Некоторые Теоремы Штурма
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
t+(1-2/t2)v=0, (3.10)
где -вещественный параметр. Вариация постоянных u=t1/2/v переводит уравнение (3.10) в уравнение:
u+(1-/t2)u=0, где =2-1/4 (3.11)
Проверим истинность этого утверждения u=t1/2v, следовательно:
v=u/t1/2=ut-1/2.
Найдём первую производную:
v=(ut-1/2) =ut-1/2+u(t-1/2)=ut-1/2-1/2ut-3/2.
Теперь вторую производную:
v=(ut1/2) -1/2(ut-3/2) =ut-1/2 +u(t-1/2) -1/2(ut-3/2+u(t-3/2) )=
=ut-1/2 1/2ut-3/2-1/2ut-3/2+3/4uut-5/2=
=ut-1/2-ut-3/2+3/4ut-5/2.
Подставляя в уравнение (3.10), получим:
v+v/t+(1-2/t2)v=0.
ut-1/2-ut-3/2+3/4ut-5/2+1/t(ut-1/2-1/2ut-3/2)+(1-2/t2)ut-1/2=0
t-1/2(u-ut-1+3/4ut-2+ut-1-1/2ut-2+u(1-2/t2))=0
u+1/4ut-2+u(1-2/t2)=0
u+u-2u/t2+1/4ut-2=0
u+u-(2u-1/4u)/t2=0
u+u-((2-1/4)u)/t2=0
u+u-u/t2=0
u+(1-/t2)u=0, где =2-1/4.
Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t1<t2<…, что tn-tn-1 при n.
Так как в уравнении
u+(1-/t2)u=0, т.е. уравнение
u+(1-(2-1/4)/t2)u=0
- постоянное число, то при 1/4 и при t достаточно большое, то выражение
1-(2-1/4)/t21, т.е. если уравнение
u+(1-(2-1/4)/t2)u=0
сравнить с уравнением u+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к , т.е. tn-tn-1 при n.
Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно,)]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.
Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство .
Использованная литература:
- Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с.
- В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 1953г.-468 с.
- Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” 640 с.
- Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. 508 с.
- История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”, М., 1972г. 496 с.