Geum.ru

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

> 

 

то отсюда и вытекает это утверждение.

Итак, если , ? корень уравнения (11), то оно имеет еще корни

 

, , , ,

 

т. е. уравнение (11) имеет корни

 

, , , , , .

 

Поскольку уравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (11).

 

Ответ:

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

 

Иногда решения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.

Пример 3.4.1 Решите уравнение

 

.(14)

 

Решение. Перепишем уравнение в виде или, используя формулу разности

 

,(15)

 

в виде

 

.(16)

 

Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть . Докажем, что уравнение

 

(17)

 

решений не имеет.

Разобьем числовую ось на промежутки

 

 

Для любого x из промежутка имеем, что левая часть уравнения (17) положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.

Поскольку

 

,

 

то для любого х из промежутка этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке уравнение (17) также не имеет решений.

Поскольку

 

,

 

то для любого x из промежутка этот многочлен положителен. Следовательно, и на промежутке уравнение (17) не имеет решений.

Итак, данное уравнение (17) имеет единственное решение .

 

Ответ: {1}.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В процессе исследования цель курсовой работы достигнута, полностью решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

  1. Приведены сведения о давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.
  2. Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.
  3. Рассмотрены и опробованы дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Продолжение исследования может заключаться в изучении применения свойств синуса и косинуса, применении производной, использовании числовых неравенств, использовании графиков и других нестандартных способов решения уравнений и неравенств.

 

СПИСОК использованных источников

 

  1. Абылкасымова А. Е. Алгебра 10 класс, Мектеп, 2006 г.
  2. Алилов М. А., Колягин Ю. М. и др. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: Просвещение, 2002 г.
  3. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. Лекции и задачи по элементарной математике, М.: Изд. Наука, 1974 г.
  4. Газета Математика №20, 2008 г.
  5. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике, 1995 г.
  6. Горштейн П. И. Задачи с параметрами, М. Илекса, 1999 г.
  7. Гусев В. А., Мордович А. Г. Математика. Справочные материалы Книга для учащихся М.: Просвещение, 1990 г.
  8. Далингер В. А. Нестандартные уравнения и методы их решения, Омск, 1995 г.
  9. Жафяров А. Ж. Профильное обучение старшеклассников, 2001 г.
  10. Журнал Математика в школе, 1999-2007 г.
  11. Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Швардцбурд С. И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа, М: Просвещение, 1990 г.
  12. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. Функциональный метод решения уравнений и неравенств, 2008 г.
  13. Кравцев С. В. Методы решения задач по алгебре, М. Оникс, 2001г.
  14. Кулагин Е. Д. 300 конкурсных задач по математике, 2003 г.
  15. Кушнир А. И. Математическая энциклопедия, Киев Астарта, 1995 г.
  16. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия, 1991 г.
  17. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа, М.: Высшая школа, 1995 г.
  18. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения, 1992 г.
  19. Письменский Д. Т. Математика для старшеклассников. Издательство, Айрис. М., 1996 г.
  20. Постникова, С. Я. Уравнения с параметрами на факультативных занятиях, 2002 г.
  21. Потапов М. К. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения М. Дрофа, 2002 г.
  22. С. А. Барвенов Методы решения алгебраических уравнений, М. Аверсэв, 2006 г.
  23. Сканави М. И. Сборник задач для поступающих в ВУЗы, М. Высшая школа, 1988г.
  24. Супрун В. П. Нестандартные методы решения задач по математике Минск Полымя, 2000 г.
  25. Теляковский С. Л. Алгебра. Учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: Просвещение, 1995 г.
  26. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: Просвещение, 1987 г.
  27. Шабунин. М. И. Пособие по математике для поступающих в вузы, 2005г.
  28. Шыныбеков А. Н. Алгебра 10 класс, Атамура, 2006 г.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Задачи для самостоятельного решения:

 

  1. Докажите, что следующее уравнение не имеет решений:

 

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  6. Решите уравнение:

    8. Ответ: {0}.

  8. .

    9. Ответ: {2}.

  9. .

    10. Ответ: {-1}.

  10. .

    11. Ответ: {2}.

  11. .

    12. Ответ: {1}.

  12. .

    13. Ответ: {1; -2}.

    14. Ответ: .

  14. .

    15. Ответ:

 

  1. Решите неравенство:

 

  1. .

    2. Ответ: .

  2. .

    3. Ответ: .

  3. .

    4. Ответ: .

  4. .

    5. Ответ: .

  5. .

    6. Ответ: