Определенный интеграл
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Приложения определенного интеграла
Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая - область в множестве задания этой функции (функционала).
Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.
Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b. Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ?R при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ?i, т.е. (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] - определение интеграла по Риману.
- нижний предел.- верхний предел.(x) - подынтегральная функция.
?R - длина частичного отрезка.
?R - интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.
?R - максимальная длина част. отрезка.
Определение интеграла на языке , ?:(по "Коши") Число I - называется определённым интегралом от f(x) на [ a ; b ], если для любого ?>0 существует ?=?(?)>0: для любого разбиения R отрезка [ a ; b ]: ?R < ?, выполняется неравенство: |I- ?R | = |?n-1i=0f(?i) ?xi - I| < ? при любом ?i є [ xi ; xi+1] Тогда I = ?abf(x)dx
Интегра?л Ри?мана - одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Через интегральные суммы
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка - конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков ?R =max(?xi), называется шагом разбиения, где ?xi = xi ? xi ? 1-длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. .
В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
Свойства
Невырожденность:
Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a,b] также неотрицателен.
Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция ?f + ?g тоже интегрируема, и .
Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.)
Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом
.
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) ? F(a). (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: , где C - произвольная константа.
Примеры решения определенного интеграла
Вычислить интеграл
Решение.
Положим u = x, dv = cos x dx = d(sin x), получим du = dx, v = sin x. Применяя формулу
Вычислить интеграл .
Решение.
Положим , отсюда x = t2 - 1 и dx = 2t dt. Новые пределы интегрирования определяются из формулы ; полагая x = 0, будем иметь t = 1 и, полагая x = 3, получим t = 2. Следовательно,
Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
О: Полярной системой координат называется совокупность т. О (полюса) и выходящей из этой точки направленной полупрямой(полярной оси). Полярными координатами т.М называются числа(полярный радиус) и (полярный угол) (рис. 1, а).
Рис. 1
Если считать, чтото между точками плоскости и парами чиселустанавливается взаимно однозначное соответствие.
Пусть начало прямоугольной системы координат ХОY совпадает с полюсом, а положительная часть оси ОХ- с полярной осью. Тогда зависимость между координатами т.М в декартовой и полярной системах определяется формулами (рис. 1, б).
(1)
При нахождениинеобходимо учитывать, в какой четверти находится т. М, так как формулы (18.1) дают два значения полярного угла от 0 до
Линия в полярной системе координат определяется уравнениемНапример, r = a, a = const - уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом а (рис. 2, а);- уравнение так называем