Geum.ru

Определитель прямоугольных матриц. Теорема Коши - Бине

Реферат - Математика и статистика

Другие рефераты по предмету Математика и статистика

?ой в строке, столбце расположен элемент , т.е. . Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:

Пример:

Опр. Пусть , , . Произведение скаляра на матрицу называется у которой в строке, столбце расположен элемент . Другими словами: Чтобы скаляр умножить на матрицу нужно все элементы матрицы умножить на скаляр .

Определение. Противоположной к матрице называется матрица

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

 

-абелева группа

1) Сложение матриц ассоциативно и коммутативно.

2)

3)

а)

б)

4)

 

Глава II

1 Умножение матриц

 

,

 

,

Опр. Произведением матрицы на матрицу называется матрица . , где

, где

Говорят, что есть скалярное произведение -строки матрицы на -столбец матрицы .

, где

Пример:

 

2 Свойства умножения матриц

 

  1. Умножение матриц ассоциативно:

1) , если определены произведения матриц и

Доказательство:

Пусть , так как определено , то и определено , то

Определим матрицы:

 

а)

б)

(1) матрицы, тогда имеют одинаковую размерность

2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковые элементы

из равенства (1) (2), (3). Подставляя (3) в (2) получим:

, тогда (4), (5). Подставляя (5) в (4) получим:

Вывод: Матрицы имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

 

  1. Умножение матриц дистрибутивно

    :

    2. Доказательство:

так как определено , то и определено , то

размерности

размерности

Матрицы имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:

,

,

Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

 

3. , . Если определены матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.

4. , : , если определена матрица

Доказательство:

. Пусть ,

, ,

5. Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:

, тогда

 

3 Техника матричного умножения

 

поле скаляров, ,

Свойства:

  1. Произведение

    можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы на слева и как результат умножения строк матрицы на справа.

  1. Пусть

    матрица , -линейная комбинация столбцов матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы

    2. Пример

Пусть -матрица , тогда -линейная комбинация строк матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы

Пример:

  1. Столбцы матрицы

    -линейная комбинация столбцов матрицы . Строки -линейная комбинация строк матрицы .

    2.  

4 Транспонирование произведения матриц

 

поле скаляров, , , ,

Теорема

если , то . Обозначим: ,

Доказательство:

1) Пусть ,

- размерности ,- размерности , тогда и имеют одинаковую размерность

2) , -элемента расположенный в -строке, -столбце матрицы т.е

, -произведение -строки транспонированной на столбец ,

Глава III

1 Обратимые матрицы

 

поле скаляров, множество матриц порядка

Определение. Квадратная матрица порядка называется единичной матрицей ,

Пусть ,

Теорема 1

, то для выполняется

Доказательство:

Из этого следует . Матрица является единичной матрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.

 

Определение. Квадратная матрица называется обратимой если существует так, что выполняются условия

Матрица называется обратной к и обозначается , тогда если -это обратная к , то обратная к -это взаимообратные матрицы т.е.

Теорема 2

Если -обратима, то существует только одна матрица обратная к

Доказательство:

Пусть дана матрица , которая обратима и пусть существуют матрицы обратные к т.е. . Имеем

Обозначение: Множество всех обратимых матриц порядка над полем обозначается

 

 

Теорема 3

Справедливы утверждения:

1) алгебра

2) группа

Доказательство:

1) -это бинарная операция

а) Пусть , так как -обратимые матрицы, проверим, что -это бинарная операция:

обратные к

Аналогично: , обратимая матрица т.е -это бинарная операция

б) , матрица обратима, поэтому -это унарная операция

в) обратима т.е

2) Докажем второе утверждение, что группа. Для этого проверим аксиомы групп:

1)

2)

3)

группа

Следствие:

  1. Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица
  2. Если

    обратима, то обратима

    5. 2 Элементарные матрицы

    Пусть поле скаляров

Определение.Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы в результате одного из следующих элементарных преобразований:

  1. Умножение строки (столбца)

    на скаляр

  2. Прибавление к какой либо строке (столбцу)

    другой строки (столбца), умноженный на скаляр

    3. Обозначение:

    -элементарная матрица, полученная умножением на -строки (столбца) матрицы

    -строка

-элементарная матрица, полученная прибавлением к -строке (столбцу) матрицы -строки (столбца), умноженной на

-строка

Пример: Элементарные матрицы порядка 2

, , , ,

Обозначение: -элементарная матрица, полученная из единичной матрицы с помощью элементарного преобразования