Модель ускоренных испытаний
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Введение
Часто бывает необходимо сравнивать несколько наборов данных. Иногда наилучший способ такого сравнения состоит в оценке функций надежности для каждого набора данных и затем уже в качественном их сравнении непосредственно или через некоторые суммарные статистики. Однако более чувствительные или более сложные сравнения моделей можно выполнить, используя расширенные модели, в которых влияние поясняющих переменных определяется значениями неизвестных параметров. В данной курсовой работе рассматривается модель ускоренных испытаний.
1.Исследование модели ускоренных испытаний
.1 Задание
Цель работы. Создать программу-функцию на MATLAB для вычисления и графического представления функции дожития и смертности для модели ускоренных испытаний.
Исходные данные. Параметры и задают исходную функцию дожития в виде модели Гомпертца. Параметры с1 и с2 задают масштабирующую функцию, учитывающую влияние двух факторов z1 и z2
Задание.
Описать теоретические основы рассчёта функции дожития, смертности и функции влияния факторов риска в рамках модели ускоренных испытаний. Привести формулы для расчёта мгновенного и кумулятивного рисков смерти в такой модели.
Написать требуемую программу-функцию на MATLAB, предусмотрев ввод параметров , , с1, с2, z1 и z2 через формальные параметры программы-функции, а также графический вывод функции дожития и смертности при различных значениях факторов риска.
Провести построения для значений параметров
Вариантabc1с2z1z230.10.12-10.70.3
1.2 Функция дожития
Опишем функцию дожития на примере новорожденного. Возраст в момент смерти T для этого новорожденного является случайной величиной непрерывного типа. Обозначим через F(t) функцию распределения этой случайной величины,
(1)
и положим
(2)
Функция S(t) называется функцией дожития. Для любого положительного t величина S(t) является вероятностью того, что новорожденный достигнет возраста t. Распределение случайной величины T может определяться либо заданием функции распределения F(t) либо функции S(t). В демографии функция дожития традиционно использовалась как исходная точка для дальнейших исследований. В теории вероятностей и в статистике такую роль играет функция распределения[2].
.3 Интенсивность смертности (функция смертности)
Формула
(3)
выражает в терминах функции распределения и в терминах функции дожития условную вероятность того, что лицо умрет в возрасте между t и z при условии, при условии, что оно доживет до возраста t. Если разность t-z постоянна и равна с, то рассматриваемая как функция от t, эта условная вероятность описывает распределение вероятности смерти в ближайшем будущем (между моментами времени 0 и c) для лица, достигшего возраста t. Аналог этой функции, рассматривающий смерть в определенный момент, можно получить, используя плотность вероятности смерти по достижении возраста t, т.е. формулу (3) с
(4)
В этом выражении является функцией плотности распределения непрерывной случайной величины "возраст в момент смерти". Функция в формуле (4) может интерпретироваться в терминах условных плотностей. Для каждого возраста t она дает значение в точке t условной функции плотности случайной величины T при условии дожития до возраста t и обозначается через (t) [2].
Получаем
(5)
Из свойств функций f(t) и S(t) следует, что .
,,[2].">В актуарной науке и в демографии (t) называется интенсивностью смертности. В теории надежности , которая занимается исследованием вероятностей безотказной работы механизмов и систем, эта величина называется интенсивностью отказов [2].
.4 Модель ускоренных испытаний
Пусть z - фактор риска и ?(z)>0
Тогда можно определить длительность наступления события через случайные величины при наличии этого фактора z
T=T0/ ? (z)
где T- есть длительность наступления события при наличии фактора z, а T0 - длительность наступления события без фактора z.
Если S0(t) - функция дожития для T0,то полагают ?(0)=1
Определим функцию дожития при наличии фактора z.Вообще функция дожития это вероятность того, что процесс продлится дольше, чем заданное время, т.е. [3]: P{T?t}=S(t)
При наличии фактора z функция дожития определяется [3]:
(6)
Зная вид функции дожития можно определить остальные функции.
Плотность вероятности[3]:
(7)
Интенсивность отказа (t) [3]:
(8)
Кумулятивный риск H(t) [3]:
(9)
Заменяя на новую переменную x приводим интеграл к виду[3]:
(10)
Средняя длительность процесса[3]:
(11)
В задачах, с конечным числом различных значений z,возможно и не потребуется дальнейшее уточнение вида функции ?(z).В других постановках может потребоваться параметрическое задание ?(z); тогда записываем ?(z;?).Так как ?(z,?)?0; ?(0;?)=1,то е