаний исследуются специалистами по финансовой и актуарной математике, стохастическому оптимальному управлению. В основном, указанной задачей занимались зарубежные специалисты. Среди отечественных ученых следует выделить работы Ширяева А., исследовавшего вероятностные характеристики случайных процессов, возникающих в страховании. Теоретические основы исследуемой задачи описаны в работах Белмана Р., Оксендаля Б., Танкова П.
Классические модели выбора оптимальных инвестиционных стратегий страховых компаний, основывающиеся на модели Крамера-Лундберга, рассматривались в трудах Гербера X., Бульмана X., Брауна С. В данных работах финансовый рынок представлен только рисковыми активами. Задача выбора оптимальных инвестиционных стратегий развита в работах Хиппа С., Плюма М., в которых наряду с рисковыми, был введен безрисковый актив. Янг X. и Занг Л., опираясь на результаты Брауна С., получили аналитическое выражение оптимальной инвестиционной стратегии в задаче максимизации ожидаемой полезности капитала страховой компании. В перечисленных работах задача решается методами оптимального управления в стохастических условиях, управляющим параметром является капитал, инвестируемый в рисковый актив.
Существенным развитием задачи выбора оптимальных стратегий стало введение нового управляющего параметра - расходов страховой компапии. Асмуссен С., Таксар М., Пауссн Дж. предложили варьировать дивидендную политику страховой компапии. Пример других управляемых расходов Ч потребление - было рассмотрено в классической работе Мертона Р. для
произвольного инвестора. Потребление страховой компании как управляющего параметра было рассмотрено в статье Стамоса М. За последние годы было достигнуто существенное продвижение в задаче максимизации ожидаемой полезности капитала и потока потребления. При достаточно естественных ограничениях удалось получить явный вид оптимальной инвестиционной стратегии.
Существенную трудность в решении указанной задачи представляет уравнение Якоби-Гамильтона-Белмана, в общем случае нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, получение (единственного) решения которого эквивалентно решению задачи управления. Аналитическое решение этого уравнения для широкого класса задач пока неизвестно. Один из технических приемов, позволяющих, с одной стороны, обойти указанную трудность, а с другой Ч получить информацию об оптимальной стратегии потребления, приведен в статье Сенневад К., Ваде К. Ученые использовали уравнение Гамильтона-Якоби-Белмана и формулу Ито для вывода дифференциального уравнения, которому удовлетворяет управляющий параметр.
В работах Оксендаля Б. рассматривается обобщенная задача Мертона, в которой инвестор, вкладывая капитал в рисковый и безрисковый активы, заинтересован в получении максимального дохода в определенный момент времени в будущем. Обобщение модели Мертона заключается в рассмотрении динамики цены рискового актива, содержащего скачкообразную компоненту.
Модели диверсификации рисков страховых компаний, создаваемые с использованием аппарата копула-функций достаточно редко встречаются в отечественной и зарубежной научной литературе.
Теоретические аспекты копула-функций описаны у Шкляра А., Фреше М., Франка М. Обзор математических основ копула-функций и комонотонных (максимальных положительных) зависимостей представлен в монографиях Несен Р., Вандуффел С. Теоретические аспекты моделирования случайных векторов с нелинейными взаимосвязями на примере архимедовых копул приведен в работах Вальдса Е, Шериса М., Ву Ф. Поиск линейных зависимостей
убыточностей по различным группам страхованЩ Танг А, Вальдс Е. В работах указанных исследователей построена модель диверсификации страховых рисков. В работах Батеуп Р. и Рид И., Колингс С. и Уайт Г. обсуждается возможность применения результатов моделирования к страховой сфере. Нелинейные взаимосвязи между убыточностями по различным видам страхования рассмотрены в работе Иссакс Д., в которой используется копула Гумбеля -частный случай архимедовых копула-функций.
Таким образом, по данной проблематике в научной литературе существует ряд работ. Тем не менее, тематика диссертационпой работы содержит несколько нерешенных задач. Во-первых, до настоящего момента времени не получена динамика оптимального потребления страховой компании даже в частных случаях. Во-вторых, в задаче диверсификации страховых рисков исследователями не рассматривались одновременно линейные и нелинейные степени зависимости коэффициентов актуарных убыточностей по различным видам страхования. В диссертации, в частности, получены результаты, позволяющие существенно продвинуться в решении указанных задач.
Цели и задачи исследования. Целью диссертации является построение оптимальных стратегий инвестирования, потребления и диверсификации рисков страховых компаний в условиях стохастической неопределенности. Поставленную цель позволяет достичь решения следующих задач:
1. Получить динамику оптимального потребления для различных функций полезности.
2. Получить точную формулу оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, в обобщенной задаче Мертона.
3. Проанализировать влияние ограничений, накладываемых контролирующими органами на формировшше инвестиционных портфелей страховых компаний.
4. Сравнить согласованность критериев различных групп лиц - владельцев страховой компании и страхователей. Целью первых является максимизация ожидаемого капитала в определенный момепт времени, вторых Ч мипимизация вероятности разорения.
5. Построить модель, учитывающую взаимосвязи между убыточпостями по различным видам страхования и разработать методиху оценки финансового результата при объединении многопродуктовой с монопродуктовой страховой компанией с учетом: 1) маргинальных функций распределений и 2) диверсификации убыгочностей по различным видам страхования. Для осуществления указанной задачи предприняты следующие этапы: о Статистический анализ коэффициентов актуарных убыгочностей по различным линиям бизнеса с целью определения параметров зависимости указанных показателей, о Расчет показателя Value-at-Risk - минимальной величины, которая не превысит с заданной вероятностью убыточность как по страховой компании (рынку) в целом и переход к убыточностям по различным линиям страхования, о Построение системы критериев, на основе которых принимается решение о присоединении новой страховой группы. Показывается взаимосвязь критериев и рассчитывается финансовый результат при различных сценариях. Объектом исследования является страховая компания.
Предметом исследования являются стратегии распределения капитала страховой компании.
Теоретико-методологической основой диссертации являются труды по стохастическому оптимальному управлению, теории случайных процессов, математической статистики российских и зарубежных ученых. Среди используемых методов математической статистики основными являются проверка гипотез о согласии вероятностных распределений признаков и аппарат ко пула-функций.
Анализ статистических данных был осуществлен с помощью программ Matlab R2007a, MS Excel 2002, R project, Easy Fit 5.5, StatAssist 5.5. Информационная база диссертации. Единственным подходящим источником данных является статистика убыгочностей по различным группам страхования Австралийского страхового рынка Указанная статистика была взята из
информационных ресурсов организаций APRA [4vww.apra.com] и из статей, посвященных анализу зависимостей актуарных убыточностей. Область исследования. Содержание исследования поностью соответствует Паспорту специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики (экономические науки).
Научная новизна диссертации заключается в построении совокупностей моделей, направленных на получение оптимальных стратегий инвестирования, потребления страховой компании и диверсификации страховых рисков. Основные результаты, полученные в рамках диссертации и выносимые на защиту:
1. Найдена динамика оптимального потребления в модели распределения капитала страховой компании, инвестирующей свои средства в финансовый рынок. Полученный результат для степенной функции полезности потребления распространен на случай обобщенной функции полезности потребления.
2. Доказано существование и получена монотонность по параметрам модели оптимального управления в обобщенной модели Мертона без потребления для степенной и логарифмической функции полезности. В случае логарифмической функции полезности получена точная формула оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив.
3. Установлено с помощью численного моделирования, что согласованность целей владельцев страховой компании и страхователей существенно зависит от степени относительного неприятия риска. При высоком уровне относительного неприятия риска указанные цели согласованны, при низком уровне относительного неприятия риска согласованность целей нарушается.
4. Построена модель диверсификации рисков страховой компании на реальных даиных. Частные распределения и часть параметров зависимости между актуарными убыточностями оценивались по выборке, остальные параметры были поставлены экспертно.
5. Продемонстрирована зависимость двух способов оценки финансового результата от объединения страховых компаний, учитывающих латентные стохастические взаимосвязи убыточностей по различным страховым группам.
Первым критерием является величина допонительного (высвобождаемого) капитала в результате объединения компаний, вторым Ч изменение прибыли многопродуктовой страховой компании.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическую значимость исследования можно сформулировать в следующем виде:
1. Получена динамика оптимального потребления страховой компании для произвольных функций полезности потребления, удовлетворяющих естественным ограничениям.
2. Получена аналитическая формула оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив в обобщешюй модели Мертона.
3. Построена модель диверсификации страховых рисков, учитывающая латентные зависимости актуарных убыточпостей по различным страховым группам на реальных статистических данных.
Практическая значимость работы заключается в следующем:
1. Полученное уравнение динамики оптимального потребления может быть использовано страховыми компаниями при формировании потока допонительных расходов.
2. Доказательство согласованности целей владельцев страховой компании и страхователей позволяет по-новому оценить роль контролирующих органов. Результаты числешюго моделирования могут быть использованы при расчете верхних границ доли капитала, инвестируемого в рисковые активы.
3. Использование нового подхода принятия решения об открытии новой страховой линии, учитывающего зависимости убыточпостей по различным группам страхования позволит более точно оценить финансовый результат новой компании.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертации прошли апробацию в экспертном сообществе в рамках следующих международных и Всероссийских конференциях и круглых столах: Первый Российский Экономический Конгресс. (Москва, МГУ, ИЭ РАН, 2009 г.); Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (г. Дубна,
МГУ, 2010 г.); Всероссийская молодежная конференция "Экономический рост: Математическое моделирование". (Москва, РЭУ им. Г.В. Плеханова, 2011 г.); Конференция лауреатов и стипендиатов 2011 г. Международного научного фонда экономических исследований (МНФЭИ) академика Н.П. Федоренко (Москва, ЦЭМИ РАН, 2012 г.); Всероссийская конференция "Прикладная теория вероятностей и теоретическая информатика" (г. Москва, РУДН, ИЛИ РАН, 2012г.).
Диссертация связана с исследованиями, проведенными в Финансовом университете в рамках комплексной темы: Пути развития финансово-экономического сектора России по кафедральной подтеме Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов.
Материалы диссертации используются в практической деятельности Финансово-экономического отдела ЗАО Капитал Перестрахование, в частности используется методика оценки совокупного риска перестраховочпой компании, учитывающая латентные линейные и нелинейные зависимости между актуарными убыточностями по различным линиям страхования. По материалам исследования внедрена модель принятия решения об открытии новой страховой группы, основанная на статистических закономерностях в страховой сфере. Указанная модель позволяет принимать научно обоснованные решения об открытии новой группы страхования.
Выводы и основные результаты диссертации Журова А.Н. используются в практической работе Финансово-экономического отдела и способствуют более точному расчету финансового результата перестраховочной компании.
Материалы диссертации используются кафедрой Прикладная математика Финансового университета в преподавании учебных дисциплин Математические методы финансового анализа и Актуарная математика)).
Внедрите результатов подтверждено соответствующими документами.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей общим объемом 3,8п.л. (в т.ч. авторский объем 3,58 п.л.). Все статьи опубликованы в журналах, определенных ВАК Минобрнауки России.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 56 источников. Исследование приведено на 110 страницах, илюстрировано 11 таблицами и 10 рисунками.
Во введении приводится краткое описание решаемой задачи, обзор результатов исследователей указанной сферы.
Глава 1 посвящена полученным аналитическим результатам, относящимся к оптимальным стратегиям потребления и инвестирования. Здесь обсуждаются математические методы теории оптимального управления в стохастических условиях, элементы стохастического анализа.
В главе 2 сравниваются оптимальные стратегии страховых компаний в моделях с различными целевыми функционалами, отвечающими интересам двух групп: страхователей и владельцев компаний.
В главе 3 построена модель диверсификации страховых рисков, учитывающая (линейные и нелинейные) зависимости актуарпых убыточностей по различным видам страхования. Показана взаимосвязь критериев, на основе которых принимается решение об объединении одно продуктовой и многопродуктовой страховой компании.
В заключении обсуждаются полученные результаты и дальнейшее развитие исследования.
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
2.1 Получено дифференциальное уравнепие динамики оптимального потребления страховой компании в случае степенной функции полезности потребления.
Рассмотрена модель функционирования страховой компании, инвестирующей поностью свой капитал на финансовый рынок и расходующей часть средств на потребление.
В диссертации рассматривается (В, 5)-рынок, т.е. финансовый рынок с одним рисковым и бсзрисковым активом. Предполагается, что цена безрискового актива В, изменяется как банковский счет: В, =г0В,Л, а цена рискового актива Р, удовлетворяет геометрическому броуновскому движению: с1р! = Р,(цс11 + <7(317/), где г0 -доходность безрискового актива; //>г0-доходноеть рискового актива; <т Ч волатилыюсть цены рискового актива; IV, -винеровский процесс. Размер возмещения по одному страховому событию задается неотрицательной непрерывной случайной величиной Ь\ количество страховых случаев, произошедших за промежуток времени [0,?], моделируется пуассоновским процессом {N,^>0} с постоянной интенсивностью Я. Таким
образом, суммарные выплаты 51, = ^ по .V, страховым случаям задаются
сложным пуассоновским процессом. Величина премии р предполагается постоянной в модели и рассчитывается по следующей формуле: р = (1 + 0)АЕ(Ь), где в > 0- рисковая надбавка.
Под потреблением с, > 0 страховой компании подразумеваются допонительные расходы, не связанные с выплатами возмещений по страховым случаям. Типичный пример потребления - выплата бонусов сотрудникам страховой компании. Управляющими параметрами являются и, - доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, и с1 - величина текущего потребления. При сделагпшх допущениях капитал X, страховой компании удовлетворяет следующему уравнению:
ах, = и,Х, + (1 - и,)X, ^ + рек - - с,. (1)
Страховая компания оптимизирует будущее значение капитала и текущее
потребление по переменным и,,с, в соответствии с целевым функционалом:
где р>0-ставка дисконтирования, Г!=тт(г,Г), где Г-горизонт планирования, г = тт(Г, X, < 0) -момент разорения страховой компании,
/1(с)=^^,0<у<1, (3)
/2 С*)- функции полезности потребления и капитала соответственно, удовлетворяющие ограничениям /}' > 0, /"< 0. Оптимальная инвестиционная стратегия состоит в выборе значе1шй и] и с*, максимизирующих целевой функционал (2).
Поставленная задача отпосится к классу задач оптимального управления в стохастических условиях. Для решения подобных задач, как и принято, используется функция Белмана, которая в данной модели имеет вид:
V(t,x) = sup Е
(с, )ds + e~p^-,)f2 (Xh )\Х, = x
Функция V(t,x) обозначает максимальное значение целевого функционала, который достижим с начальным капиталом х в момент времени t.
Классическая теория оптимального управления в стохастических условиях утверждает, что решение задачи оптимального управления эквивалентно решению уравнения Гамильтона-Якоби-Белмана (HJB) - в общем случае нелинейного дифференциального уравнения с частными производными. В рассматриваемом случае уравнение HJB имеет вид:
pV = V, +sup(Oi-r0)xK(FI + ^-ff2x2ujvxx |+sup(/i(c/)-c1Kx)+ ...
ut \ L ) ctza (5)
+ r0xVx + pVx + my(t, x-L)~V(t, x)).
В классической модели Мертона (без страхования) в случае бесконечного
горизонта Т времени оптимальная доля ut капитала, инвестируемого в рисковыи
актив, задается формулой: и = HЧJs.) в то время как точная формула
оптимального потребления с* до сих пор не найдена. Основная трудность
заключается в том, что для получения аналитической формулы оптимального управления с,, необходимо (в отличие от и*)решать уравнение ШВ.
При достаточно общих условиях, накладываемых на функцию Белмана х), получено уравнение динамики оптимального потребления с*:
de* = Ч У
го - Р + Ц^Ч2- I + А(с' ЕЬ<с*^<*V)
+ ^Ч^-c*dWt + (c*(t,x,_-dSl)-c*(t,xl_))dqn ay
где dq, = 1, если в полуинтервале (О, Г] произошел хотя бы один скачок и dq, = О в противном случае. Результат (6) получен с использованием формулы Ито и уравнения Гамильтона-Якоби-Белмана для процессов со сносом, диффузией и скачками и свойств стохастического интеграла Ито.
2.2 Получено дифференциальное уравнение динамики оптимального потпеблепия для произвольной функции полезности
Рассмотрена модель, эквивалентная задаче, поставленной п. 2.1, в которой /l(c) задается произвольной функцией, удовлетворяющей естественным ограничениям /{(с) > 0, /Дс) < 0. С помощью формулы Ито для процессов со сносом, диффузией и скачками показано, что динамика оптимального потребления задается формулой:
de] ffi + {с (t,Х,_ -dS,)-с {t,Х,_))dq,, (7)
где dqt - случайная величина, принимающая значение 0, если за время л не было ни одного скачка, и 1 в противном случае. Величина df задается уравнением:
df = ((Р - г0 )/' " Щ/\с' (t, X, - L)) - /'(с* )))dt -(И~Го)Г dWt.
Уравнение (7) является обобщением результата, полученного в п 2.1, на случай произвольной функции полезности, удовлетворяющей естественным ограничениям.
2.3 Получена аналитическая Формула оптимальной инвестиционной стратегии ппи логарифмической функции полезности п доказано существование оптимального управления при степенной функции полезности в обобщенной задаче Мертопа
Указанный результат не относится явным образом к выбору оптимальных стратегий страховых компаний, но показывает, как скачкообразные процессы, имеющие нестраховую природу, влияют на оптимальное инвестиционное управление. Статистический анализ изменения цен финансовых активов показывает, что существуют интервалы времени, в которые котировки изменяются достаточно резко. Отрицательная асимметрия и тяжелые хвосты являются статистическим доказательством наличия значительного числа резких отрицательных изменений доходностей финансовых инструментов. Тем не менее, в научной литературе существует недостаточно аналитических моделей, учитывающих скачки в доходностях финансовых инструментов.
В диссертационном исследовании рассмотрена обобщенная задача Мертона, в которой цена рискового актива Р( задается процессом со сносом, диффузией и скачками:
Р, = Р,{ц <И + в (ТУ, + Л Х <т,), (8)
где А - неслучайный размер одного скачка, -количество скачков в интервале времени Л. Процесс Л^ предполагается пуассоновским с интенсивностью Л.
В модели рассматривается инвестор, вкладывающий доли и, и 1 - л, своего капитала X, соответственно в рисковый актив, цена которого задана уравнением (8), и безрисковый актив. Предполагается, что инвестор заинтересован в максимизации функционала Е(/(ХТ)), где рассматриваются степенная
/(х) = (х^~г -1)/(1-/) и логарифмическая /(х) = 1п(*) функции полезности. Указано, что в рассматриваемой задаче отрицательные значения X, невозможны, т.е. разорение инвестора никогда не наступает, поэтому имеет смысл строить модель на конечном неслучайном горизонте времени Т.
При достаточно общих условиях получено уравнение на ut:
уа2и -ц + г0-Щ\+иА)~г =0. (9)
Показано, что корень уравнения (9) при логарифмической функции полезности, т.е. в случае у = 1, определяется формулой:
где D = (a2+А(ц-г0)2)2+4<т2А21.
Для степенной функции полезности, т.е.О<у < 1, и случая Д>0 доказано существование оптимального управления на положительной числовой оси, т.е. и е (0,+от) .Доказана монотонность к* по параметрам модели при логарифмической и степенной функциях полезности. В случае у = 1 при Д>0 и* (р,гй,<т,А,Я) положительно зависит от параметров л,Х,А и отрицательно от rg и а. В случае у = 1 при отрицательном размере скачка, т.е. Д < 0, зависимость
от Я меняется на отрицательную. В случае 0 < / < 1 и* положительно зависит от параметров ц,Х,Д и отрицательно от г0,ст, у. Отличительной особенностью указанного результата является то, что при выводе уравнения (9), используемое при получении и*, применялись только формулы Дынкина и свойства стохастических интегралов Ито и Пуассона.
2.4 Проведен сравнительный анализ оптимальных инвестиционных стратегий в задачах с различными целевыми функциями
В целях обеспечения устойчивости и платежеспособности контролирующие органы ограничили множество инвестиционных стратегий страховых компаний. Как результат, страховая компания становится более устойчивой в смысле испонения принятых на себя рисков. Количественной мерой устойчивости является вероятность разорения, определяемая следующим образом
<К-) = Р(г<Г), (12)
где т = min(i > 0: X, < 0)- момент разорения, Г - горизонт планирования.
В исследовании осуществлено сравнение оптимальных инвестиционных стратегий двух различных критериев: 1) максимизация ожидаемой полезности капитала Е{/(ХТ )), где т, =шю(Г,г) и 2) минимизация вероятности разорения,
заданной формулой (12). Сравнение инвестиционных стратегий проводилось с использованием метода Монте-Карло. Из-за ограничения вычислительных мощностей на управляющий параметр было сделано ограничение постоянства во времени.
При большинстве значений параметров модели величины оптимальных инвестиционных управлений находились в непосредственной близости, что подтверждает согласованность рассмотренных критериев. Первый график демонстрирует, что минимум критерия у/(и) и максимум критерия /^(/(Х^))
достигаются на широком интервале и е (-0.25,0,25):
Рис.1 Зависимость (/(ХТ])) и (//() от И Рис.2 Зависимость Е(/(ХТ> )) и !//() от и
при типичных значениях параметров при относительно высоком Ц
При относительно высоких значениях рисковой доходности л (рис.2) увеличение доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, приводит к возрастанию значения (/(ХГ[)), при этом вероятность разорения ограничена
сверху. С другой стороны, увеличение управляющего параметра и приводит к уменьшению вероятности разорения !//(Х).Таким образом, при увеличении параметра и страховая компания максимизирует ожидаемую полезность капитала при ограниченной (невысокой) вероятности разорения.
Согласованность критериев нарушается при относительно малых значениях параметра у, характерных для страховых компаний, с низким относительным неприятием риска, что демонстрирует рис.3:
Рис.З. Зависимость (/(А'т )) и <;/( ) от и Рис.4 Зависимость )) и !//(Х) от и
при относительно низком значении ^ = 0.1. при относительно низком у и высоком р .
Результат одновременного увеличения рисковой доходности /л и уменьшение коэффициента относительного неприятия риска у показан на рис.4. Рис.З показывает, что максимум 1-ого критерия достигается при и* = 1 в то время как точка минимума критерия Ц/(и) находится на интервале и" е (-0.2,0.3). 2.5 На реальной страховой статистике построена модель диверсификации страховых рисков, учитывающая линейные и нелинейные зависимости между актуарными убыточностями по различным группам страхования.
Рассматривается страховая компания, принимающая па себя риски по N = 5 линиям страхования. Пусть /-ая страховая линия характеризуется двумя показателям!: величиной поных убытков и заработанной премией ЕР^ за т-ый период наступления страховых случаев, где т = \,...,Т и Г-временной горизонт. Коэффициентом актуарной убыточности по 1-ой группе по
т - ому периоду равен: = / ЕР%\ где 1 = 1,.., N и т = 1,.., Т. Убыточность в целом по страховой компании за т - ый временной период обозначается через
Группировка актуарной убыточности на дату страхового события позволяет выявить статистические закономерности в одновременном наступлении страховых случаев по различным видам страхования. Например, при ДТП часто наносится ущерб имуществу и здоровью, как виновника, так и потерпевшего. Таким образом, одно страховое событие порождает появление страховых случаев по трем различным линиям страхования: КАСКО, ОСАГО, медицина. Учет даппых зависимостей позволяет страховой компании более точно оценить собственные риски, сформировать адекватные страховые резервы и рассчитать размер необходимого капитала. Предполагается, что убыточности ,
представляют собой выборку из генеральной совокупности случайного вектора Л = (Л(1),...,1Я(Г)). Убыточность в целом по страховой компании допускает следующее представление:
ЕРЮ/л
1Д<=> = = ^-Щ-= щШо, (14)
где IV, = ЕР^ / ЕР^ обозначает вес / - ой группы в общей заработанной премии.
В качестве исходных данных использовалась статистика по актуарной убыточности по 5 страховым группам австралийского страхового рынка: 1)страхование квартир/домов, 2)КАСКО, 3)ОСАГО, 4)Страхование коммерческих рисков, 5)Страхование ответственности. Полученный объем выборки Ч 20 наблюдений по каждой страховой группе.
Задача, поставленная в диссертации, заключается в расчете диверсифицированных показателей рисков страховой компании с учетом взаимосвязей убыточностями по различным страховым группам. В качестве меры риска используется показатель (X) = шГ(х: Е(х) > д). В диссертации
сравниваются два различных подхода к расчету величины 1) в
случае комонотонных (максимальных положительных) зависимостей
допущении, что зависимости убыточностей описываются различными
копула-функциями. В первом случае совокупный риск рассчитывается по
формуле: ^ГяйДм^).
Во втором случае показатель риска страховой компании с учетом диверсификации, обозначаемый через рассчитывается численно
посредством симуляции компонент случайного вектора ЬК. Сравнение убыточностей, рассчитанных двумя способами, осуществляется через расчет показателя относительной экономии капитала по
формуле: Ш^д = ^(Й
Расчет диверсифицированных УаК^ (Я^) осуществляется по формуле:
Выбранные маргинальные распределения приведены в следующей таблице:
Случайная величина Линия страхования Наилучшее распределение Значение параметров р Ч \aiue
ил Квартиры Гамма а = 74 Р = 0,009 0,96
1Я<2> КАСКО Логнормальное =-0,192 а =0,110 0,69
1ЯР> ОСАГО Гамма а =27, =0,033 0,41
1К<4> Коммерческое страхование Гамма и =27 Р = 0,022 0,39
Страхование ответственности Гамма а =7 р = 0,122 0,93
Таблица 1. Оценки параметров маргняатьных распределений случайных величин и.
Оцененные по выборке коэффициенты г ранговой корреляции Кендала убыточностей ЬЯ^ приводятся в следующей таблице.
иго яо д<5
ИЩ 1 -0,30 -0,13 -0,41 -0,36
-0,30 1 о 0,17 0,19
1Ят -0,13 0 1 -0,08 0,52
Я<4> -0,41 0,17 -0,08 1 0,10
-0,36 0,19 0,52 0,10 1
Таблица 2. Оценки ранговых коэффициентов корреляции г Кендатла
Из таблицы 2 видно, что убыточности по некоторым страховым линиям отрицательно коррелированны. Данный факт не соответствует ни здравому смыслу, пи актуарной практике, а объясняется отсутствием достаточной статистики. Поэтому все отрицательные коэффициенты были заменены нулевыми, а коэффициент т14 в соответствии с экспертным мнением автора настоящей диссертации и исследователей в данной области был принудительно приравнен к 0,5.
Гистограммы распределения случайной величины К11' в случае элиптических и архимедовых копул показаны на следующих графиках.
шиоэопвакз
Рис.5. Гистограммы частот распределения случайной величины в случае элиптических копул (слева
направо): Гаусса, Стьюдента, Коти.
КопуПа Кгмйгом
Рис.6. Гистограммы частот распределения случайной величины яо в случае архимедовых копула-функций (слева направо): Франка, Гумбеля, Клейтона.
Из рис. 5 следует, что при уменьшении числа степеней свободы V копулы
Стьюдента, распределение случайной величины ЬВР^ прирастает тяжелыми хвостами. На рис. 6 характерно отсутствие хвостовой зависимости у копулы Франка, наличие тяжелого правого хвоста копулы Гумбеля и левого хвоста
копулы-функции Клейтона. Данная статистическая закономерность объясняется нулевым коэффициентом нижней и верхней хвостовой зависимости копулы
Франка, положительного коэффициентом ^ верхней хвостовой зависимости
копулы Гумбеля и положительного коэффициента нижней хвостовой зависимости копулы Клейтона. Кроме случая копулы Клейтона, все
рассматриваемые гистограммы случайной величины характеризуются
правосторонней асимметрией. Указанный статистический факт является закономерным, так как в качестве маргинальных используются Гамма и логнормальное распределения, характеризующихся правосторонней асимметрией. В случае ко пула-функции Клейтона распределение является практически симметричным. Объясняется это наличием положительного коэффициента
нижней хвостовой зависимости ^ к 0.14^ нивелирующей влияние правосторонних маргинальных распределений.
Следующая таблица аккумулирует полученные результаты: значения
Копула г<9>К>), Vali%{LR").V.
i = 1 i Ч 2 (=3 1=4 i=5
Гаусса 100 12 73 94 118 79 152
Стьгодента 103 10 75 96 122 81 156
Кошн 104 8 76 98 123 82 158
Гумбеля 107 5 78 101 127 85 163
Клейтона 98 14 71 92 116 77 148
Франка 99 13 72 93 117 78 150
Таблица3. Значения КаД^ (ifi1) в случае шести различных копулам.
2.6 Осуществлено сравнение методов оценки финансового результата от объединения монопродуктовон и многопродуктовой страховых компаний
Достаточно часто страховые компании рассматривают возможность принятия на себя рисков по новым линиям страхования. Одним из способов расширить бизнес заключается в том, что более крупные страховые компании поглощают более мекие. Пусть величина
обозначает полный убыток монопродуктовой страховой компании. Тогда, использовав обозначение суммарного убытка по
5 страховым группам первой страховой компании, величина суммарного убытка по новому (объединенному) портфелю определяется следующим образом:
(^>=№> + (6). (16) Предполагается, что зависимость убыточностей в новом портфеле описывается элиптическими и архимедовыми копула-функциями, рассмотренными в модели диверсификации страховых рисков. Пусть, как и в модели диверсификации рисков, мерой риска является показатель Уа1ие-а1-1Шк. Тогда основные задачи настоящей модели формулируются следующим образом: 1)Определение
величины Ха допонительного капитала:
требуемого для покрытия новых обязательств. 2) Расчет абсолютной выгоды (или убытка) от
объединения А, = )) - (Я^ ) - УаЯ0 99 (Л(6>). 3)
Расчет изменения прибыли после объединения двух страховых компаний
Предполагается, что новая линия бизнеса имеет Гамма-распределение с параметрами = 0,11 и 0=8,03, соответствующими математическому ожиданию ц = 0,85 и стандартному отклонению <т = 0Д. В следующей таблице приводятся сравнительные характеристики старого и нового страховых портфелей в случае гб( =0.1 где 1 = 1,...,5.
Копула Х/. мн. у.е. мн. у.е. X.. мн. у.е. Аь мн. у.е.
Гаусса 99,8 -7,1 1.8 141,0 -27,2
Стьюдента 100,9 -16,4 -10,7 144,3 -23,9
Коши 103,0 -38,2 -34,3 146,1 -22,1
Гумбеля 104,9 -45,7 -56,3 160,6 -7,7
Франка 98,5 7,6 17,5 140,1 -28,1
Клейтона 96,5 29,1 40,1 139,0 -29,2
Таблица 4. Сравнительные характеристики старого и нового портфелей при Ч 0,1, где I Ч 1,...,5.
При значении г6, = 0.3, / = 1,...,5 результаты изменяются:
Копула яЩ. Ха. 1.
мн. у.е. мн. у.е. мн у.е. мн у.е.
Гаусса 100,6 -6,7 -7,2 150,5 -17,8
Стьюдента 102,1 -19,9 -23,8 153,9 -14,4
Коши 103,9 -30,6 -45,1 164,5 -3,7
Гумбеля 106,6 -46,9 -75,7 178,8 10,5
Франка 99,9 8,0 1,0 157,0 -11,2
Клейтона 97,3 29,3 31,0 148,3 -20
Таблица5. Сравнительные характеристики старого и нового портфелей при =0,3, где 1 = 1,,..,5.
Таблицы 4, 5 позволяют сделать следующие выводы:
1) Увеличение коэффициента хвостовой зависимости нивелирует эффект диверсификации. Действительно, величина А] увеличивается при уменьшении степеней свободы элиптических копул, что эквивалентно увеличению хвостовой зависимости.
2) В случае = 0,1 значение А[ для всех копула-функций является отрицательным. Поэтому с точки зрения экономии капитала двум страховым компаниям выгодно объединиться. В случае т^ =0,3 и использовании копулы Гумбеля эффект диверсификации сводится на нет.
3) Для относительно невысокого г6/ при всех копула-функциях, кроме Гумбеля, добавление новой линии страхования увеличивает финансовый результат объединенного портфеля. Увеличение указанного коэффициента до Гд, = 0,3 приводит к тому, что прибыль новой компании становится меньше прибыли многопродуктовой компании для всех типов зависимости, кроме копулы Клейтона.
Приведенные вычисления демонстрируют, что критерии экономии капитала за счет диверсификации и увеличения финансового результата не всегда эквивалентны друг другу. В следующей теореме приведены условия, при которых указанные критерии согласуются друг с другом.
Теорема 1. Пусть А) обозначают соответственно финансовый
результат старого портфеля, финансовый результат нового (объединенного) портфеля и абсолютную выгоду от диверсификации. Тогда следующие неравенства являются эквивалентными:
Д, < О о *<2> > + ЕРЩ - ЕРЫ _ (17)
Д, 00М^М+ЕрЫ-ЕрЫ-УаЯ^). (18)
Вывод, относящийся к результатам всего исследования: использование математико-статистических методов позволит страховым компаниям сформировать оптимальные стратегии инвестирования, потребления и более точно оценить величину страховых выплат. Использование модели диверсификации страховых рисков позволит сформировать адекватные страховые резервы.
3. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Статьи в журналах, определенных ВАКМинобрнауки России:
1. Журов А.Н. Оптимальные стратегии страховых компаний [текст] / Журов А.Н., Шаповал А.Б. // Социально-экономические явления и процессы. - 2011. - № 5-6. - С. 105-109. (0,45/0,23 п.л.).
2. Журов А.Н. Поиск оптимальных инвестиционных стратегий в случае степенной и логарифмической функций полезности капитала [текст] / Журов А.Н. // Управление риском. - 2011. - № 4 (60). - С. 38-42. (0,56 п.л.).
3. Журов А.Н. Сравнение оптимальных стратегий страховых компаний [текст] /Журов А.Н. // Страховое дело. -2012. - №2. - С. 23-33. (0,93 п.л.).
4. Журов А.Н. Динамика оптимального потребления страховой компании в случае произвольной функции полезности [текст] / Журов АН. // Страховое дело. -2012.-Ka6.-C. 44-48. (0,51 п.л).
5. Журов А.Н. Анализ латентных зависимостей убыточностей по различным страховым группам [текст] / Журов А.Н. // Управление риском. - 2012. -№ 2 (62). -С. 46-56. (1,35 пл.).
Подписано в печать:
03.10.2012
Заказ № 7725 Тираж - 120 экз. Печать трафаретная. Типография л11-й ФОРМАТ ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 vvvvw.autoreferat.ru
Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Журов, Александр Николаевич
1 Оптимальные стратегии в области инвестирования и потребления страховой компании в условиях стохастической неопределенности
1.1 Уравнения динамики оптимального потребления страховой компании.
1.1.1 Постановка задачи оптимального управления капиталом страховой компании.
1.1.2 Вывод динамики оптимального потребления в случае степенной функции полезности.
1.1.3 Уравнение динамики оптимального потребления в случае произвольной функции полезности.
1.2 Задача выбора оптимальных инвестиционных стратегий при наличии скачкообразной компоненты в динамике цены рискового актива.
1.2.1 Постановка задачи.
1.2.2 Вывод уравнения динамики оптимального управляющего параметра
1.2.3 Точная формула оптимального управления в случае логарифмической функции полезности капитала
1.2.4 Доказательство существования оптимального управления в случае степенной функции полезности
1.2.5 Монотонность оптимального управления по параметрам модели.
1.3 Выводы.
1.4 Математические основы модели.
1.4.1 Основные понятия теории случайных процессов
1.4.2 Процессы со сносом и диффузией.
1.4.3 Процессы со сносом и скачками.
1.4.4 Процессы со сносом, диффузией и скачками.
1.4.5 Стохастическое оптимальное управление.
1.4.6 Уравнение Гамильтона-Якоби-Белмана. Формула Дынкина.
2 Сравнение критериев оптимальной деятельности страховых компаний
2.1 Влияние ограничений контролирующих органов на инвестиционные стратегии страховых компаний.
2.1.1 Задача оптимального управления, учитывающая актуальные ограничения на инвестиционные стратегии страховых компаний.
2.1.2 Решение задачи оптимального инвестирования с ограничениями на управляющий параметр.
2.2 Сравнение критериев оптимальной деятельности страховой компании.
2.2.1 Краткая постановка задачи.
2.2.2 Строгая постановка задачи.
2.2.3 Агоритм решения задачи сравнения критериев оптимального функционирования страховой компании
2.2.4 Полученные результаты в случае высокого коэффициента относительного неприятия риска.
2.2.5 Полученные результаты в случае низкого коэффициента относительного неприятия риска.
2.3 Выводы.
3 Анализ латентных зависимостей убыточностей по различным линиям страхования
3.1 Модель диверсификации рисков страховой компании
3.1.1 Постановка задачи.
3.1.2 Исходные данные и методика решения задачи
3.1.3 Подгонка частных распределений.
3.1.4 Оценка параметров элиптических копул
3.1.5 Оценка параметров семейств архимедовых копул
3.1.6 Полученные результаты.
3.2 Новая линия бизнеса и расчет необходимого капитала . 80 3.2.1 Постановка задачи.
3.2.2 Полученные результаты.
3.2.3 Выводы.
3.3 Теоретические основы моделей главы 3.
3.3.1 Аппарат копула-функций.
3.3.2 Элиптические копулы.
3.3.3 Комонотонные копулы. Границы Фреше.
3.3.4 Архимедовы копула-функции
3.3.5 Методы оценки копул.
3.3.6 Различные меры риска.
3.3.7 Формы зависимости.
3.3.8 Генерация случайных векторов
Диссертация: введение по экономике, на тему "Модели оптимального распределения капитала страховой компании"
В последнее время в страховой сфере наблюдается тенденция к более формализованному подходу управления капиталом. С одной стороны, страховая компания дожна быть устойчивой в том смысле, что при наступлении страховых случаев клиенты дожны незамедлительно получать возмещения. С другой стороны, страховая компания заинтересована в получении максимальной прибыли от своей деятельности. Поэтому временно свободные средства - часть страховых резервов и собственного капитала - компания имеет право (с определенными ограничениями) инвестировать на финансовый рынок, как в условно безрисковые, так и рисковые активы. Это приводит к тому, что страховые организации становятся активными участниками рынка ценных бумаг.
Инвестирование капитала в финансовый рынок представляет собой один из самых рискованных видов деятельности страховой организации. Если условно безрисковые активы (государственные ценные бумаги, банковские счета) характеризуются минимальным риском, то рисковые активы (акции, корпоративные облигации, производные финансовые инструменты) сосредотачивают в себе опасность резкого уменьшения стоимости. Поэтому выбор оптимальной инвестиционной стратегии, удовлетворяющей, с одной стороны, целям страховой компании, с другой стороны, - ограничениям, накладываемым контролирующими органами, является актуальным.
Наряду с инвестиционной деятельностью, страховая компания заинтересована в мотивации своих сотрудников к более эффективному труду, в обновлении основных средств и других расходов, прямо не связанных со страховой деятельностью. Для этого часть средств выделяется на потребление, пример которого - выплата бонусов сотрудникам страховой компании. Задача заключается в выборе оптимальных по определенному критерию стратегии инвестирования и потребления.
Поскольку страховая компания использует часть средств страхователей для инвестирования в рисковые активы, ее торговая стратегия дожна удовлетворять ограничениям, которые накладывают контролирующие органы. Данные ограничения представляют собой максимальные доли страховых резервов (премий и убытков), инвестируемых в определенный вид активов. Эти ограничения, как и список ценных бумаг, в которые разрешено инвестировать резервы, периодически меняются и имеют главной целью уберечь страховую компанию от неблагоприятной конъюнктуры на финансовом рынке, обеспечив тем самым ее платежеспособность.
Несомненно актуальным является вопрос согласованности интересов лиц, имеющих отношение к страховой компании. Владельцы и управляющие страховой компании ставят перед собой цель улучшения финансовых показателей деятельности организации. Прежде всего, это максимизация прибыли, что эквивалентно максимизации собственного капитала страховой компании. Страхователи и контролирующие органы, представляющие их интересы, заинтересованы в платежеспособности и устойчивом функционировании страховой компании. Математически это означает стремление минимизировать вероятность разорения страховой компании на заданном интервале времени. Сравнение оптимальных стратегий двух задач на предмет согласованности является актуальной и интересной задачей.
В своей деятельности страховая компания имеет дело со стохастической неопределенностью, выражающейся в количестве и размере возмещений по страховым случаям. В этом смысле прогноз страховых выплат как в целом по компании, так и отдельно по страховым группам представляет из себя одну из главных задач страховой компании. Основным показателем, прогноз которого необходимо рассчитать является коэффициент актуарной убыточности, представляющий из себя суммарные убытки, нормированные на заработанную премию. Типичным допущением при расчете убыточности в целом по компании является комоно-тонность (максимальная положительная зависимость) актуарных убы-точностей по различным группам страхования. В диссертации рассматриваются случаи, при которых зависимость между случайными величинами задается элиптическими и архимедовыми функциями связки, или копула-функциями. Копула-функции позволяют учесть как линейные, так и нелинейные зависимости актуарных убыточностей и построить адекватную модель диверсификации страховых рисков. В качестве применения модели диверсификации рисков в академических исследованиях рассматривается задача выбора критериев, на основании которых принимается решение об объединении страховых компаний. В последнее время аппарат копула-функций становится все более востребованным, поэтому задачи, рассматриваемые в диссертации, являются актуальными.
Статьи [Gerber, 1969], [Buhlmann, 1970] положили начало исследованиям стратегий страховых компаний, инвестирующих свой капитал в финансовые инструменты. В этих моделях предполагается, что цена рискового актива изменяется в соответствии с геометрическим броуновским движением. Количество убытков на заданном интервале времени задается пуассоновским, а суммарный убыток - сложным пуассоновским процессами. Винеровский и пуассоновский процесс предполагаются независимыми друг от друга и от размера одной (произвольной) страховой выплаты. В статье [Yang, 2005] при некоторых условиях получена формула оптимального размера капитала, инвестируемого в рисковый актив.
В статьях [Merton, 1969], [Samuelson, 1969] впервые исследован вопрос, как влияет потребление рыночных агентов на их инвестиционные стратегии. В [Merton, 1969] найдены явный функциональный вид оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, для степенной функции полезности капитала, и неявный функциональный вид оптимального потребления в случае степенной функции полезности потребления. В [Stamos, 2008] сформулирована задача выбора оптимальных стратегий потребления и инвестиций для страховой компании.
Точный вид оптимального потребления для широкого класса задач страхования до сих пор неизвестен. Основная трудность связана с решением уравнения Гамильтона-Якоби-Белмана (HJB) - вообще говоря, нелинейного дифференциального уравнения с частными производными.
Существенно упрощает задачу гипотеза о принадлежности функции Белмана - решения уравнения HJB - заданным классам функций. Например, в [Yang, 2005] использование экспоненциальной функции Белмана специального типа позволяет свести уравнение с частными производными к обыкновенному дифференциальному уравнению и получить точную формулу оптимального размера капитала, инвестируемого в рисковый актив. Статья [Sennewald, 2006] представляет собой обзор технических методов, с помощью которых представляется возможным найти уравнение динамики оптимального потребления.
Статистический анализ финансового рынка показывает, что доходности рисковых активов имеют ненормальное распределение и характеризуются отрицательной асимметрией, положительным коэффициентом эксцесса и тяжелыми хвостами. Существует ряд работ, связанных с решением классической задачи выбора инвестиционных стратегий, в которых динамика цены рискового актива задается процессами, отличными от диффузионных. Например, в [Oksendal, 2005] цена рискового актива следует процессу Леви. В работах [Merton, 1992], [Sennewald, 2006] процесс цены рискового актива включает скачкообразную компоненту, задающуюся процессом Пуассона. В первой работе получена неявная формула оптимальной инвестиционной стратегии, во второй работе поставлена задача оптимизации без вывода точной формулы оптимального управления, в третьей - в случайном процессе динамики цены рискового актива исключена диффузионная компонента.
Модели диверсификации рисков страховых компаний и модели стохастического резервирования становятся все более популярными в академических и прикладных трудах по актуарным расчетам. Теоретической основой, применяемой для построения данных моделей, является аппарат копула-функций. Математические основы копула-функций заложены в статье [Sklar, 1959]. Монография [Nelsen, 1999] представляет из себя теоретический обзор аппарата копула-функций. В статье [Valdez, 2006] рассматривается модель, в которой сравниваются показатели Value-at-Risk актуарных убыточностей страховой компании в двух случаях: комо-нотонной (максимальной положительной) зависимости убыточностей по различным видам страхования и зависимости, задаваемой элиптическими копулами. Таким образом, в статье анализируются только линейные типы зависимости. В указанной статье частные распределения убыточностей 5 различных страховых групп австралийского страхового рынка моделировались с помощью гамма и логнормального распределений. Основным результатом статьи является расчет показателей diversification benefit (DB) и capital savings (CS) - относительной и абсолютной выгод от диверсификации страхового портфеля соответственно. с. В статье [Kong, 2005] предлагается метод расчета диверсифицированного Value-at-Risk убыточностей по различным линиям страхования. В методе допускается, что диверсификация одинаково влияет на риски по линиям бизнеса. В статье [Isaacs, 2003] для моделирования взаимосвязей убыточностей различных страховых групп используется копула Гумбеля - пример архимедовых копул, позволяющей учесть нелинейные зависимости убыточностей.
В [\Уи, 2006] рассматрена задача выбора критериев, на основании которых принимается решение об объединении страховых компаний. Модель позволяет определить, в каких случаях многопродуктовой компании следует открыть новую линию страхования. В указанной статье зависимость убыточностей по различным видам страхования моделируется с помощью архимедовой копулы Гумбеля.
Основной целью кандидатской диссертации является построение оптимальных стратегий инвестирования, потребления и диверсификации рисков страховых компаний в условиях стохастической неопределенности. Поставленную цель позволяет достичь решение следующих задач:
1. Вывод динамики оптимального потребления для различных функций полезности потребления.
2. Получение точной формулы оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, в обобщенной модели Мертона.
3. Анализ влияния ограничений, накладываемых контролирующими органами, на формирование инвестиционных портфелей страховых компаний.
4. Сравнение согласованности критериев различных групп лиц - владельцев страховой компании и страхователей. Целью первых является максимизация ожидаемого капитала в определенный момент времени, вторых - минимизация вероятности разорения.
5. Построение модели диверсификации рисков страховой компании, учитывающей взаимосвязи между убыточностями по различным типам страхования и разработка методики оценки финансового результата при открытии новой страховой группы с учетом: 1) маргинальных функций распределения убыточностейи 2) диверсификации убыточностей по различным видам страхования. Для решения указанных задач проведены следующие расчеты: a) Статистический анализ коэффициентов актуарных убыточностей по различным линиям бизнеса с целью определения параметров зависимости указанных показателей. b) Расчет показателя УаЯ убыточностей - минимальной величины, которая не превысит с заданной вероятностью убыточность по страховой компании (рынку) в целом и переход к убыточностям по различным линиям страхования. с) Построение системы критериев, на основе которых принимается решение об открытии новой страховой группы. Показывается взаимосвязь критериев и рассчитывается финансовый результат при различных входных параметрах модели.
Диссертация имеет следующую структуру: в главе 1 приведены три аналитические результата - динамика оптимального потребления при степенной функции полезности, динамика оптимального потребления для произвольной функции полезности, точная формула оптимального инвестиционного в обобщенной модели Мертона. В главе 2 рассматривается влияние ограничений контролирующих органов на оптимальные инвестиционные стратегии и задача согласованности критериев страхователей и владельцев страховой компании. В главе 3 рассматривается модель диверсификации рисков страховой компании с учетом латентных взаимосвязей между актуарными убыточностями по различным видам страхования. Результаты исследования обсуждаются в заключении. Список источников содержит проанализированные материалы исследователей данной тематики.
Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Журов, Александр Николаевич
1. В диссертации получена зависимость оптимального потребления страховой компании от параметров модели в случае степенной функции полезности. В существующих работах такая зависимость получена только для ограниченного класса функций Белмана, тогда как в диссертации результаты установлены для широкого класса задач. Результаты показывают, уменьшатся или увеличатся допонительные расходы страховой компании при изменении параметров модели.
2. Установленная при степенной функции полезности динамика оптимального потребления обобщена на случай произвольной функции полезности потребления, удовлетворяющей естественным ограничениям.
3. Доказана точцая формула оптимальной инвестиционного параметра в обобщенной задаче Мертона при логарифмической функции полезности капитала. Указанная формула получена с помощью формулы Ито и использования свойств стохастических интегралов Ито и Пуассона без решения уравнения Гамильтона-Якоби-Белмана. Установлено, что в случае степенной функции полезности оптимальная инвестиционная стратегия существует на положительной полуоси. Доказана монотонность оптимального инвестиционного управления по параметрам модели. В случае степенной функции полезности приведен численный расчет оптимального управления.
4. Показана согласованность оптимальных стратегий владельцев страховой компании и страхователей для широкого класса параметров модели. Исключением является случай низкого неприятия риска страховой компанией. Установлено, что при относительно высоких значениях доходности рискового актива формирование более рискованного инвестиционного портфеля приводит к увеличению капитала страховой компании при ограниченной вероятности разорения.
5. Построена модель диверсификации страховых рисков, которая позволяет достаточно точно оценить финансовый результат страховой компании и размер необходимых страховых резервов. Установлено, что принятие решения о присоединении новой страховой группы существенным образом зависит от степени зависимости убыточно-стей по линиям бизнеса, присутствующим в страховом портфеле с убыточностью по новой страховой линии.
Заключение
В главе 1 диссертации рассматривается страховая компания, которая занимается основной деятельностью - сбором премий и выплатами возмещений по страховым случаям,- и инвестициями на финансовый рынок и потреблением. Предполагается, что процесс суммарных убытков является сложным пуассоновским. Финансовый рынок задается безрисковым и рисковым активами, эволюция цен которых удовлетворяет динамике банковского счета и геометрическому броуновскому движению соответственно. Управляющими переменными являются доля капитала, инвестируемую в рисковый актив, и величина потребления. В модели исследуется зависимость оптимального потребления страховой компании от параметров модели.
Классический подход к решению описанной задачи заключается в решении соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Белмана - в общем случае нелинейного дифференциального уравнения с частными производными. Отсутствие точной формулы оптимального потребления объясняется трудностями в получении решения указанного уравнения. В диссертации используется методика, позволяющая найти динамику оптимального потребления и получить монотонность на коротком интервале по параметрам модели. Найдено уравнение динамики оптимального потребления для произвольной функции полезности, удовлетворяющей естественным ограничениям. Исследован случай степенной функции полезности, для которого уравнение динамики оптимального потребления имеет достаточно простой вид.
Вторая модель первой главы диссертации связана с классической задачей - выбором оптимальных инвестиционных стратегий, максимизирующих ожидаемую полезность капитала фирмы. Как и в первой модели, финансовый рынок задается безрисковым и рисковым активом. Динамика цены рискового актива содержит скачкообразную компоненту, что соответствует задачам страховой сферы. Скачкообразная компонента в динамике цены рискового актива задается процессом Пуассона с постоянной интенсивностью. Размер одного скачка является неслучайной постоянной во времени величиной. Целью инвестора является максимизация ожидаемой полезности капитала в определенный момент времени в будущем. Таким образом, в диссертации рассматривается обобщенная модель Мертона. Предполагается, что инвестор формирует свои предпочтения в соответствии со степенной и (в предельном случае) логарифмической функциями полезности, удовлетворяющими естественным ограничениям. Управляющей переменной в модели является доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В диссертации получена явная формула оптимального управления в случае логарифмической функции полезности капитала. Для степенной функции полезности в случае положительного размера одного скачка доказано существование оптимального управления. Приводится монотонность оптимального управления по параметрам модели в случае логарифмической и - при положительной величине одного скачка - степенной функций полезности.
В первой модели второй главы второй главы рассматривается влияние ограничений контролирующих органов на долю резервов, инвестируемых в рисковый актив. Во модели показано, каким образом ограничения контролирующих органов влияют на оптимальные инвестиционные стратегии. Найдена точная формула оптимальной инвестиционной стратегии в задаче с ограничением на управлящую переменную в случае степенной функции Белмана.
Во 2-й модели второй главы диссертации наряду с интересами владельцев и управляющих страховой компании учтены интересы страхователей. Предполагается, что страховая компания инвестирует поностью свой капитал в безрисковый и рисковый активы. Управляющим параметром является доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. Осуществлено сравнение оптимальных инвестиционных стратегий двух различных критериев: 1) максимизация ожидаемой полезности капитала и 2) минимизация вероятности разорения, соответствующих интересам владельцев страховой компании и страхователей соответственно. Сравнение инвестиционных стратегий проведено с использованием метода Монте-Карло реализации случайных величин. Предполагается, что оптимальное управление постоянно на заданном интервале времени. Без указанного предположения вычислительных мощностей оказывается недостаточно. В исследовании показано, что для широкого диапазона значений параметров два критерия сгласуются друг с другом. Исключением является случай относительно низкого неприятия риска страховой компанией. Данное свойство целевой функции характерно для страховых компаний, приемлющих высокорискованные стратегии.
В третьей главе рассматривается страховая компания, принимающая на себя риски по пяти страховым линиям. Осуществлен статистический анализ коэффициентов актуарной убыточности пяти линий бизнеса. На основании теста Комогорова выбраны маргинальные распределения и оценена матрица ранговых коэффициентов корреляции убыточностей по различным страховым группам, которая была преобразована с учетом экспертного мнения автора. В 3-й главе сравниваются два принципиально разных случая: 1) комонотонной зависимости убыточностей и 2) зависимости, задаваемой различными копула-функциями - функциями связи случайных величин. С помощью трех элиптических - Гаусса, Стьюден-та, Коши - и трех архимедовых - Франка, Гумбеля, Клейтона - копул моделируются убыточности по пяти видам страхования и рассчитывается величина максимальной убыточности по страховой компании с учетом диверсификации, которая не будет превышена с заданной вероятностью. Рассчитаны показатели относительной и абсолютной диверсификации страховых рисков. На основании рассчитанных показателей и допущения о том, что диверсификация одинаково влияет на риски по всем линиям бизнеса, осуществлен переход от суммарной убыточности страховой компании к убыточностям по страховым группам. Показано, что выбор копула-функции, задающей тип зависимости случайных величин, оказывает существенное влияние на оценку совокупного риска страховой компании. Показано, что при увеличении коэффициента асимметрии и коэффициента зависимости верхних хвостов величина совокупного риска возрастает.
В качестве применения данной модели в 3-й главе рассматривается задача определения критериев, на основании которых принимается решение об объединении страховых компаний с различными линиями страхования. Проанализировано влияние шести различных копула-функций: трех элиптических - Гаусса, Стьюдента, Коши - и трех архимедовых -Франка, Гумбеля, Клейтона - на формирование решения о присоединении новой страховой линии. В модели рассматриваются два критерия: 1) величина выгоды (убытка) от диверсификации рисков новой страховой линией и 2) изменение прибыли после присоединения новой страховой линии. Расчеты осуществлены для двух случаев: относительно низкого и высокого коэффициента корреляции актуарной убыточности новой страховой группы с убыточностями существущих в страховом портфеле линий страхования. В диссертации показано, что при увеличении коэффициента верхней хвостовой зависимости эффект диверсификации рисков страховой компании 6-й группой нивелируется. Аналитически доказано, что при некоторых условиях два указанных критерия согласуются друг с другом.
Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Журов, Александр Николаевич, Москва
1. Белман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.
2. Иваницкий А.Ю. Теория риска в страховании. М.: Факториал Пресс, 2007.
3. В.Б. Комановский. Задачи управления при непоной информации // Соросовский образовательный журнал. 1999. N.4. С.122-127.
4. Мак Т. Математика рискового страхования. М.: ОЛИМП-БИЗНЕС, 2005.
5. Мельников А.В., Молибога М.М. Расчет схем гибкого страхования // Экономический журнал ВШЭ. 2003. N. 2.
6. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.
7. Azcue P., Muler N. Optimal investment strategy to minimize the ruin probability of an insurance company under borrowing constraints // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. V.44. P.26-34.
8. Bateup R., Reed I. Research and Data Analysis Relevant to the Development of Standarts and Guidelines on Liability Valuation for General Insurance // The Institute of Actuaries Australia and APRA, Tillinghast Towers-Perrin. 2001.
9. Browne S. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: exponential utility and maximazing the probability of ruin // Mathematics of Operations Research. 1995. N.20. P.937-958.
10. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Berlin: SpringerVerlag, 1970.
11. Caoa Y., Wan N. Optimal proportional reinsurance and investment based on Hamilton-Jacobi-Bellman equation // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P.157-162.
12. Chang F.-R. Stochastic Optimization in Continuous Time. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
13. Collings S., White G. APRA Risk Margin Analysis // Institute of Actuarials of Australia XIII the General Insurance Seminar, Trowbridge Consulting. 2001.
14. Cont R., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. Chapman k Hall/CRC Press, 2003.
15. Donnelly C., Embrechts P. The devil is in the tails: actuarial mathematics and the subprime mortgage crisis. // ASTIN Bulletin V. 40 N.l, P. 1-33.
16. Embrechts P., Straumann D. Correlations and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfails // Risk Management: Value at Risk and Beyond. 1999. Cambridge: Cambridge University Press.
17. Embrechts P. Copulas: A personal view // Journal of Risk and Insurance. 2009. V.76. P.639-650.
18. Embrechts P., Puccetti, G. Bounds for functions of dependent risks // Finance and Stochastics. 2006. N.10. P. 341-352
19. Embrechts P, Hofert M. Practices and issues in operational risk modeling under Basel II // Lithuanian Mathematical Journal. 2011. N. 50(2). P.180-193.
20. Embrechts P., Puccetti G. Bounds for the sum of dependent risks having overlapping marginals // Journal of Multivariate Analysis. 2009. N. 101. P. 177-190.
21. Elliott R., Chenc Z., Duan Q. Insurance claims modulated by a hidden Brownian marked point process // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P. 163-172.
22. Emms P., Haberman S.,Savoulli I. Optimal strategies for pricing general insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 2007. N.40. P.15-34.
23. Frees E.W., Valdez E.A. Understanding Relationships Using Copulas // North American Actuarial Journal. 1998. V. 2 Number 1. P. 1-25.
24. Galiani S. Copula Functions and their Application in Pricing and Risk Managing Multiname Credit Derivative Products. London: University of London, 2003.
25. Gerber H. Entscheidigungskriterien furden zusammengesetzten Poisson Pozess / / Mitteilungen der Vereinigung Schweizer Versicherungsmathematire. 1969. N. 19, P. 185-228.
26. Gerstner T., Griebel M., Holtz M. Efficient deterministic numerical simulation of stochastic asset-liability management models in life insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. V. 44 P.
27. Hanson F.B. Applied Stochastic Process and Control for jump -diffusions: Modelling, Analysis and Computation. Chicago, University of Illinois, 2007.
28. Hea L., Liang Z. Optimal financing and dividend control of the insurance company with fixed and proportional transaction costs // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. V. 44. P. 88-94.
29. Hipp C. Stochastic control with applications in insurance.
30. Huang C., Litzenberger R. Foundation for Financial Economics. NJ: Prentice-Hall, 1987.
31. Hubalek F., Schachermayer W. Optimizing expected utility of dividend payments for a Brownian risk process and a peculiar nonlinear ODE // Insurance: Mathematics and Economics. 2004. V.34. P.193 225.
32. Hull J.C. Risk Management and Financial Institutions. NJ: Pearson, Prentice Hall, 2007.
33. Isaacs D. Capital Adequacy and Dependence. Institute of Actuaries of Australia, XIV General Insurance Seminar. Pages 229IJ249, 2003.
34. Kong L., Collins E., Robertson-Dunn S. Assessing & Monitoring Insurance Liability Uncertainty. Institute of Actuaries of Australia. XVth General Insurance Seminar. 2005.
35. I.Kojadinovic, J.Yan. Modelling Multivariate Distributions with Continuous Margins Using the copula R Package // Journal of Statistical Software. 2010. V. 34. Issue 9.
36. Liu C., Yang H. Optimal investment for an insurer to minimize its probability of ruin // North American Actuarial Journal. 2004 N. 8. P. 11-31.
37. Merton R. C. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainy: The Continuos-Time Case // The review of Economics and Statistics. 1969. N. 51, P. 247-257.
38. Merton R.C. Continuous-Time Finance. Cambridge: Blackwell Publishing, 2003.
39. T. Mikosch. Copulas: tales and facts // Extremes Journal. 2006. N.9. P.3-20.
40. Nelsen R. An Introduction to Copulas. New York, NY: Springer, 1999.
41. Roger P. Stochastic Processes fo Finance. Strasbourg: Ventus Publishing ApS, 2010.
42. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. N.6. P. 13-31.
43. Sennewald K., Walde K. Ito's Lemma and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View // Journal of Economics. 2006. N. 89. P. 1-36.
44. Sklar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges // Pub. Inst. Statist. Univ. Paris. 1959. N.8. P. 229-231. N.l. P.137-140.
45. Stamos M. Optimal consumption and portfolio choice for pooled annuity funds // Insurance: Mathematics and Economics. 2007. N. 43. P. 56-68.
46. Sy W. On the Coherence of VAR Risk Measures for Levy Stable Distributions // Australian Prudential Regulation Authority. 2006.
47. Taksar M. Diffusion optimization models in insurance and finance. 2010.
48. Valdez E.A., Tang A. Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas. International congress of Actuaries, 2006. URL: http: //www.ica2006.com/Papiers/282/282.pdf.
49. Vanduffel S. Comonotonicity: Prom Risk Measurement to Risk Management. PhD thesis. Vrije Universiteit Brussel, 2005.
50. Vyncke D. Comonotonicity // Encyclopedia of Actuarial Science. Wiley, Vol. I , P. 302-305.
51. Wang S. Discussion of Paper Already Published YUnderstanding Relationships Using CopulasY // North American Actuarial Journal. 1999. V.3.
52. Wu F., Valdez E., M. Sherris. Simulating Exchangeable Multivariate Archimedean Copulas and its Applications. 2006. Institute of Actuaries of Australia.
53. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process // Insurance: Mathematics and Economics. 2005. N. 37. P.615-634.
54. Yuan H., Hu Y. Optimal consumption and portfolio policies with the consumption habit constraints and the terminal wealth downside constraints // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P.405-409.
55. Zhang X., Siu T.K. Optimal investment and reinsurance of an insurer with model uncertainty // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P. 81-88.
Похожие диссертации
- Развитие экономического потенциала потребительской кооперации: теория, методология, практика
- Развитие инновационной деятельности страховых компаний
- Инвестиционный потенциал страховых компаний
- Экономико-статистические модели оценки рисков страховых компаний
- Математическое моделирование инвестиционно-финансовой деятельности страховой компании