Модель ринкової рівноваги
Информация - Экономика
Другие материалы по предмету Экономика
ого товару
, . (4)
Нехай розглядається лінійний процес "намацування"
із точкою рівноваги в . Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки
, (5)
де матриця Якобі
,
оцінена в точці рівноваги. Через те, що точка рівноваги, й, визначивши вектор різниці між реальними та рівноважними цінами як , (2.41) матиме вигляд
(6)
Система диференціальних рівнянь (6) стійка, тобто , тоді й тільки тоді, коли всі характеристичні корені матриці Якобі мають невідємні дійсні числа. Дана умова виконується, якщо всі товари є замінними, тобто збільшення ціни на будь-який продукт при незмінних інших цінах приводить до збільшення надлишкового попиту на будь-який інший продукт для всіх , . Отже, точка рівноваги є локально стійкою, якщо всі продукти є замінними.
2 Ітеративний процес знаходження рівноважних цін
Розглянемо ітеративний процес по Вальрасу, що імітує дію ринкового механізму з встановлення рівноважних цін на ринку.
За господарські субєкти, що беруть участь у процесі функціонування ринку, виберемо дві фірми, кожна з яких, володіє єдиним доступним їм обом фактором, виробляє по одному виду продукції кінцевого попиту, і одного споживача, що пропонує цей попит. Умовимося, що обмін здійснюється через єдиного посередника аукціонника. У цьому випадку економічний цикл виглядатиме так, як показано на рис. 1.
Рисунок 1.
Проблема оптимального розподілу ресурсів для такої економіки формулюється таким чином.
Умови попиту (D-Demand) і пропозиції (S-Supply) продукції:
.
Умови попиту та пропозиції ресурсів: .
Функція корисності, що максимізується споживачем:
.
Тут
обсяг пропозиції -го продукту -им підприємством;
обсяг попиту з боку споживача на -й продукт;
пропозиція ресурсу;
обсяг попиту на ресурс з боку -го підприємства;
виробнича функція -го підприємства;
функція корисності споживача.
Ітеративний процес знаходження рівноважних цін складається з таких пяти кроків на кожній ітерації.
1. Аукціонник указує -й фірмі ціну на її продукцію і ціну фактора , а також повідомляє споживачеві ціни й ціну попиту, що дорівнює граничній корисності , , де функція корисності споживача, задана як , де , коефіцієнти функції корисності споживача.
2. Фірма з виробничою функцією , виходячи з заданих їй цін, обирає таке сполучення витрат і результатів виробництва , , , що максимізує її прибуток
і подає це сполучення на розгляд аукціонника.
Необхідною умовою максимізації прибутку підприємства є
при .
Отже, з огляду на те, що
при одержуємо
,
де , коефіцієнти виробничої функції -ї фірми.
3. Споживач визначає попит на -й продукт у такий спосіб. Якщо на -й продукт попиту немає або гранична корисність споживача менша за граничні витрати, то споживач залишає величину попиту без змін. У протилежному випадку він коректує обсяг попиту на -й продукт за формулою
, ,
де , , додатні коефіцієнти.
4. Обчислюється надлишковий попит, який дорівнює
Якщо з точністю до дорівнює 0, тоді процес обчислення цін припиняється та вважається, що сформовано рівноважну систему цін, яка задовольняє і фірму й споживача.
5. Якщо з точністю до не дорівнює 0, то аукціонником за наступними формулами здійснюється регуляція цін
, ,
,
де й додатні коефіцієнти корекції.
3. Задача визначення рівноважного випуску продукції
Складемо алгоритм, який визначає на основі міжгалузевого аналізу величину випуску за допомогою моделі Леонтьєва при відомій матриці коефіцієнтів прямих витрат і векторів кінцевого попиту .
Для розвязання даної задачі використовуємо обчислювальну схему Гаусса-Зейделя.
Визначимо перелік змінних: кількість секторів економіки; матриця коефіцієнтів прямих витрат; кінцевий попит на -й продукт; ітераційний розвязок -го порядку; значення критерію збіжності; загальна сума абсолютних відхилень; лічильник ітерацій; загальний кінцевий попит; загальний випуск.
Під час використання методу Гаусса-Зейделя як основні рівняння виступають такі:
,
,
………………………………………
, (7)
………………………………………
,
Де ,
Якщо розбити матрицю коефіцієнтів прямих витрат по діагоналях на дві частини: ,
Де
,
,
то систему (7) можна записати у вигляді
.
Зауважимо, що кількість секторів економіки, коефіцієнти матриці коефіцієнтів прямих витрат, коефіцієнти вектора кінцевого попиту. Вважається, що
.
Ітераційний процес триває доти, доки
.
4. Оптимізаційні задачі в моделі Леонтьєва
Сформулюємо наступну екстремальну задачу. Нехай вектор трудових ресурсів дорівнює , де витрати трудових ресурсів -ї галузі. Суму назвемо обсягом витрат ресурсів, необхідних для виробництва валового продукту . Позначимо через загальний обєм трудових ресурсів, . Тоді має місце нерівність . Розвязок системи рівнянь при існує, але не при будь-якому невідємному векторі . Нехай вектор задає не кінцевий попит, а лише структуру кінцевого попиту, тобто можна вважати, що . Необхідно максимізувати кіль-кість комплектів товарів, що випускають, тобто