Экономико-математические модели актуарной оценки страховых премий по данным из малых выборок при различных формах зависимости

Кудрявцев, Андрей Алексеевич

Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Экономико-математические модели актуарной оценки страховых премий по данным из малых выборок при различных формах зависимости тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат

Ученая степень	доктор экономических наук
Автор	Кудрявцев, Андрей Алексеевич
Место защиты	Санкт-Петербург
Год	2012
Шифр ВАК РФ	08.00.13

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Экономико-математические модели актуарной оценки страховых премий по данным из малых выборок при различных формах зависимости"

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

00500404л

Кудрявцев Андрей Алексеевич

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АКТУАРНОЙ ОЦЕНКИ СТРАХОВЫХ ПРЕМИЙ ПО ДАННЫМ ИЗ МАЛЫХ ВЫБОРОК ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМАХ ЗАВИСИМОСТИ

- 1 ЛЕК 2011

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы

экономики

Санкт-Петербург 2011

005004346

Работа выпонена на кафедре управления рисками и страхования Экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: доктор экономических наук, профессор

Чернова Галина Васильевна Санкт-Петербургский государственный университет

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор

Дуболазов Виктор Андреевич Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

доктор экономических наук, профессор Чернов Виктор Петрович Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов

доктор экономических наук, профессор Емельянов Александр Анатольевич Московский финансово-промышленный университет Синергия

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

Защита состоится л9 20 [2. г. в /С часов

минут на заседании Совета Д 212.232.34 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191123, Санкт-Петербург, ул. Чайковского, 62, ауд. 415.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета Автореферат разослан л /г~ Н-у^кЛ 20 (| г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат экономических наук, доцент

. Капусткин

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Страхование - важная область финансовых операций и управления рисками, которая обеспечивает устойчивость работы всего народного хозяйства. В то же время эффективное функционирование страхования во многом зависит от правильной оценки страховых премий, отражающих принятые страховщиком обязательства по возмещению будущего ущерба. Завышенные премии означают потерю части клиентов и, следовательно, снижение финансового результата работы страховщика, что ставит под сомнение возможность заключения страховых договоров в будущем. Заниженные премии означают неоправданное повышение риска неплатежеспособности страховой организации и срыв выпонения обязательств по уже действующим договорам.

В этой связи, необходимость получения как можно более точной оценки страховых премий не является чисто техническим вопросом, а определяет все стороны работы страховой организации, особенно финансовую. Иными словами, от выбора методов прогнозирования размера премий часто зависит финансовое состояние страховщика, устойчивость его работы и эффективность будущего развития.

С актуарной точки зрения страховые премии дожны соответствовать ожидаемым выплатам, отражая финансовую устойчивость страховых операций. Это означает, что оценка страховой премии дожна основываться на прогнозе будущих выплат: премии рассматриваются не столько как цены на специфические страховые услуги, сколько как оценки будущего риска, базирующиеся на указанном прогнозе. Такое положение дел требует разработки специфических методов оценивания страховых премий и их компонентов, основанных на экономико-математических моделях прогнозирования основных характеристик страховых выплат.

Важной характеристикой подобных моделей дожен быть учет особенностей страховой статистики, используемой для установления значений параметров моделей. Среди указанных особенностей для краткосрочного страхования, прежде всего, следует назвать ограниченность объема статистики (малые выборки) и наличие достаточно сложных форм зависимости данных. В ряде случаев это делает неприменимыми классические подходы к оцениванию (в частности, оценки получаются статистически незначимыми), так что

возникает дефицит инструментария для научно обоснованной оценки страховых премий.

Таким образом, необходимость диссертационного исследования обусловлена важностью разработки вопросов оценки страховых премий для страховой организации, в частности занимающейся краткосрочными (имущественными) видами страхования. Для обеспечения финансовой устойчивости страховой организации и обеспечения экономических интересов ее клиентов указанные вопросы дожны решаться на хорошо проработанной научной основе с учетом практических особенностей работы страховщика (например, для случаев ограниченности объема данных и наличия различных форм зависимости в них).

Это определяет выбор темы данного исследования, которое направлено на решение важной научной проблемы - развитие теории и методологии актуарных расчетов с целью создания универсальных методов прогнозирования страховых премий, учитывающих ограниченность данных о прошлых выплатах (малые выборки) и наличие сложных форм зависимости между ними.

Степень разработанности проблемы. Методологической основой диссертации послужили работы российских и зарубежных специалистов по оценке страховых премий, фундаментальные исследования по актуарному анализу, исследованию операций и математической статистике.

Имеется обширная литература по вопросам оценки страховых премий, особенно в контексте оценивания премий с учетом качества данных: традиционно используемые подходы в данной области развивали такие российские и зарубежные авторы, как В.Н. Баскаков, А. Бейли, X. Бюльманн, Г. Вентер, Х.-У. Гербер, А. Гислер, М. Гоовэртс, Д. Данненбург, Ф. Де Вильдер, Д.В. Денисов, У. Джеуел, С.К. Завриев, И.Б. Котлобовский, В.Ю. Королев, Э. Кремер, Т. Мак, Г. Малер, В.В. Новиков, Р. Норберг, Б. Сундт, Г. Тейлор, Б. де Финетги, Ч. Хахемайстер, М. Харди, Б. Ценвирт, В.П. Чернов, Э. Штрауб.

Указанные авторы основное внимание уделяли моделированию ситуаций возникновения ущерба, демонстрирующих поведение, близкое к идеальному. Прежде всего, речь идет об использовании предпосылок о достаточно простых формах зависимости между выплатами и об определенных типах выборочных оценок.

В последние годы делались попытки разработки более реалистичных моделей. Среди авторов новой воны можно назвать К. Антонио, И.Ю. 4

Бардина, К. Болансе, Э. Вальдеса, J1. Вэня, X. Гарридо, Э. Гомеса-Дениса, М. Денуи, М.В. Ермолаеву, Б. Йохансена, 3. Ландсмана, М. Мерца, В. Нойхауса, Е. Ольсона, Э. Фриза, В. Янг. Однако построить актуарные модели оценки страховых премий, обеспечивающие универсальность и достаточную широту диапазонов их применения, пока не удалось: практика страхования демонстрирует намного более широкий круг ситуаций по сравнению с теми, для которых до сих пор предлагася подходящий экономико-математический инструментарий оценивания. Методы, применяемые актуариями, все еще носят частный характер и ориентированы на достаточно узкие наборы практических ситуаций.

В области математической статистики был предложен ряд подходов, которые могли бы помочь преодолеть дефицит инструментария, используемого актуариями. В первую очередь, следует обратить внимание на работы К. Банерджи, Й. Грасса, М. Грубера, И.А. Ибрагимова, P. Kappa, Р. Кёнкера, Р. Кеннарда, Т. Кубокавы, Ч. Морриса, Дж. Нельдера, К. Отани, К.Р. Pao, П. Руссеева, А.К.Мд.Е. Салеха, К. Стейна, Б. Свинделя, JI. Фирингегга, А. Хёр-ла, X. Цукумы, Б. Эфрона. Однако со стороны актуариев и других специалистов в области экономико-математического моделирования страховых и финансовых операций не предпринималось усилий к исследованию возможности и диапазона применения соответствующих результатов и их адаптации для прогнозирования размера страховых премий.

В целом, применяемые до настоящего времени модели и методы не позволяют в поной мере учесть особенности данных, имеющих место в страховой практике. Это оставляет простор для разработки новых подходов в данной области.

Цель и задачи исследования. Цель исследования состоит в разработке и развитии комплекса экономико-математических моделей актуарной оценки страховых премий и в выявлении диапазонов применения альтернативных подходов с учетом ограниченности объема страховых данных и сложных форм их зависимости. В рамках исследования поставлены и решены следующие задачи:

Х уточнить роль и место актуарных методов в процессах принятия решений по прогнозированию страховых премий;

Х выявить особенности страховой статистики, используемой для оценки параметров экономико-математических моделей страховых премий и на этой

основе установить границы и диапазоны применения актуарных методов, традиционно используемых на практике;

Х изучить механизмы влияния характеристик риска на вид оценки ожидаемой нетго-премии;

Х показать, что зависимость между факторами риска, не имеющими количественного выражения, не влияет на вид оценки ожидаемых нетто-премий;

Х исследовать особенности оценки премий при ограниченном объеме данных для определенных типов ковариационных матриц (в рамках разработки и развития прикладной статистики как аппарата актуарного анализа страховых операций);

Х предложить основные подходы к получению прогнозов страховых премий при наличии мультиколинеарности факторов риска и выявить диапазоны их применения;

Х изучить особенности и диапазоны применения оценок Джеймса - Стей-на для оценивания страховых премий, что позволит расширить аппарат актуарного анализа страховых операций;

Х обосновать и разработать метод оценки нетто-премии на основе применения квантильной регрессии, что обеспечивает развитие методов эконометрики и прикладной статистики как инструментария актуарного анализа страховых операций.

Объектом исследования является страховая организация, занимающаяся краткосрочными (имущественными) видами страхования, в части выпонения ею одной из основных функций - ценообразования по вновь заключаемым договорам на основе актуарных моделей и методов.

Предметом исследования являются процессы возникновения будущего ущерба и, соответственно, прогнозирование ряда характеристик будущих страховых выплат в целях ценообразования на основе системы экономико-математических актуарных моделей оценки страховых премий с учетом особенностей страховой статистики, прежде всего малого объема выборок и наличия сложных форм зависимости между данными.

Методическую и теоретическую основу исследования составили принципы построения моделей актуарного анализа страховых операций, а также аппарат эконометрики и прикладной статистики. При разработке новых методов оценивания страховых премий использовались различные методологические подходы и методы научного познания, в том числе системного ана-6

лиза, теории вероятностей и математической статистики, регрессионного анализа и имитационного моделирования. Для проверки моделей на реальных примерах и проведении имитационных исследований использовалось стандартное программное обеспечение MS Excel VBA.

Информационную основу исследования составили практические данные, предоставленные крупными российскими страховыми организациями по своим страховым портфелям. Эти данные использованы как основа для выявления особенностей реальной страховой статистики и проверки применимости методов прогнозирования страховых премий, разработанных в диссертации.

Научная новизна диссертации состоит в построении комплекса новых экономико-математических актуарных моделей оценки премий с учетом качества данных для ситуаций с различными структурами зависимости в используемой статистике в условиях ограниченности ее объема, а также в определении условий и границ применения ряда статистических методов, которые ранее в области страхования не использовались.

Наиболее существенными являются следующие результаты диссертационного исследования, полученные лично соискателем и выносимые на защиту:

1. По-новому рассмотрены роль и место экономико-математических актуарных методов в процедурах принятия решений о размере страховых премий по вновь заключаемым договорам страхования. Показано существенное усиление ведущей роли актуарных методов в целом как основного инструмента научного обоснования управленческих решений в страховании. При этом значение методов оценки страховых премий еще больше возрастало в связи с тем, что прогнозирование премий важно для обеспечения финансовой устойчивости страховщиков. Предлагаемые в работе актуарные методы позволяют повышать качество таких прогнозов по сравнению с результатами исследований X. Бюльманна, Х.-У. Гербера, А. Гислера, М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуела, Э. Кремера, Р. Норберга, Б. Сундта, Г. Тейлора и Б. Ценвирта. В результате использования разработанных в диссертации методов управление страховыми организациями дожно значительно улучшаться.

2. Выявлена и проанализирована специфика информационного обеспечения экономико-математических актуарных моделей прогнозирования страховых премий по краткосрочным видам страхования. В частности, показано, что

в процессе построения и практического применения указанных моделей ключевую роль играют такие особенности страховой статистики, как неоднородность данных, малый и сверхмалый объем выборки, наличие разных форм зависимости в наблюдаемых данных. Не все из них (в первую очередь, сложные формы зависимости) учитываются в традиционно используемых актуариями методах оценки страховых премий, разработанных А. Бейли, X. Бюльманном, Г. Вентером, Л. Вэнем, X. Гарридо, А. Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Даннен-бургом, М. Денуи, Ф. Де Вильдером, У. Джеуелом, Э. Кремером, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Ч. Хахемайстером, М. Харди, Б. Цен-виртом и Э. Штраубом, что существенно ограничивает диапазоны их применения. На этой основе обнаружены области и наборы практических ситуаций, для которых требуется разработка новых методов, предложенных в работе.

3. Впервые проанализированы прямой и косвенный механизмы влияния характеристик страхового риска на вид оценки ожидаемой нетто-премии, а также взаимное соотношение указанных механизмов. Показано, что прямой механизм оценки не учитывается в методах оценки страховых премий, разработанных А. Бейли, X. Бюльманном, А. Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Даннен-бургом, Ф. Де Вильдером, М. Денуи, У. Джеуелом, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстером, М. Харди, Б. Ценвиртом и Э. Штраубом, что снижает их практическую ценность. Тем самым выявлена и обоснована необходимость разработки новых актуарных методов, учитывающих наличие сложных форм статистической зависимости в страховых данных.

4. Доказано, что прогноз премии (вид формулы оценки наименьших квадратов) определяется особенностями воздействия на наблюдаемые данные о выплатах количественно неизмеримых факторов риска, но не наличием и характером зависимости между указанными факторами. Это означает, что предпосыки модели о механизме взаимосвязи таких факторов не являются ключевыми, и, игнорируя их, можно в определенной степени упрощать постановки соответствующих экономико-математических моделей и снижать требования к информационному обеспечению процесса оценки страховых премий, что важно для практических приложений. Кроме того, полученная формула обобщает результаты Э. Вальдеса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуела, Б. Сундта и Б. Ценвирта.

5. Впервые разработана модель оценивания страховых премий по данным из малых выборок для ковариационных матриц со специальной гребневой структурой. Для этого случая получена оптимальная оценка (в смысле обычного квадратичного критерия), которая позволяет учесть более широкий набор форм зависимости данных, чем традиционный подход. Оптимальность оценки доказана в виде математического утверждения. Подобная модель отвечает более широкому кругу практических ситуаций, чем традиционно используемые методы, предложенные X. Бюльманном, X. Гарридо, Х.-У. Гер-бером, А. Гислером, Э. Гомесом-Денисом, М. Гоовэртсом, Ф. Де Вильдером, М. Денуи, У. Джеуелом, Э. Кремером, Т. Маком, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстером, М. Харди и Б. Ценвиртом.

6. Впервые построены регрессионные модели оценки премий с учетом качества данных с целью получения методов, нечувствительных к наличию мультиколинеарности, которая встречается в реальной страховой статистике. Это принципиально отличает предлагаемые модели от результатов исследований М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуела, Э. Кремера, Р. Норбер-га, Б. Сундта и Ч. Хахемайстера. Определены диапазоны применения методов, разработанных в диссертации, в связи с необходимостью использования допонительной информации об особенностях тарифной системы. На этой основе предложены рекомендации по выбору соответствующих методов и их применению для прогнозирования размера будущих страховых выплат и, следовательно, размера страховых премий.

7. Разработаны новые методы прогнозирования ожидаемых нетто-премий на основе оценок Джеймса - Стейна, используемых в математической статистике. С помощью имитационного моделирования (метод Монте-Карло) показано, что их применение позволяет лучше учесть вид зависимости в данных о выплатах и повысить точность прогноза страховой премии (в смысле минимизации квадратичной ошибки оценки) по сравнению с результатами А, Бей-ли, X. Бюльманна, Л. Вэня, Х.-У. Гербера, А. Гислера, М. Гоовэртса, Ф. Де Вильдера, У. Джеуела, Э. Кремера, Г. Малера, Р. Норберга, Б. Сундта, Г. Тейлора, Б. де Финетти, Ч. Хахемайстера, М. Харди, Б. Ценвирта, Э. Штрауба и В. Янг.

8. Показаны особенности применения метода квантильной регрессии в данной области приложений. Предложены модификации данного метода, позволяющие оценивать не только ожидаемые нетто-иремии, но и рисковые

надбавки, что дает возможность системно решать с помощью одного подхода несколько взаимосвязанных задач прогнозирования страховых премий. Определены возможности и диапазоны применения методов квантильной регрессии в данной области, показаны преимущества их использования по сравнению с традиционными подходами (с регрессионными моделями на основе метода наименьших квадратов и с обобщенными линейными моделями), которые применялись А. Гислером, М. Гоовэртсом, Д. Данненбургом, Ф. Де Вильдером, У. Джеуелом, Э. Кремером, 3. Ландсманом, М. Мерцем, В. Ной-хаусом, Р. Норбергом, Б. Сундтом, Г. Тейлором, Э. Фризом, Ч. Хахемайсте-ром и Б. Ценвиртом.

Область исследования. Полученные новые результата соответствуют Паспорту специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики, а именно пунктам:

1.1. Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании - результат 4 (частично);

1.2. Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей -результаты 1,2 и 3;

1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов - результаты 4 (частично), 5,6,7 и 8.

Обоснованность и достоверность полученных результатов. Обоснованность результатов и выводов исследования определяется методологией проведенного исследования, понотой анализа теоретических и практических разработок; использованием адекватных предпосылок предлагаемых экономико-математических актуарных моделей оценки страховых премий, определением границ их применения, аргументированным процессом их формализации и интерпретации результатов; корректным применением современных методов обработки данных исследования на основе математической статистики и эконометрики, проведением проверок с помощью имитационного мо-10

делирования на базе статистических данных по реальным страховым портфелям.

Достоверность обеспечивается путем систематичного построения комплекса предложенных экономико-математических моделей и корректного использования математических методов при исследовании этих моделей. Основные положения работы, связанные с новыми типами предлагаемых оценок страховых премий, сформулированы в виде утверждений и доказаны. Результаты соответствуют статистическим данным. Оценки, полученные предлагаемыми в работе методами, имеют более узкие доверительные интервалы по сравнению с традиционными актуарными методами, что обеспечивает более высокую статистическую значимость этих оценок.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что она способствует развитию научных знаний в области теории и методологии актуарного анализа, углубляя и развивая отдельные теоретические положения и экономико-математический инструментарий моделирования страховых операций за счет создания комплекса взаимосвязанных моделей и методов прогнозирования страховых премий, учитывающих ограниченность данных о прошлых выплатах (малые выборки) и наличие сложных форм зависимости между ними. В основу предложенных методов положены новые экономико-математические модели оценки страховых премий по краткосрочному страхованию. Кроме того, при их построении обсуждаются вопросы применимости нового (для актуарного анализа) математического аппарата: оценок Джеймса - Стейна и квантнльной регрессии.

Практическая значимость работы заключается в том, что решаемая в диссертации научная проблема имеет важное хозяйственное значение, связанное с получением более точных и достоверных прогнозов размера страховых премий и в более широких диапазонах их применения по сравнению с методами, используемыми актуариями до настоящего времени. Предложенные в диссертации методы могут быть непосредственно использованы в работе страховых организаций, что позволяет:

Х принимать во внимание больший объем количественной и качественной информации при принятии решений о размере страховых премий, что повышает их достоверность и обоснованность;

Х расширить инструментарий экономико-математических моделей и методов актуарного анализа, с помощью которого актуарий может прогнозировать размер страховых премий;

Х повысить точность прогнозирования будущих выплат и корректность процедур ценообразования, что обеспечит более высокую финансовую устойчивость работы страховых организаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем диссертации составляет 332 печатных страницы (включая 41 страницу Приложения). Список литературы включает 499 наименований, в том числе 463 на иностранных языках.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулирована научная проблема, решаемая в диссертационном исследовании, поставлены цели и задачи исследования, определены научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

В первой главе анализируется процесс принятия решений относительно размера страховой премии и рассматриваются методологические основы актуарного моделирования страховой премии. В частности, показано, что хотя сфера актуарного анализа в последние десятилетия расширялась, задача оценки страховой премии остается центральной. В этой связи подробно проанализированы процессы ценообразования страховых услуг, на основе чего выделены особенности и место актуарного подхода для оценки страховых премий. Соответственно, ценообразование страховых услуг (и актуарная оценка премий как его база) не может рассматриваться как изолированная функция страховщика. Процедура оценки страховой премии включает не только технические, но и управленческие аспекты. В работе обоснованы и выделены такие особенности страховой статистики, как неоднородность страхового портфеля, ограниченность объема страховых данных и наличие сложных форм зависимости в них. Учет этих особенностей важен для получения более точных оценок, лучшего понимания специфики страховых операций и для принятия управленческих решений.

Во второй главе содержится обзор литературы по существующим методам прогнозирования премий в условиях дефицита информации и по некоторым аспектам регрессионного анализа. Показано, что до настоящего времени разработано много различных вариантов актуарных методов оценки премий с 12

учетом качества данных, включая и регрессионные постановки. Они позволяют учесть две особенности страховых данных (неоднородность страхового портфеля и ограниченность объема данных), но исходят из очень специфических представлений о форме зависимости Ч так называемой условной независимости, которая редко встречается в страховой практике. Такое положение дел означает, что требуется разработка методов для более общих форм зависимости в данных о выплатах и факторах риска. В данной главе также рассмотрены некоторые специальные модели регрессии, на основе которых в диссертации разработаны методы актуарных расчетов.

Третья глава посвящена вопросам учета различных аспектов проявления зависимости при оценке премий. Доказано, что на вид оценки не влияет характер зависимости между факторами риска, не имеющими количественного выражения, а важно их соотношение с наблюдаемой статистикой выплат. На основе развития аппарата прикладной статистики для актуарного анализа страховых операций, получена формула оценки премий для более общей ковариационной матрицы данных о страховых выплатах. Исследован вопрос о получении прогноза в регрессионных моделях при наличии мультиколине-арности в данных. На основе этого разрабатываются новые актуарные методы оценки страховых премий при наличии сложных форм зависимости в данных из малых выборок.

В четвертой главе исследован вопрос о возможностях применения нового в данной области аппарата математической статистики: оценок Джеймса - Стейна и квантильной регрессии. Изучен вопрос о границах их применимости для прогнозирования страховых премий. Показано, что при определенных условиях эти подходы дают более точные результаты и проще интерпретируются по сравнению с методами, традиционно используемыми актуариями до настоящего времени. Даны рекомендации по применению на практике предложенных подходов.

В приложении содержится код программ на языке VBA, использованных для проведения имитационного исследования сферы применения предлагаемых методов.

Публикации по теме исследования. По теме диссертации опубликовано 30 научных работ общим объемом 37,79 п.л., включая 13 работ - в изданиях, рекомендованных ВАК и приравненных к ним, объемом 10,48 п.л.

Апробация и реализация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

1. 28-й Международный конгресс актуариев. 28 мая - 2 июня 2006 г., Париж, Франция;

2. 11-й Международный конгресс Страхование: математика и экономика. 10-12 июля 2007 г., Пирей, Греция;

3. Всероссийский макросимпозиум Инновационная экономика: проектные решения и управление рисками. 19-24 мая 2009 г., С.-Петербург, Россия;

4. 13-й Международный конгресс Страхование: математика и экономика. 27 - 29 мая 2009 г., Стамбул, Турция;

5. 29-й Международный конгресс актуариев. 7-12 марта 2010 г., Кейптаун, ЮАР;

6. 14-й Международный конгресс Страхование: математика и экономика. 17-19 июня 2010 г., Торонто, Канада;

7. Международная научная конференция, посвященная 70-летию со дня основания Экономического факультета СПбГУ. 14 - 15 октября 2010 г., С.Петербург, Россия;

8. 5-я Ежегодная конференция Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе 15 - 16 апреля 2011 г., С.Петербург, Россия;

9. 15-й Международный конгресс Страхование: математика и экономика. 15-17 июня 2011 г., Триест, Италия;

10. 40-я Международная конференция Колоквиум АБИМ. 20 - 22 июня 2011 г., Мадрид, Испания.

Отдельные положения исследования также обсуждались на следующих научных семинарах:

1. Семинар Факультета теоретической и прикладной экономики Католического университета в Лёвене, Бельгия, ноябрь 2009 г.;

2. Межкафедральный научный семинар Экономического факультета СПбГУ, С.-Петербург, сентябрь 2010 г. и май 2011 г.;

3. Семинар кафедры исследования операций в экономике им. проф. Ю.А. Львова СПбГИЭУ, С.-Петербург, март 2011 г.

Результаты, полученные в диссертационной работе, реализованы и внедрены в ОАО ГСК "Югория" для оценки страховых премий и совершенствования процедур принятия решений в данной области.

И. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Роль и место экономико-математических актуарных методов в процедурах принятия решении о размере страховых премий по вновь заключаемым договорам страхования.

Актуарный анализ представляет собой специфическую функцию страховщика, направленную на научное обоснование страховых и смежных операций на основе методов экономико-математического моделирования. При этом он использует не только количественные оценки, на которые изначально ориентирован, но и качественную информацию о рисках, особенностях дизайна страхового продукта и закономерностях развития страховых рынков.

Методы актуарных расчетов как инструменты экономического анализа в последнее время активно развивались. Это также сопровождалось прошедшей в последние 30 лет сменой концепции актуарного анализа, который превратися в подход к управлению и прогнозированию финансового состояния страховой организации на основе детального изучения денежных потоков, порождаемых ее страховым и инвестиционным портфелями, с учетом различных видов рисков и неопределенности ведения страхового бизнеса. Согласно этой концепции применение актуарных моделей и методов рассматривается как неотъемлемая часть системы принятия решений в страховых организациях, а сами модели и методы играют все более важную роль как инструмента обоснования указанных решений.

Вместе с тем, такая задача, как оценка страховых премий и, соответственно, обоснование тарифной системы страховой организации в целом, осталась основой актуарных методов. С одной стороны, сохраняется необходимость в регулярном определении актуарно обоснованных (технических) премий по различным группам страховых договоров, которые отражают обязательства и риски, принятые страховой организацией. Они играют важную роль как в ценообразовании, так и в понимании особенностей страхового портфеля в целом. С другой стороны, большинство новых актуарных задач в

области финансового менеджмента не могут быть решены без изучения соотношения обязательств страховой организации и полученных ею премий. Иными словами, важность точного прогнозирования страховых премий не только не снизилась в связи с появлением новых актуарных задач, но даже повысилась.

С точки зрения оценки премий как базовой функции страховщика следует противопоставлять актуарный (технико-экономический) подход, основанный на прогнозе будущих страховых выплат, и маркетинговый (финансово-экономический) подход, отражающий, с одной стороны, идею влияния конкуренции на ценообразование, связанную с предлагаемыми на рынке тарифами, а с другой, - поведенческие аспекты, определяющие реакцию клиентов на уровень тарифов и их изменение. Их согласование - отдельный управленческий процесс в рамках страховой организации, требующий большого внимания со стороны менеджмента и определяющий ряд особенностей актуарного моделирования.

Процедуры согласования могут быть внешними, когда актуарно обоснованная премия уточняется с учетом рыночных ограничений. Такая форма согласования принимает форму взаимодействия между различными подразделениями страховой организации и требует принятия управленческих решений. Другие формы согласования - внутренние - часто представляют собой модификацию экономико-математических методов оценки премий, в которых учитываются критерии и ограничения обоих типов.

В этих условиях резко возрастают требования к качеству используемых актуариями моделей и точности получаемых на их основе прогнозов и рекомендаций по принятию управленческих решений. В частности, актуарию важно не просто продемонстрировать полученные оценки премий, но и показать (спрогнозировать), каким образом их использование повлияет на финансовое положение страховой организации. Это подразумевает, что задача оценки страховых премий дожна согласовываться с целями финансового анализа страховых операций, а точность прогнозов (ошибки моделирования и интерпретации его результатов) играют ключевую роль для принятия решений финансового характера.

Логика построения актуарных моделей оценки премий состоит в том, что в первую очередь во внимание принимается объем обязательств, взятых на себя страховщиком. Соответствие премий принятым обязательствам явля-16

ется ключевым требованием применения актуарного подхода, обеспечивающим финансовую устойчивость страховых операций. Обязательства, принятые на себя страховщиком, отражаются в будущих страховых выплатах. Поэтому прогноз будущих страховых выплат обеспечивает основу оценки страховых премий, особенно их основного компонента - ожидаемых нетто-премий. В свою очередь, полученные оценки страховых премий могут использоваться как параметры более сложных финансовых моделей страховой организации.

Актуарные модели оценки страховых премий основаны на анализе статистики страховых выплат. Применение методов математической статистики всегда связано с некоторой неточностью прогноза, обусловленной ограниченностью данных и качеством методов оценивания. В силу специфики страховых данных обеспечение последнего приобретает особую важность при выборе подходящего актуарного метода.

Вместе с тем, актуарные методы, разработанные и используемые до настоящего времени, в первую очередь ориентируются на применение для массовых видов страхования, для которых характерен достаточно высокий уровень информационного обеспечения. Остальные виды страхования анализируются с помощью упрощенных подходов со сниженной точностью прогнозирования. В связи с этим возникает необходимость разработки комплекса новых экономико-математических актуарных моделей и методов для тех видов страхования, для которых имеются допонительные сложности и непонота информационного обеспечения. Такие новые методы позволят увеличить точность оценок страховых премий, а следовательно еще более повысить роль актуарного моделирования при принятии управленческих решений в страховых организациях.

2. Специфика информационного обеспечения экономико-математических актуарных моделей прогнозирования страховых премий по краткосрочным видам страхования.

Актуарный, технико-экономический подход к оценке премий требует проведения детальной классификации данных и анализа факторов риска (как качественного, так и количественного). Цель такой детальной классификации состоит в точном соотнесении особенностей риска для принимаемого на страхование объекта и его оценки в виде страховой премии.

В этой связи особенности страховой статистики играют ключевую роль при конструировании актуарных моделей оценки премий, в том числе и при оценке их параметров. Необходимость учета таких особенностей связана с тем, что при решении практических актуарных задач, включая прогнозирование размера страховых премий, речь идет об обосновании конкретных управленческих решений. Соответственно и к применяемым методам прогнозирования предъявляются особые требования к точности получаемого результата, что делает важным учет всех тонкостей и аспектов изучаемого процесса. Поэтому создание и практическое применение таких методов, которые принимают во внимание особенности страховых данных, представляется важной методологической задачей развития экономико-математического моделирования в данной области.

Проведенный анализ позволил выявить три основных особенности страховых данных, важных для построения актуарных моделей для краткосрочного страхования: ^неоднородность страховых портфелей, т.е. наличие в них принятых на страхование объектов с разными рисками возникновения ущерба, в связи с чем актуарию приходится иметь дело с выборками, в которых наблюдения принципиально отличаются друг от друга, но неизвестно, как и насколько сильно;

2) ограниченность объема данных (малые выборки), связанная с особенностями сбора статистики, в результате чего стандартные оценки, например среднее выборочное, часто являются статистически недостоверными;

3) наличие зависимости между объектами, принятыми на страхование, что порождает сложные формы зависимости в данных о выплатах и неочевидный характер влияния на них факторов риска.

Эти особенности усиливают негативные эффекты информационной асимметрии при проведении страховых операций.

Первые две особенности частично учитываются в актуарных методах, традиционно используемых для оценки страховых премий. Их одновременное проявление означает, что актуарий стакивается со следующей дилеммой. С одной стороны, он может использовать данные только по интересующему его объекту, что обеспечивает качественную адекватность оценки, но вызывает сложности со статистической достоверностью, так как из-за небольшого объема данных статистические свойства оценки будут довольно плохими, в част-18

ности, доверительные интервалы будут слишком велики. С другой стороны, использование статистики по нескольким застрахованным объектам обеспечит необходимый объем выборки, так что оценка формально будет впоне удовлетворительной, но она, скорее всего, будет неадекватной вследствие использования информации о неоднородных объектах. Важным аспектом адекватности данных является наличие качественной (нечисловой) и неформали-зуемой информации, которую сложно учесть в рамках стандартных статистических процедур, но которая влияет на отношение актуария к полученным оценкам.

Эта дилемма, возникающая из-за малого объема выборок, не имеет однозначного решения, т.к. в ее основе лежат частично противоречащие друг другу критерии: статистическая достоверность и качественная адекватность. С практической точки зрения оба критерия важны для окончательного принятия решений, так что их часто объединяют в единое понятие, называемое качеством данных или степенью доверия к данным. Таким образом, часто речь идет о подходящем компромиссе между оценками.

Третья особенность - наличие сложных форм зависимости - еще больше усложняет процесс оценки, изменяя характер представленной ранее дилеммы и порожденного ею компромисса оценок. Действительно, наличие зависимостей позволяет лучше обосновать применение более широкого набора данных, но может изменить форму использования последних. Это требует разработки новых или существенной модификации старых подходов. Кроме того, можно также предусмотреть учет качественной (нечисловой) информации о зависимостях. Данная особенность страховой статистики слабо учитывается в актуарных методах, используемых на практике в настоящее время.

Типичная структура наблюдаемых страховых данных и прогнозируемых величин представлена в табл. 1. Неоднородность связана с различиями факторов риска / = 1,2,..., т, и большим значением т. Ограниченность объема данных (малость выборки) определяется небольшим значением п (менее 30 значений, а в некоторых практических ситуациях - даже 2 - 5), которое часто понимается как количество наблюдений во времени за объектом, принятым на страхование. При этом между данными о страховых выплатах х = (*1д,..., хтп) (Хц - объем выплат по г'-му договору в у'-й период) часто наблюдаются различные формы зависимости.

Таблица 1. Типичная структура наблюдаемых страховых данных и прогнозируемых величин

Ненаблюдае- Имеющаяся статистика Прогнозируемая

Дого- мая характе- страховых выплат величина

вор, ристика Период, /

риска, 0j 1 2 п 71 + 1

1 Si *i,i х1,2 х1,п *l,n+l = Е х1,п+1 |х

2 02 *2,1 х2,2 х2,п *2,n+l = Е *2,n+llx

m 0m хт, 1 хт,2 хт,п хт,п+1 = Е Xm n+i |Х

Модель оценивания предполагает нахождение оптимальной оценки для критерия минимума ошибки прогнозирования. Чаще всего, минимизируют квадратичный критерий вида

L(S(x), ц(0)) - (5(х) - ц(6))2 min, где 8(х) - искомая оценка как функция наблюдений х, а ц(0) - истинное значение оцениваемого параметра (в актуарных приложениях обычно, математического ожидания) как функция ненаблюдаемых факторов риска 0 = (0!,..., 0т). Для уменьшения числа параметров часто берется математическое ожидание по х и 0, что соответствует байесовскому подходу к статистическому оцениванию.

Ограниченность выборки часто не позволяет использовать стандартные статистические подходы к анализу зависимостей. Это также имеет место при использовании традиционных актуарных методов, известных как оценка премий с учетом качества данных (credibility estimation). Таким образом, возникает необходимость разработки новых методов обоснования размера страховой премии, учитывающих все три особенности страховых данных.

Методы оценки премий с учетом качества данных частично учитывают неоднородность и малый объем выборки, но игнорируют наличие сложных форм зависимости (о которых априорно известно, что они существуют), сводя все к довольно простым случаям. В частности, стандартной предпосыкой подобных моделей является наличие зависимости специального вида - условной независимости. Соответствующие методы состоят в получении оптимальной компромиссной оценки xin+1 по формуле

xUn+1 = Zxt + (1 - Z)x,

где 1 - так называемый коэффициент Бюльманна, определяющий характер компромисса, О < 1 < 1, - индивидуальное среднее (по /-му договору), х -групповое среднее (по портфелю в целом). Различные формулы для 1 определяются разными наборами предпосылок моделей оценивания.

Основная сложность с традиционно используемыми актуарными методами состоит в недооценке сложных форм зависимости, которые имеют место на практике. Указанная сложность усиливается ограниченностью данных.

Таким образом, выявлены существенные ограничения в диапазонах применения методов оценки страховых премий, традиционно используемых актуариями: они ориентированы на более узкий круг ситуаций по сравнению с тем, что встречается на практике. Это требует модификации известных подходов и разработки новых методов оценивания.

3. Прямой и косвенный механизмы влияния характеристик риска на вид оценки ожидаемой нетто-премии, а также взаимное соотношение указанных механизмов.

Традиционные актуарные модели с учетом качества данных предполагают весьма специфическую форму зависимости данных - так называемую условную независимость. Для нее предполагается специфический тип взаимного влияния прошлых и будущих выплат Ч только через факторы риска 0 = (й!,..., от). В работе такой тип влияния называется косвенным.

Тем не менее, на практике часто встречаются более общие формы зависимости. Они основываются на некоторой форме условной зависимости между прошлыми страховыми выплатами X = (Х^, ...,Х1п, ...,Хт1, ...,Хтп) и будущим ущербом Хп+1 = (Х1п+1, ...,Хтп+1). Отражением такой зависимости могут быть ненулевые условные корреляции, так что такой тип влияния называется прямым.

Идея противопоставления указанных типов зависимости проилюстрирована на рис. 1. Модели с учетом обоих типов зависимости, очевидно, будут более точными и адекватными реальной практике, так что их разработка представляется важной задачей развития актуарных методов.

Страховую выплату можно представить как Хц = Ц + + где к -номер анализируемой группы застрахованных объектов (договора или под-портфеля), 1к - компонент, описывающий различия между группами, а -компонент, моделирующий вариацию между анализируемым группами. В

случае (условной) независимости, естественным выбором в модели будут Пк = Е[ХЛу|0] -|1И = Хк] Ч Е[*к;|0]. Тогда разложение дисперсии будет идеальным, т.к. = 0, ], и Соу[2л, = 0. Последнее условие, тем не менее, не выпоняется, если структура зависимости более общая (т.е. присутствует условная зависимость между данными о страховых выплатах), как это часто бывает в реальных ситуациях. В этом случае компонент Пк разделяется на две части: (а) По = Е 10, X] Ч ц для чистой межгрупповой вариации и (Ь) = |й] Ч Е[Х^; |0,Х] для внутригрупповой вариации, порождаемой корреляциями между данными. Первая связана с косвенным влиянием, а вторая - с прямым. При (условной) независимости 1* = 0 и следовательно 2о = Пк;-. Разложение Пк;- = Оо + обеспечивает более точный прогноз Хкпри общей структуре зависимости.

Классические модели с учетом качества данных:

Прошлые выплаты (наблюдаемые данные х)

прямое влияние

запрещено предпосыл-

Модели без предположения об условной зависимости:

Прошлые выплаты (наблюдаемые данные X)

I прямое влияние Со^ХД,,

Рис. 1. Противопоставление двух подходов на основе механизма влияния страховой статистики на прогноз страховой премии

На практике наличие обоих типов зависимости означает меньший сдвиг оценки в отношении величины р. и обеспечивает оценку, которая будет ближе к выборочному среднему. Различия в сдвиге пропорциональны > 0.

Важно, что соответствующий безразмерный коэффициент пропорциональности 0 < (В < 1 будет влиять на вид оценки.

4. Прогноз премии (вид формулы оценки наименьших квадратов) определяется особенностями воздействия на наблюдаемые данные о выплатах количественно неизмеримых факторов риска, но не наличием и характером зависимости между этими факторами.

Актуарии уделяют особое внимание анализу факторов риска вне зависимости от того, выражено ли их влияние на страховые выплаты количественно, или имеется только качественная информация. В последнем случае изучение таких факторов считается важным для понимания общей структуры зависимости. Кроме того, они могут играть техническую роль в байесовских и эмпирических байесовских схемах оценивания.

Зависимость между факторами риска нередко выражается в форме различных типов иерархии, определяющей характер влияния одних факторов на другие. Например, в автостраховании конструктивные особенности марок автомобилей часто важнее различий в риске, связанных с мощностью двигателя. Поэтому логично рассматривать марку как фактор риска более высокого уровня иерархии.

Важным вопросом прогнозирования страховых премий является следующий: будет ли меняться форма оценки при различном характере подобного влияния. Если ответ на этот вопрос положительный, то требуется подробное и углубленное изучение структур зависимости, что вызывает необходимость использования допонительных данных и расходования соответствующих ресурсов на их сбор и обработку. При отрицательном ответе такую информацию можно (в определенных пределах) игнорировать, что упрощает предпосыки моделей и позволяет обходиться меньшим объемом информации. В работе показано, что имеет место последний вариант.

В частности, в диссертации использован тот факт, что иерархическая модель оценки с учетом качества данных и модель с общими факторами описываются различными структурами зависимости между факторами риска, о которых имеется только качественная информация. Тем не менее, они в ряде случаев приводят к одинаковым (эмпирическим байесовским) оценкам средних выплат. В диссертационной работе показано, что этот факт не является случайным и отражает общее свойство структуры страховых данных, что является важным результатом для развития методов актуарного анализа.

Для исследования вопроса о характере влияния указанных факторов риска на форму оценки будущих выплат рассмотрена общая модель, вклю-

чающая и иерархическую структуру, и наличие общих эффектов (см. рис. 2). При этом Хц и Хк; - случайные величины, описывающие наблюдаемые страховые выплаты по договорам и к (на рисунке показаны два их многих), Дг и Дк - специфические (для договоров) факторы риска, П - фактор риска, общий для всех договоров, а Ч* - фактор риска более высокого уровня иерархии. Использование здесь обозначений, отличных от й, позволяет подчеркнуть разный характер их влияния на страховые выплаты.

Для того чтобы показать, что характер зависимости между факторами риска, не имеющими количественного выражения, не влияет на форму оценки, рассмотрена следующая схема зависимости на основе нормального (гаус-совского) распределения, обозначаемого далее N(Х,0. Характер влияния фактора более высокого уровня иерархии на специфические и общие факторы риска (Д; и П соответственно) описывается технической переменной со, которая будет равна нулю, если случайные величины ПиЧ* независимы, и единице, если А[ не зависит от Промежуточные значения ш будут характеризовать наличие зависимости обоих типов. Для нее доказано следующее утверждение:

Утверждение 1. Система случайных величин, описывающих выплаты по страховому портфелю задана условиями:

1) + П, ст2), случайные величины Хц условно независимы (при ус-

ловии на Д( и П), = 1,2,..., т, ] = 1,2,..., и;

факторы риска, о которых

имеется только качественная информация

наблюдаемые данные о страховых выплатах

Рис. 2. Структура зависимости для иерархической модели с общими эффектами

2) A~N((o^ + (1 Ч w)4/,v2), случайные величины условно независимы (при условии на Ч*), i = 1,2,..., m;

3) n~N((l Ч (й)Цп + O^.S2);

4) - <Й|1д - (1 -

Тогда прогноз выплат xin+1 не зависит от параметров О), цд и Цп- Он определяется по формуле

Чп+1 = zt+ d ~ + (1 " Z2XZ3x + (1 - Z3)n)],

nv2 mns2 mnx2

2 Ч_ 2 =_ Z ~_

1 a2 + nv2 ' 2 a2 + nv2 + mns2 3 a2 + nv2 + mn(s2 -I- т2) '

При этом совокупное математическое ожидание при изменении со не меняется. Соответственно, отсутствие зависимости оценки (имеющей традиционную для актуарных расчетов форму среднего взвешенного) от данной технической переменной а) и частных математических ожиданий Цд и Цп означает, что достаточно уделять внимание лишь характеру влияния факторов риска, не имеющих выражения в форме количественных значений, на наблюдаемую статистику выплат. Это упрощает построение актуарных моделей прогнозирования, т.к. позволяет игнорировать соответствующую структуру зависимости между факторами риска, о которых имеется только количественная информация.

Вместе с тем, следует отдельно рассмотреть частный случай Ч* = П, т.к. при таком условии меняется совокупная дисперсия. Для этого рассмотрена упрощенная схема с технической переменной ш, которая управляет характером зависимости: при та = 0 получим классическую иерархическую постановку, при та = 1 - модель с общими эффектами, а при промежуточных значениях оба механизма влияния будут иметь место. Для данного случая доказано следующее утверждение:

Утверждение 2. Структура зависимости в страховом портфеле определяется условиями

1) + таП, а2), случайные величины Ху условно независимы (при условии на Aj и П), i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., n;

2) й~М(тп(1д + (1 Ч tn)n,v2), случайные величины условно независимы (при условии на П), i = 1,2,..., m;

3) A~N(|i Ч тацд,52).

Тогда прогноз xi n+1 не зависит от параметров та и цд. Он определяется по формуле

1 = Я + (1 - Z1)[Z2x + (1 - Z2M,

nv2 mns2

2 Ч_ 2. =_.

1 о2 + nv2 ' 2 a2 + nv2 + mns2'

Утверждение показывает, что в данном частном случае характер зависимости между факторами риска, о которых имеется только качественная информация, также не важен, как и в общем случае.

Таким образом, можно игнорировать характер взаимодействия факторов риска, не имеющих количественного выражения, или ограничиваться только качественными соображениями в данной области. Это упрощает постановки моделей оценивания и снижает требования к их информационному обеспечению.

5. Модель оценивания страховых премий по данным из малых выборок для ковариационных матриц со специальной гребневой структурой.

В диссертации получена оценка ожидаемой нетто-премии (математического ожидания будущих выплат) для ковариационной матрицы вида

аГ 4- ЬЛееДЛ + сееп, где Г и Л диагональные матрицы. Эта ковариационная матрица описывает зависимость между наблюдаемыми данными о страховых выплатах и имеет специальную гребневую структуру. Соответствующая матрица аГ + сееп, используемая в традиционных актуарных моделях, является ее частным случаем (Ь = 0). Оценка для более общей ковариационной матрицы получена в ходе доказательства следующего утверждения:

Утверждение 3. Если выпонены следующие условия:

1) E[Jf(] = М = 1,2.....п+ 1,

2) Cov(X,X|0) = аГ + ЬЛе1епЛ + сееп, где Г = ...,уп), Л = diag(A1( Х2.....AJ, а > 0, Ь > 0 и с > 0,

3) Соу[АД+г*п+11Х] = Ь$Летп + се, 0 < /? < 1,

то наилучшей линейной оценкой Яп+1Л'п+1 (в рамках метода наименьших квадратов) будет выражение

Z1X1+Z2X2 + (l-Z1-Z2)ii,

_ _ 1 S^Xi _ _ 1 Y

^-VoLj^-h.LЧ'

h0c(a + h2b - /ijbp) 1 ~ (a + h2b)(a + hДc) - hjbc

+ h0cP Ч hjc) Z* ~ (a + h2b){a + h0c) Ч h\bc

n Tl П X?

h0 = Y-,hi = У-= V-i-. ftYi

Иными словами, в утверждении доказывается, что оптимальной будет оценка традиционного вида, но результат получен для более общей ковариационной матрицы, предполагающей одну из форм прямого типа зависимости, которая не допускается в традиционном случае. Данная оценка также сводится к традиционной при отсутствии прямой формы зависимости. Формула получена с учетом возможности изменения соотношения между прямой и косвенной формами зависимости, которое определяется размером технического коэффициента (3. Традиционный подход может приводить к ошибочным или хотя бы не оптимальным оценкам, если имеет место какая-нибудь форма условной зависимости, что характерно для реальных данных.

В работе также рассмотрен случай с произвольной ковариационной матрицей который приводит к оценке

*п+1 = Е[*п+1|*] = E[*n+1] + п-^:(X - Е[Ш

где ? = Cov[Xn+1,X], а Е = Cov[X, X]. Эта оценка базируется на несколько иных предпосыках, чем в Утверждении 3, так что различия в форме объяснимы этим обстоятельством.

6. Регрессионные модели оценки премий с учетом качества данных с целью получения методов, нечувствительных к наличию мультикол-линеарности, которая встречается в реальной страховой статистике.

Оценка страховых премий как функции от количественно измеримых факторов риска, как правило, осуществляется с помощью регрессионных моделей. При этом полученные оценки коэффициентов регрессии являются ос-

новой для оценки поправочных коэффициентов к базовому значению премии, т.е. определяют основные свойства тарифной системы страховой организации.

На практике может встретиться ситуация, когда в используемых данных о численных значениях факторов риска встречается мультиколинеарность. Тогда классические модели регрессионного типа неприменимы: метод наименьших квадратов предполагает использование обратных матриц, которые в таком случае не существуют. На практике в такой ситуации часто приходится отказываться от использования регрессионных методов, что приводит к огрублению полученных оценок премий и усложняет проведение страховых операций.

В математической статистике для получения оценок при наличии муль-тиколинеарности применяются различные методы, которые в актуарной практике не используются. Это объясняется тем, что согласно традиционным представлениям актуарий дожен проводить многочисленные предварительные проверки (тестирование) данных. Тем не менее, набор данных по реальному страховому портфелю может включать большое число договоров или подпортфелей, так что подобные проверки требуют больших усилий и времени. Чем больше число договоров (подпортфелей), тем выше вероятность того, что в одном из них данные будут демонстрировать мультиколинеарность между факторами риска, в результате чего классический подход нельзя будет использовать для портфеля в целом. В этих условиях актуарий может предпочесть более простые методы анализа, которые используют меньше информации, но в силу этого менее точны.

В диссертационном исследовании проанализированы условия и границы применимости некоторых методов противодействия мультиколинеарно-сти (переход к главным компонентам, гребневая регрессия и решение недо-определенных систем линейных уравнений), что позволяет избежать предварительных проверок и предложить универсальные модификации регрессионных методов актуарных расчетов страховых премий. Это приводит к получению подходящих коэффициентов регрессии (а следовательно и обоснования поправочных коэффициентов к базовой премии) даже тогда, когда традиционные актуарные методы не срабатывают. Таким образом, обеспечивается более широкая сфера применения предлагаемых методов по сравнению с существующими. 28

Кроме того, показано, что хотя с технической точки зрения рассмотренные методы при достаточно широких условиях взаимозаменяемы и при определенных условиях дают одни и те же оценки, некоторые подходы позволяют обеспечивать достижение желательных интервалов значений коэффициентов регрессии, полученных из прошлых тарифных систем, а другие - нет. Следовательно, первые лучше согласуются с интерпретацией процесса прогнозирования страховых премий, т.к. включение в анализ допонительной информации о структуре факторов риска обеспечивает соответствие новой тарифной системы, которая основана на результатах проводимого регрессионного анализа, прошлым значениям поправочных коэффициентов. В результате тарифная система страховой организации становится более устойчивой, удобной для практического использования за счет обеспечения преемственности, сохраняя при этом точность прогноза будущих выплат.

В частности, показано, что наиболее гибкими являются методы, основанные на построении подпространства решений недоопределенных систем линейных уравнений. На этой основе сформулированы практические рекомендации по оцениванию страховых премий при наличии мультиколинеар-ности в страховых данных. Особенности применения различных методов проилюстрированы на примере с использованием реальной страховой статистики.

7. Новые методы прогнозирования ожидаемых нетто-премий на основе оценок Джеймса - Стейна.

Повека назад У. Джеймс и К. Стейн (Proceedings of the Forth Berkley Symposium. Vol. 1. Berkley: University of California Press, 1961. P. 361-379) нашли смещенную оценку, которая была равномерно лучшей (с точки зрения квадратичного критерия), чем обычно рекомендуемая наилучшая несмещенная оценка. На этой основе выросло направление математической статистики по разработке и использованию оценок специального вида, которые (как и традиционные актуарные оценки) можно интерпретировать как компромисс между альтернативными подходами. Статистическая литература по данному направлению содержит более разработанный (по сравнению с актуарной) аппарат, в т.ч. и для случаев с произвольными ковариационными матрицами.

Тем не менее, в рамках метода актуарных расчетов ранее не осуществлялось попыток заимствовать оценки Джеймса - Стейна для их приложения к

решению страховых задач. В частности, никогда не проводилось исследование условий, при которых они будут давать более точный прогноз страховых выплат, и, следовательно, служить более совершенной основой премий (тарифной системы).

Оценки Джеймса - Стейна можно рассматривать как альтернативные подходы к конструированию эмпирических байесовских оценок будущих выплат, рассматриваемых в качестве основы прогнозирования размера страховой премии. Следует отметить, что актуарии выбрали свой подход, скорее исходя из удобства интерпретации, чем из точности прогноза. Поэтому применение оценок Джеймса - Стейна в целом повышает качество прогнозирования страховых выплат и размера премии.

Для выявления диапазонов применимости различные подходы сравнивались между собой в рамках имитационного исследования, идея которого состояла в том, что рассматриваемые оценки дожны выявить заранее известные свойства сгенерированной совокупности данных и дать в целом лучший прогноз будущих выплат, чем традиционные актуарные подходы. В качестве критериев сравнения использовались мера близости по Питману и поведение доверительного интервала. Мера близости по Питману

Рв(б1,82) = Рг[1151-е||2<||82-е||2] упорядочивает две оценки б! и 62: если Рв(8и 62) больше одной второй, то оценка 5г лучше, чем 62, т.к. 5Х чаще оказывается ближе к истинному значению 9.

Основой сравнения (т.е. свойствами, которыми дожны были обладать данные, сгенерированные в рамках имитационного исследования) являются различные формы зависимости, выражаемые в ходе данного исследования для разных видов ковариационных матриц. В частности, рассматривались ковариационные матрицы с (/', /с)-ми элементами Соу^Ху.Х^], которые отражают линейные зависимости между страховыми выплатами по одному и тому же |'-му объекту (подпортфелю) в разные моменты времени, а также матрицы с (, 0-ми элементами А"^], описывающие зависимость между раз-

личными объектами (подпотрфелями) в фиксированные моменты времени _/. При этом также использовались такие ковариационные матрицы, которые встречаются на практике, но игнорируются традиционными актуарными подходами.

В рамках сравнительного исследования различных подходов в качестве инструментов актуарного анализа на основе имитационного моделирования рассмотрены следующие оценки:

a) традиционная актуарная оценка Sf, с которой сопоставляются все остальные;

b) положительная версия оценки Линдли на базе наилучшей эк-вивариантной оценки дисперсии;

c) положительная версия оценки Линдли на базе несмещенной эффективной оценки дисперсии;

ё) положительная версия оценки Грина - Стродермана на базе

наилучшей эквивариантной оценки дисперсии;

е) положительная версия оценки Грина - Стродермана да дазе

несмещенной эффективной оценки дисперсии;

О оценка Эфрона - Морриса бЩ1;

положительная версия оценки Берри Ь?ег+;

Ь) положительная версия оценки Джеймса - Стейна для произвольной ковариационной матрицы;

) положительная версия оценки Эфрона - Морриса 5Щ2+ для произвольной ковариационной матрицы;

^ положительная версия оценки Салеха - Сена для альтернативной структуры зависимости;

к) положительная версия оценки Хадсона для гамма-распределения;

1) оценка Морриса для гамма-распределения.

Сравнительные расчеты по указанным оценкам для данных, подчиненных распределению Гумбеля, приведены в табл. 2. Распределение Гумбеля -классический пример распределения с тяжелыми хвостами и сильной асимметрией, которое часто встречается в финансовой и страховой практике, но которое весьма далеко от предположений стандартных статистических и актуарных моделей. Кроме него в этом исследовании на основе имитационного моделирования были рассмотрены и другие типы распределений, для которых получены сходные результаты, что обеспечивает репрезентативность исследования.

Таблица 2. Значения меры близости по Питману Рв(&А, 8) для альтернативных оценок типа Джеймса-Стейна

по отношению к традиционной актуарной оценке Sf на основе случайных величин, подчиненных распределению Гумбеля

б ЕМ1 б вег+ 5/52+ 5ЕМ 2+ 6?х+ 6?+ 6?

Е = 51п,П = 1т 0,525 0,511 0,514 0,516 0,412 0,478 0,465" 0,292* 0,491 0,497 0,156

н = гоо1Д,п = 1т 0,515 0,468 0,488 0,493 0,414 0,351 0,343 0,385 0,423 0,307 0,322

Е = 51Д + 10е?;еп,П = 1т 0,092 0,089 0,090 0,091 0,080 0,084 0,631 0,752 0,093 0,117 0,711

Е = 1001п + 10еДеп = 1т 0,005 0,004 0,004 0,005 0,045 0,004 0,874 0,941 0,006 0,404 0,966

2 = 51Д + 20еДеп = 1т 0,046 0,044 0,044 0,044 0,047 0,041 0,749 0,851 0,047 0,151 0,787

Е = 1001Д + 400ееп, Я = 1т 0,001 0,001 0,001 0,001 0,544 0,001 0,670 0,842 0,004 0,532 0,994

=5[0.951'-Л]и=1 п,П = 1т 0,179 0,177 0,177 0,177 0,156 0,173 0,651 0,607 0,173 0,700 0,660

Е = 100(0;951'-/1)у=1.....Д.л = 1 0,007 0,003 0,004 0,004 0,062 0,003 0,659 0,851 0,003 0,273 0,949

Е = 5[0.051'-^]и=1 п,П = 1т 0,481 0,469 0,474 0,475 0,367 0,439 0,462 0,334 0,452 0,455 0,202

Е = 100[0.0Б'г-/1](>=1 Д,П = 1т 0,485 0,424 0,444 0,450 0,369 0,306 0,319 0,357 0,369 0,291 0,356

Е = 1п,П = 10[0.91'-Я]и=1 0,059 0,047 0,052 0,053 0,016 0,034 0,531 0,583 0,034 0,074 0,842

Е = 1п,П = 100[0.9"-/1].у=1.....т 0,711 0,679 0,690 0,691 0,676 0,636 0,555 0,455 0,618 0,633 0,676

Е = 1Д,П = 101т + 15е^ет 0,989 0,987 0,988 0,988 0,960 0,975 0,613 0,283 0,981 0,982 0,000

Н = 1Д, И = 1001т + 400е,ет 0,851 0,823 0,836 0,839 0,773 0,770 0,647 0,631 0,774 0,759 0,796

* Вероятность накрытия доверительным интервалом истинного значения меньше 95%.

Имитационное исследование показало, что во многих случаях альтернативные оценки позволяют чаще получать более точный прогноз, чем традиционная актуарная оценка, особенно при наличии сложных форм зависимости. В частности, из табл. 2 видно, что при наличии достаточно сильной зависимости (за исключением авторегрессионного типа с небольшой дисперсией) между договорами практически все альтернативные оценки лучше актуарной.

При наличии зависимости от времени почти всегда следует рекомендовать оценку Морриса. Исключение из данной рекомендации представляют только случаи слабой зависимости, где актуарные методы работают лучше, но такие случаи как раз не характерны для страховой практики. Аналогичные результаты получены и для других видов распределений. На этой основе в работе даны соответствующие рекомендации по выбору типа оценки при разной интенсивности зависимости и, если есть такая информация, о структуре ковариационной матрицы.

В целом, следует сделать вывод о том, что при выборе метода оценки страховой премии в актуарной практике необходимо проводить предварительное исследование структуры и степени зависимости либо иметь соответствующую априорную информацию. Некоторые свойства распределения, лежащего в основе данных, например, величина асимметрии, также могут существенно влиять на качество оценок. Наличие допонительной информации позволяет выбрать более точный метод прогнозирования и повысить достоверность оценки страховых премий.

8. Применение метода квантильной регрессии для оценки нетто-премий.

Квантильная регрессия (и ее частный случай - медианная регрессия) часто рассматривается как альтернатива традиционным регрессионным моделям, основанным на методе наименьших квадратов, и обобщенным линейным моделям. В частности, метод наименьших квадратов имеет ряд существенных недостатков, в том числе чувствительность к выбросам, определенным типам зависимости (например, между коэффициентами регрессии и случайными ошибками) и т.п. В свою очередь, обобщенные линейные модели, которые, как правило, предполагают использование метода максимального правдоподобия, требуют априорного знания типа распределения страховых выплат, чувствительны к зашумлению выборки, т.е. наличию неоднородности в наблюдениях, и т.д.

Вместе с тем подобные сложности часто встречаются в страховой статистике. В частности, среди таких нарушений можно, например, назвать:

1) неточность задания распределения, управляющего наблюдениями в выборке, так что предположения классических регрессионных моделей об однородности выборки или о достаточно красивом механизме проявления однородности не могут быть проверены;

2) наличие распределений с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения, что вызывает необходимость выбора методов оценивания, придающих меньшие веса крайним наблюдаемым значениям, или даже поного отказа от метода наименьших квадратов;

3) присутствие в выборке небольшой доли выбросов, то есть наблюдений, вызванных каким-либо шумом, отделить которые на основе априорной информации, как правило, невозможно. Это требует использования процедур, мало чувствительных к таким засорениям выборки;

4) зависимость элементов выборки, которая имеет сложную структуру, так что ее трудно или даже невозможно выделить и/или анализировать (например, с помощью ковариационной матрицы).

Иными словами, в ряде практических задач, требующих применения регрессионного подхода, классические регрессионные методы неработоспособны и не позволяют делать правильные выводы о характере исследуемого процесса возникновения страховых выплат и о требованиях к размеру страховой премии.

Квантильная регрессия не чувствительна к указанным недостаткам, т.е. демонстрирует неприхотливость к свойствам используемых данных. Это выражается в независимости метода от функции распределения, робастном характере оценок и отсутствии смещения. Кроме того, в ряде случаев доверительные интервалы для оценок квантильной регрессии уже по сравнению с оценками классических методов.

Поэтому применение метода квантильной регрессии в актуарной практике позволяет получать более точные прогнозы будущих выплат, а следовательно, и более адекватную оценку страховых премий. Иными словами, применение данного метода имеет ряд существенных преимуществ, связанных со свойствами страховой статистики.

Кроме того, применение квантилей распределения лучше согласуется с целями оценки нетто-премии, т.к. позволяет одновременно оценить не только 34

ожидаемую негго-премию, но и рисковую надбавку. При использовании традиционных регрессионных подходов актуарии вынуждены использовать различные методы оценки указанных компонентов страховой премии. Это требует допонительного согласования как самих методов, так и полученных на их основе оценок. Метод квантильной регрессии позволяет избежать данных сложностей, что дает допонительные возможности для прогнозирования страховых премий и повышения точности такого прогноза.

Для выявления диапазона применимости различных методов было проведено исследование на базе имитационного моделирования. Оно было основано на использовании наборов сгенерированных данных с известными свойствами. В частности, рассматривались смеси хороших и плохих объектов, помеченных соответствующим индикатором, так что регрессионная модель дожна была расщепить соответствующую смесь и предсказать значение третьего квартиля (0,75 квантили). Сравнение различных подходов проводилось по точности прогноза указанного квартиля. Эти смеси сильно отличались прежде всего использованными распределениями, хотя первые два момента распределений совпадали. Основные характеристики сгенерированных данных приведены в табл. 3.

Расчеты осуществлялись тремя регрессионными методами. В силу того, что характеристики генерируемых наборов данных известны, различия в прогнозах связаны с качеством указанных методов. Результаты расчетов представлены на рис. 3.

Результаты имитационного моделирования подтверждают тот факт, что в тех ситуациях, которые хорошо согласованы с классическими моделями линейной регрессии и обобщенными линейными моделями, метод квантильной регрессии дает сопоставимые по качеству оценки. Вне этой области применения (сильная асимметрия и тяжелые хвосты) классическая линейная регрессия на основе наименьших квадратов и обобщенные линейные модели дают заведомо неправильную оценку, в частности для данных с тяжелыми хвостами и остаточной неоднородностью, т.е. для ситуаций, часто встречающихся на практике, квантильная регрессия обеспечивает более точный прогноз.

Иными словами, метод квантильной регрессии во всех ситуациях позволяет получить более точную оценку нетго-премии по сравнению с методами, традиционно используемыми актуариями.

Таблица 3. Основные характеристики сгенерированных данных

Тип объекта Распределение, лежащее в основе наборов данных Математическое ожидание Стандартное отклонение Третий квартиль

Нормальное 300,0 150,0 401,17

хорошие Гамма с небольшой дисперсией 300,0 150,0 383,21

Гамма с большой дисперсией 300,0 375,0 409,34

Смесь распределений с тяжелым хвостом 300,0 375,0 643,51

Нормальное 450,0 150,0 551,17

Гамма с небольшой дисперсией 450,0 150,0 540,12

плохие Гамма с большой дисперсией 450,0 382,0 618,50

Смесь распределений с тяжелым хвостом 450,0 382,0 873,35

III. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

В ходе проведенного диссертационного исследования установлено следующее:

Х Определение размера страховых премий как объема принятых обязательств является важнейшей составной частью процесса принятия решений в страховой организации.

Х Ключевую роль в процессе принятия решений по размеру страховых премий играют экономико-математические актуарные модели оценивания страховых премий.

450 425 400 375 350 325

Нормальное распределение, "хорошие" _объекты_

600 ----

575 - Ч 550 525 --500 475

Нормальное распределение, "плохие" __объекты_