Обзор развития, современное состояние и значение метрологии
Методическое пособие - Разное
Другие методички по предмету Разное
?мерностям, которые являются вероятностными. При этом физическую величину, результат измерения которой содержит случайную погрешность, и саму случайную погрешность рассматривают как случайную величину. При этом систематическую погрешность результата измерения DХС рассматривают как математическое ожидание этой величины, а случайную составляющую DХ - как центрированную случайную величину:
DХ = DХС + DХ
Для количественной оценки объективной возможности появления того или иного значения случайной величины служит понятие вероятности, которую выражают в долях единицы (вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события - 0).
Математическое описание непрерывных случайных величин осуществляется обычно с помощью дифференциальных законов распределения случайной величины. Эти законы определяют связь между возможными значениями случайной величины (погрешности) и соответствующими им плотностями вероятностей (непрерывной считают случайную величину, имеющую бесчисленное множество значений, получить которое можно только при бесконечном числе измерений).
В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Реальные законы распределения даже в простейших случаях отличаются от теоретических стандартных, рассматриваемых ниже. Однако практика показывает, что погрешность в 10-20 % при определении самой погрешности вполне удовлетворительна.
Рассмотрим наиболее известные стандартные законы распределения.
Нормальный закон (распределение Ф.Гаусса - А.М.Ляпунова) - один из наиболее распространенных законов распределения, описывается формулой:
(3.5)
где - плотность вероятности погрешности ;
- среднеквадратическое отклонение погрешности;
- систематическая составляющая погрешности.
0 DХС DХ
Рисунок 3.2 ? График нормального закона распределения погрешности
Рисунок 3.2 ? График нормального закона распределения погрешности измерений (а) и ее случайной составляющей (б)
При этом плотность вероятности (или плотность распределения) характеризует плотность, с которой распределяются значения погрешности в данной точке, а среднеквадратическое отклонение характеризует рассеяние результатов отдельных наблюдений относительно математического ожидания, т.е. форму кривой распределения плотности вероятности, площадь под которой всегда равна единице.
Поскольку ?Х=?Х-?ХС, то закон распределения случайной составляющей погрешности примет вид:
(3.6)
На основании закона Гаусса получены аксиомы случайных погрешностей:
А. Аксиома случайности (свойство симметрии) - при большом числе измерений случайные погрешности, численно равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто.
В. Аксиома распределения (свойство концентрации) - чем больше случайные погрешности по значению, тем меньше вероятность их появления.
Равномерный закон распределения - такому закону подчиняется погрешность дискретности в цифровых приборах, погрешность от трения в опорах электромеханических преобразователей и т.д.
(3.7)
Трапециевидный закон распределения
Рисунок 3.4
Характеризует погрешность, образуемую из двух независимых составляющих, каждая из которых имеет равномерный закон распределения, но ширина интервала этих законов различна.
Треугольный закон (Симпсона)
Рисунок 3.5
Частный случай трапециевидного, когда составляющие имеют одинаковые равномерные законы распределения.
Двухмодальный закон
Характерен для приборов с гистерезисом при перемагничивании деталей прибора, для приборов, имеющих люфт кинематических механизмов и т.д.
Если погрешность измерения образуется из пяти и более составляющих, среди которых нет существенно преобладающих, то принимают обычно нормальный закон распределения результирующей погрешности.
Из Теории вероятностей известно, что законы распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками, которые используются и для количественной оценки погрешности.
К основным числовым характеристикам законов распределения относят:
математическое ожидание погрешности измерений - это неслучайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях -
(3.8)
М[DХ] характеризует систематическую составляющую погрешности измерения: M[DХ] = DХС ;
дисперсия погрешности характеризует степень рассеивания отдельных значений погрешности относительно математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс и точнее выполнены измерения -
(3.9)
среднеквадратическое отклонение - числовая характеристика точности измерений, выражаемая в единицах погрешности
(3.10)
доверительный интервал - интервал, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой вероятностью. Границы интервала при этом называют доверительными значениями погрешности, а вероятность, характеризующую доверительный интервал - доверительной вероятностью.
Доверительный интервал выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. При нормальном законе распределения случайных погрешностей со среднеквадратическим отклонением часто пользуются доверительным интервалом от , для которого доверительная вероятность составля?/p>