Определенный интеграл
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
то S (x)?x < ?V < S (x + ?x)?x, откуда
Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция
следовательно,
Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем
то есть V' (x) = S (x).
Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b]. Отсюда имеем
Теорема
Объем шара равен где R - радиус шара.
Доказательство
Рис. 9
На рис. 9 изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R; 0). Уравнение окружности этого круга откуда Функция непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно, для нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар. Следовательно,
откуда
Заметим, что формула для объема шара следует из формулы для объема шарового сегмента при H = 2R.
Объем эллипсоида, задаваемого уравнением определяется формулой
Рис. 10
Вычисление площади поверхности тел вращения
Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.
Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ?S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:
Применяя теорему Лагранжа получим:
,где Следовательно
Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме распространенной на все звенья ломаной.
, или сумме
, (1)
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции
(2),
так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi,?i.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.
(3)
Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ? x ? b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).
Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0 ? t ? t1) то формула (3) имеет вид,
(3/)
Пример: Задача. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
Рис. 11
Решение. При сведении тройного интеграла к трехкратному и в расстановке пределов в каждом из трех определенных интегралов действуем по аналогии со случаем двойного интеграла. Область интегрирования V в примере считаем правильной в направлении оси OZ, т.к. любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает границу области не более чем в двух точках. Учитывая, что объем области V выражается в декартовых координатах формулой
а область V ограничена снизу плоскостью z=0, а сверху - поверхностью параболоида вращения z=4-(x2+y2) можно свести тройной интеграл к вычислению двойного интеграла от однократного:
Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменному z с нижним пределом z=0 и верхним пределом z=4-(x2+y2). Областью интегрирования D во внешнем двойном интеграле является проекция тела V на плоскость XOY, имеющая вид:
Рис. 12
Линия входа в эту область y=0, линия выхода . Проекцией области D на ось OX служит отрезок . Отсюда следует, что во внутреннем интеграле по у нижний предел 0, верхний предел , а во внутреннем интеграле по х нижний предел 0, а верхний предел . В итоге объем V вычисляется с помощью трехкратного интеграла следующим образом:
=