Обыкновенные дифференциальные уравнения

Контрольная работа - Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

 

Задание 1. Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

 

.

 

Решение:

Произведём разделение переменных:

 

(3y2 + 1)dy = 2xdx

 

Проинтегрируем левую и правую часть.

 

+ = 2.

+ y + C = 2 ,+ y + C = x2, или x = .

yy' = x.

 

Запишем уравнение в виде:

y = x и произведём замену переменных:

 

ydy = xdx, тогда 3 =

 

= + C/2 или 3y2 = x2 + C, тогда

 

y = .

 

 

Задание 2. Найти решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка

 

(2x - y)dx + (2y - x)dy = 0.

 

Разрешим уравнение относительно dy/dx:

' = = - ,

 

поделив числитель и знаменатель правой части на х, получим:

' = - ,

 

т. е. у' есть функция отношения у/х. Это означает, что данное уравнение однородное.

Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

+ u = ;

x = - u = = ,

 

= - du = - . Проинтегрируем это уравнение:

= 2 - + lnC.

 

ln = 2(u - ln(u + 1)) - ln(u + 1) = 2u - l-2ln(u + 1) - ln(u + 1) = 2u - 3 ln(u + 1),

+ ln(u + 1)3 = 2u, (u + 1)3 = 2u,

 

(u + 1)3 = e2u , и окончательно получаем решение:

( + 1)3 = exp (.

- ydx = ydy.

 

(x - y)dy = ydx y = .

 

Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y' = xdu/dx + u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

+ u = ;

x = - u = = ,

 

= - du = - . Проинтегрируем это уравнение:

= - + lnC.

= ln(2u - 1) - u - ln(2u - 1) = - u, окончательно получаем:

 

x = Ce-u = Ce-y/x.

 

Задание 3. Найти решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

- y ctg x = 2x sin x.

Положим y = uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение принимает вид:'v + uv' - uv ctg x = 2x sin x,'v + u(v' - v ctg x) = 2x sin x.

 

Решая уравнение v' - v ctg x = 0, получим его простейшее частное решение:

 

= v ctg x; = ctg x dx; ln = ln; откуда v = sin x.

 

Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение: sin x = 2x sin x, из которого находим u' = 2x, следовательно du = 2xdx u = x2 +C.

Итак, искомое решение y = (x2 + C) sin x.

' + 3y tg 3x = sin 6x, y(0) = 1/3.

 

Положим y = uv, тогда y' = u'v + uv' и данное уравнение принимает вид:'v + uv' + 3uv tg 3x = sin 6x,'v + u(v' + 3v tg 3x) = sin 6x.

 

Решая уравнение v' + 3v tg 3x = 0, получим его простейшее частное решение:

 

= 3v tg x; = 3tg 3x dx; ln = - ln; откуда v = 1/cos 3x.

 

Подставляя v в исходное уравнение получаем уравнение:

/cos 3x = sin 6x, из которого находим u

= ,

= - - + C, и окончательно получим решение

= uv = - ( + C).

 

Найдём постоянную С, согласно заданным начальным условиям у(0) = 1/3:

 

/3 = - ( + C) = - 4/18 - C, C = - 1/3 - 4/18 = - 10/18 = - 5/9.

 

Получаем решение:

 

у = - ( - 5/9) = - () =

= - .

 

Задание 4. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка

''' = cos x, y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = 1.

 

Проводим последовательное интегрирование:

 

y'' = = sin x + C1,

 

Из начального условия y(0) = 1 найдём постоянную С1:

 

1 + 0 = C1, C1 = 1, следовательно y'' = = sin x + 1,' = = - cos x + x + C2,

 

Из начального условия y(0) = 0 найдём постоянную С2:

 

= - 1 + 0 + C2, C2 = 1,

В итоге получаем y' = - cos x + x + 1.

 

y = dx = - sin x + x2/2 + x + C3.

 

Из начального условия y(0) = 1 найдём постоянную С3:

 

= - 0 + 0 + 0 + C3, C3 = 1,

 

В итоге получаем y = - sin x + x2/2 + x + 1.

 

Задание 5. Проинтегрировать следующие линейные неоднородные уравнения

'' + y' - 6y = 0

 

Запишем характеристическое уравнение. Для этого заменим функцию у и её производные соответствующими степенями ?:

 

?2 + ? - 6 = 0

 

откуда ?1 = - 3 и ?2 = 2. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

 

у = С1е-3х + С2е2х.

 

у'' - у' = 12х.

 

Составим характеристическое уравнение: ?2 - ? = 0, откуда ?1 = 0; ?2 = 1, поэтому ?1 = 0 есть простой корень ( r = 1) этого уравнения. В правой части многочлен первой степени (m = 1), поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде:

 

?(x) = x(B0x + B1).

 

Подставляя ?(х) в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдём, что

 

?'(x) = (B0x + B1) + хВ0 = 2В0х + В1.

?''(x) = 2B0.

B0 - 2В0х - В1 = 12х

В0 = 12 и 2В0 - В1 = 0

В0 = - 6 и В1 = -12,

 

в итоге получаем ?(x) = x(- 6x - 12) = - 12х - 6х2.

 

у'' + 2у' + 5y = - 2sin 2x.

 

Найдём общее решение уравнения ? соответствующего однородного уравнения:

у'' + 2у' + 5y = 0.

 

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение

 

?2 + 2? + 5 = 0,

 

получаем комплексные корни ?1 = - 1 - 2i; ?2 = - 1 + 2i, следовательно,

 

? = e-x(C1 cos x + C2 sin 2x).

 

Будем теперь искать у*. Здесь правая часть f(x) имеет вид:

(x) = a cos ?x + b sin ?x , т. е. а = 0, b = - 2, ? = 2i.

 

Числа 2i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение у* следует искать в форме

 

у* = А cos 2x + B sin 2x,

 

где А и В - неопределенные коэффициенты.

Найдём производные у*' и у*'':

 

у*' = - 2А sin 2x + 2B cos 2x;

у*'' = -4A cos 2x - 4B sin 2x.

 

подставляя теперь выражения для у*, у*', у*'' в данное уравнение и группируя члены при cos 4x и sin 4x, в результате получим

 

(-4A cos 2x - 4B sin 2x) + 2(- 2А sin 2x + 2B cos 2x) + 5(А cos 2x + B sin 2x)= -2sin 2x дифференциальный уравнение линейный интегрировани?/p>