Модель ринкової рівноваги
Информация - Экономика
Другие материалы по предмету Экономика
. (8)
Суть задачі (3.13) полягає в раціональному розподілі трудових ресурсів під час виробництва номенклатури товарів.
Якщо матриця продуктивна, то задача (8) припустима й має розвязок. Справді, якщо , то існує додатне таке, що
Значення є припустимим для задачі (8). Очевидно, що множина всіх припустимих значень є обмеженою, отже, задача (8) має розвязок.
Розглянемо узагальнену модель Леонтьева (УМЛ), в якій передбачається, що кожна галузь має не один технологічний спосіб для виробництва свого продукту. Нехай у виробничій системі є типів товарів і технологічних процесів , кожен з яких випускає один товар.
Позначимо кількість ресурсу -го типу й обєму роботи, необхідних для виробництва одиниці продукції виду в галузі за допомогою технології , відповідно як
тоді узагальнену матрицю коефіцієнтів прямих витрат (узагальнену матрицю Леонтьєва) і вектор коефіцієнтів трудових витрат можна визначити як
.
Матриця коефіцієнтів випуску виходить із одиничної матриці шляхом такого розширення:
.
Виразимо вектор обсягу випуску, що описує режим роботи всіх технологічних способів узагальненої моделі Леонтьєва, як
.
Вектор кінцевого попиту
.
Кожна галузь вибирає з кількості доступних їй технологій одну певну технологію. Якщо припустити, що вибір технологій здійснюється з урахуванням задоволення кінцевого попиту , який пропонують кожній з галузей, так, щоб мінімізувати обєм витрат „живої" роботи в суспільстві в цілому, то задача технологічного вибору може бути наведена у вигляді задачі лінійного програмування
. (9)
Для сформульованої узагальненої моделі Леонтьєва існує так називана теорія заміщення: якщо в УМЛ припустити можливість виробництва додатного вектора попиту , то, як би не змінювався кінцевий попит, оптимальний базис залишатиметься незмінним. Цей базис є матрицею розміру . Оскільки будь-яка галузь має виробляти певну кількість продукції, причому це можливо за допомогою різних виробничих технологій, кожною галуззю буде обраний один технологічний процес.
В моделі (9) в явному вигляді присутній лише один з обмежених ресурсів робота. Однак більш реалістично вважати, що рівень діяльності обмежений не тільки роботою, але в залежності від вибору тривалості періоду виробництва також й основними фондами, головними складеними елементами яких є виробничі будинки й верстати, а також землею й багатьма іншими ресурсами. Обмеження ресурсів можна виразити у вигляді системи нерівностей. Якщо позначити обсяг ресурсу , необхідний для випуску в галузі , як де а обсяг ресурсу , що насправді є в наявності, як де тоді реально досяжний обсяг випуску має відповідати такій умові:
,
де ,
.
Якщо ввести умови обмеженості ресурсів в задачу (9), то можна записати її в більш загальному вигляді:
(10)
Вектор обмежень ресурсів можна вважати невідємним, тому очевидно, що задача (10) аналогічна задачі лінійного програмування. Якщо вважати задачу (10) вихідною й навести її у вигляді
(11)
то двоїста їй задача записується так:
(12)
де вектор цін на продукцію, вектор цін на ресурси.
Розвязок задачі (12), тобто оптимальна система цін , збігається з симплексним мультиплікатором, який відповідає оптимальному базису задачі (11). Через те, що константи системи обмежень ресурсів не додатні, елементи симплексного мультиплікатора для ресурсів є невідємними. Якщо матрицю діяльності, що утворює оптимальний базис, і відповідний їй вектор коефіцієнтів трудових витрат навести як
то синтез оптимальних цін можна записати так:
або інакше
. (13)
Формула (3.18) означає, що ціна продукції дорівнює сумі витрат продуктів виробництва, обмежених ресурсів і роботи. Всі витрати виражаються у вартісному вигляді. Якщо як обмежений ресурс розглядати тільки роботу, то (13) прийме такий вигляд:
. (14)
Симплексний критерій
(15)
інтерпретують як критерій прибутковості технологічного процесу . Співвідношення (15) означає, що технологія, яка не відповідає критерію прибутковості, це застаріла технологія й її вибрано не буде. Крім того, симплексний критерій для задачі (13) означає, що ресурс , який існує в кількості, що перевищує оптимально використовуваний обєм, став ресурсом свободним, а його ціна перетворюється на нуль.