Нестандартные задачи по математике
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
?ров, в которых расставлены цифры 0, 1, 2, 0, 2, 1 ( в указанном порядке ). Разрешается за один ход одновременно прибавлять одно и то же число к двум стоящим рядом числам. Можно ли за несколько таких ходов добиться того, чтобы все 6 чисел, стоящие в секторах были равны?
Решение.
Пусть на некотором шага в секторах оказались в последовательном порядке числа а1, а2, а3, а4, а5, а6. Составим такую сумму : S = а1 а2 + а3 а4 + а5 а6 .
После каждого хода она не меняется, так как каждая из разновидностей а1 а2 , а3 а4 , а5 а6 при увеличении уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число сохраняет свое значение; следовательно, она является инвариантом . Но в начальном положении S = 0 1 + 2 0 + 2 1 = 2 , а в конечном , когда каждое из шести чисел равно одному и тому же числу , S = 0. Поэтому сделать равными все шесть чисел нельзя.
Ответ : нельзя.
10.В вершинах выпуклого шестиугольника записаны числа 8, 3, 12, 1, 10, 6 (в указанном порядке). За один ход разрешается к4 любым двум числам в соседних вершинах прибавить одно и то же число. Можно ли за несколько таких ходов получить в последовательном порядке шестёрку чисел 5, 2, 14, 6, 13, 4?
11.Даны четыре числа 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается написать четыре новых числа, заменив каждое из исходных чисел средним арифметическим трех других. Докажите, что за несколько таких ходов нельзя получить набор 1, 3, 5, 8.
12.В каждой клетке доски 5 х 5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки . Докажите , что после этого останется по крайней мере одна пустая клетка .
13. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?
Решение.
Четность числа бананов не меняется, если число бананов было четным, то оставшийся плод ананас, если число бананов было нечетным, то банан.
14. На прямой стоят две фишки: слева красная, справа синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между фишками или с краю) и удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет других фишек). Можно ли с помощью таких операций оставить на прямой ровно две фишки: слева синюю, а справа красную?
Решение.
Рассмотрим число разноцветных пар (не только соседних), где левая фишка красная, и заметим, что четность этого показателя не меняется. Но в исходной ситуации наш показатель равен 1, а в желаемой ситуации - нулю. Поэтому перейти к желаемой ситуации невозможно.
15. На острове Серобуромалин живут хамелеоны: 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых. Если 2 хамелеона разных цветов встречаются, то они оба меняют свой цвет на третий. Может ли случиться, что в некоторый момент все хамелеоны на острове станут одного цвета?
Указание.
Рассмотрите остатки от деления чисел Б бурых, С серых и М малиновых хамелеонов на 3 и проверьте, что попарные разности у этих остатков не меняются.
16. Докажите, что в игре 15 нельзя поменять местами фишки 15 и 14, оставив остальные на месте.
Идея решения.
Рассмотрим пустое поле как отдельную фишку. Мы можем только менять пустую фишку с соседними. Поскольку пустая фишка должна попасть на исходное поле, число наших операций должно быть четным. Поэтому мы можем получить конфигурации, отличающиеся от начальной только четным числом перестановок.
17. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по веселому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают на соседнее дерево - один по часовой стрелке, а другой - против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?
Решение.
Пронумеруем деревья по кругу с 1-го по 44-е. Сумма номеров деревьев, на которых сидят чижи либо не меняется, либо уменьшается на 44, либо увеличивается на 44. Тем самым, остаток от деления этой суммы номеров на 44 не меняется. Изначально этот остаток равен 22, а если все чижи усядутся на одно дерево, то он будет равен нулю. Поэтому чижи не смогут собраться на одном дереве.
18. Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников?
Общая постановка задачи.
При помощи инвариантов решаются задачи следующего типа: даны множество М (элементы его мы будем называть позициями) и правило, по которому разрешается переходить от одной позиции к другой; можно ли из данной позиции а перейти за несколько шагов в другую данную позицию p? Более общая задача: как. для произвольной пары позиций а, p установить, можно ли из а за несколько шагов перейти в р?
Очевидно, описанные ситуации обладают следующим свойством: если из позиции a можно перейти в позицию р и из p можно перейти в позицию h, то из a можно перейти в h. Это свойство называется транзитивностью.
Рассмотрим конкретную задачу.
Задача 1. Круг разделен на n секторов, в которых как-то расставлены n фишек. Разрешается одновременно передвинуть любые две фишки: одну на один сектор по часовой стрелке, другую на один сектор в противоположном направлении. Можно ли из позиции M, в которой в каждом секторе стоит' по одной фишке, перейти к позиции V, в которой все фишки собраны в каком-нибудь од