Некоторые задачи оптимизации в экономике
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
k+1,
………………………
gp(x1,x2, …,хn)=bp.
x1,x2,…,хn ?0, где хотя бы одна из функций f, gi нелинейная.
Для ЗЛП нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, к которым относятся метод множителей Лагранжа, градиентные методы, приближённые методы решения, графический метод.
Рассмотрим основные идеи графического метода.
Максимум и минимум достигается в точках касания линии уровня с областью допустимых решений (ОДР), которая задается системой ограничений. Например, если линии уровня - прямые, то точки касания можно определить, используя геометрический смысл производной.
Рассмотрим на примерах решение ЗНП.
1. Найти экстремумы функции L(x1,x2)=x1+2x2 при ограничениях
, .
Решение. ОДР это часть круга с радиусом 5, расположенная в I четверти. Найдём линии уровня функции L: x1+2x2=C. Выразим x2=. Линиями уровня будут параллельные прямые с угловым коэффициентом, равным -. Минимум функции достигается в точке (0;0), Lmin=0, т.к. градиент (1,2) направлен вверх вправо. Максимум достигается в точке касания кривой х2= и линии уровня. Т.к. угловой коэффициент касательной к графику функции равен -, найдём координаты точки касания, используя геометрический смысл производной.
=-; ()=-;
=-; x0=; x2=2.
Тогда L=+2•2=5.
Ответ: Минимум достигается в точке О(0;0), глобальный максимум, равный 5, в точке А(;2) .
2. Найти экстремумы функции L=(x1-6)2+(x2-2)2 при ограничениях
x1+x2?8
3 x1+x2 ?15
x1+x2 ?1
.
Решение. ОДР многоугольник ABCDE. Линии уровня представляют собой окружности (x1-6)2+(x2-2)2=С с центром в точке О1(6;2). Возьмём, например, С=36, видим, что максимум достигается в точке А(0;4), которая лежит на окружности наибольшего радиуса, пересекающую ОДР. L(A)=(0-6)2+(4-2)2=40. Минимум - в точке F, находящейся на пересечении прямой 3x1+x2 =15 и перпендикуляра к этой прямой, проведённого из точки О1. Т.к. угловой коэффициент равен -3, то угловой коэффициент перпендикуляра равен . Из уравнения прямой, проходящей через данную точку О1 с угловым коэффициентом , получим (x2-2)= (x1-6). Найдём координаты точки Е
х1-3х2=0
3 x1+x2 =15.
Решив систему, получаем Е(4.5; 1.5).
L (E) = (4.5-6)2+ (1.5-2)2=2.5.
Ответ: Минимум, равный 2.5 достигается в точке (4.5; 1.5), максимум, равный 40, в точке (0;4).
3. Найти экстремумы функции L=(x1-1)2+(x2-3)2
при ограничениях , .
Решение: ОДР является часть круга, с центром в начале координат, с радиусом 5, расположенная в I четверти. Линии уровня это окружности с центром в точке О1 и радиуса С, т.к. (x1-1)2+(x2-3)2=С. Точка О1 это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению С=0. глобальный максимум достигается в точке А, лежащей на пересечении ОДР с линией уровня наибольшего радиуса. При этом
L(A)=(5-1)2+(0-3)2=25.
Ответ: Минимум, равный 0, достигается в точке (1;3),
Максимум, равный 25, - в точке А(5;0).
4. Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс.руб. известно, что если на приобретение нового оборудования затратить х тыс. руб., а на зарплату вновь принятых работников у тыс. руб., то прирост объёма продукции составит Q=0.001x0.6y0.4 . Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным.
Решение: Целевая функция имеет вид 0.001x0.6y0.4 >max при ограничениях x+y?150,
.
ОДР треугольник. Линии уровня будут иметь вид 0.001x0.6y0.4 =С. Выразив отсюда у, получим у=. Т.к. максимум достигается в точке касания линии уровня с ОДР, то условие касания имеет вид =-1. Найдя производную, получаем =-1. Выразив х, получим х=. у==.
Ответ: Факторы х и у следует распределить в отношении 2:3.
5.Предприятие выпускает изделия А и Б, при изготовлении которых используется сырьё S1 и S2. Известны запасы bi (i=1,2) сырья, нормы его расхода на единицу изделия aij (j=1,2), оптовые цены pj на изделия и их плановая себестоимость с. Как только объём выпускаемой продукции перестаёт соответствовать оптимальному размеру предприятия, дальнейшее увеличение выпуска хj ведёт к повышению себестоимости продукции b, в первом приближении фактическая себестоимость сj описывается функцией сj= с+ схj, где сj некоторая постоянная. Все числовые данные приведены в таблице
b1 b2a11 a12a21a22p1p2сссс90881368111210780.20.2Найти план выпуска изделий, обеспечивающий предприятию наивысшую прибыль в условиях нарушения баланса между объёмом и оптимальным размером предприятия.
Решение: Составим математическую модель задачи.
Пусть Z прибыль, получаемая предприятием после реализации х1 выпущенных изделий А и х2 изделий Б.
Z=( 12-( 7+ 0,2 х1)) х1+( 10-( 8+ 0,2 х2)) х2 >max,
при