Оптимальные решения
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
=b/V.
Значение коэффициентов b и K определяются из опыта эксплуатации парохода.
Задача 10.
Над центром круглого стола радиусом r висит лампа. На какой высоте h следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?
Из физики известна формула E=k*sin/(h2+r2)
sin=h/(h2+r2)
Для упрощения решения задачи вместо функции
E=k*sin/(h2+r2)=k*h/(h2+r2)3/2 возьмем функцию
T=1/k2*E2=h2/(h2+r2), для упрощения формулы заменим
h2=z
тогда:
T=z/(z+r2)3 T= ((z+r2)3-z*3*(z+r2)2)/ (z+r2)6=
=(z+r2-3*r)/ ((z+r2)4
T=0 r2-2*r=0 z=r2/2 h=r/2
Ответ. Освещенность максимальная, если h=r/2
Задача 11.
Нахождение гидравлически наиболее выгодного трапециидального сечения русла.
Из всех сечений русла, представляющих собою равнобедренную трапецию, имеющих одинаковую площадь и уклон i, найти то, которое будет пропускать наибольший расход Q.
Пояснение:
1. Расход Q это количество воды, проходящее через поперечное сечение русла в единицу времени
2. Расход Q определяется по формуле: Q=*cr*j
-площадьсечения
c-коэффициент
r-гидравлический радиус
i-уклон дна русла
3. Гидравлический радиус есть отношение площади сечения к смоченному периметру : r=/
4. Смоченный периметр есть линия соприкосновения жидкости с поверхностью канала.
5. Крутизна 1/m откоса есть отношение высоты откоса к заложению (АО).
Решение. Расход Q зависит от r, и он будет наибольшим при rmax , что будет тогда, когдаmin
Крутизна откоса 1/m =h/АО, то АО=h*m
Тогда =1/2*(b+2*m*h+b)h=(b+m*h)*h
=b+2*h1+m2т.е.
=(/h-m*h)+2*h1+m2
(h)=(- /h2-m)+21+m2
(h)=-(b+m*h)/h-m+21+m2
(h)=-b/h+2((1+m2)-m) (h)=0 при b/h=2((1+m2)-m)
(h)>0 при h=b/2((1+m2)-m)
Ответ. имеет наименьшее значение при условии h=b/2((1+m2)-m)
Задача 12.
Рама из швеллера размера а в перекрыта рифленой сталью, в которой вырезан круг диаметром d с центром пересечения диагоналей прямоугольника. Для усиления жесткости перекрытия решено окантовать круг уголками, устанавливаемыми под 45 к сторонам рамы и являющимися касательными к кругу.
Найти длину касательных.
Введем систему координат как
показано на рисунке.
D2D1 касательная
Напишем уравнение касательной.
Для чего, зная ее угол наклона 45
найдем точки касания.
Для этого продифференцируем
уравнение окружности
х2 + у2 = r2
х + у у = 0
т.к. у = 1 (у = tg 45=1), то
у = -х.
r 2 r 2
Т.е. т. Е имеет координаты Е (- ;
- 2
Cоставим уравнение D2D1: т.к. D2D1 ¦ прямой у = х, то она имеет вид
r 2
у = х +2 * у = х + r 2
2
Напишем уравнения АВ и ВС
А
АВ: х = -
2
в
ВС: у =
2
Найдем координаты т. Р2 решая систему
а а
y = х + r 2 х = - , у = - + r 2
а 2 2
х = - a а
- D2 ( - ; - + r 2)
- 2
Найдем координаты т. D1
b b
y = х + r 2 x = - r 2, у =
b 2 2
y = b b
- D1 ( - r 2; )
- 2
Найдем D1D2
B a b a b a
D2D1 = ( - r 2 + )2 + ( + - r 2)2 = 2 ( + - r 2)
2 2 2 2 2 2
Ответ.Длина касательных
(a +b) 2
D2D1 = - d .
2
Задача 13.
Найти наименьшую длину стрелы крана,
необходимую для монтажа плит перекры
тия здания высотою Н, шириною а, при
условии, что кран может двигаться вдоль
фасада здания, параллельно ему.
Высота основания стрелы крана над землей
h1.
Зазор между стеной здания и стрелой крана должен быть всегда не менее m
Пояснение