Моделирование фотонных кристаллов в программной среде MEEP. Знакомство со средой программирования
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
иллюэна закон дисперсии фотонов отклоняется от (1), как показано на рис. 2.1.3
Рис2.1.2 Периодическая двумерная рис2.1.3 Закон дисперсии электромагнитных волн в структура фотонном кристалле (схема расширенных зон).
Для такой волны среда квазиоднородна, причем ее эффективная диэлектрическая проницаемость соответствует нулевому волновому вектору (Q>0). Как следствие, для предельно длинных электромагнитных волн в бесконечном фотонном кристалле справедлив закон дисперсии (1) с диэлектрической проницаемостью
(2)
где f обозначает относительную долю объема, занимаемого средой ?1. В приближении почти
свободных фотонов, когда разность |?1 - ?2| мала, выражение (1) можно экстраполировать в область длин волн, где Qd~1. Тогда частота фотонов
(3)
соответствующая центру первой запрещенной энергетической зоны, получается как точка пересечения закона дисперсии с краем главной зоны Бриллюэна (рис. 4). При этом для длины волны света в кристалле получаем выражение
(4)
которое является условием брэгговского рассеяния фотонов на решетке с периодом d.
.2 Уравнения Максвелла
При расчете фотонных кристаллов используется классическая система уравнений Максвелла. Использование методов конечно-разностной аппроксимации на периодической сетке, позволяет вычислять структуры фотонных кристаллов с любыми формами дефектов.
Уравнения Максвелла:
(5)
А также:
(6)
При расчетах предполагается, что материал абсолютный диэлектрик, а значит =1.
2.3 Finite Difference Time Domain(FTDT)
Difference Time Domain - Метод конечных разностей во временной области.
Этот метод используется для решения численных задач в электродинамике при расчете уравнений Максвелла.
Идея заключается в том, что изменение электрического поля во времени зависит от изменения магнитного поля в пространстве и от значения электрического поля в соседней точке. Точно так же происходит и изменение магнитного поля в пространстве и времени. Поэтому при расчетах в каждый момент времени для каждой точки приходится хранить значения магнитных и электрических полей и обновлять их значения при каждой итерации. При расчетах значений H и E в следующий промежуток времени важно знать значения этих полей в предыдущий момент времени.
Такая постановка задачи позволяет делать расчеты в одно-, двух- и трехмерных пространствах. Для упрощения расчетов сетки полей H и E сдвигаются друг относительно друга на h/2.
Рис 2.3.1 Значение и направление полей E и H во времени
Такая схема построения расчетов называется схемой Yee. Она позволяет формировать пространственно временную сетку. В каждой ячейке сетки заданы Значения магнитных и электрических полей, значения диэлектрических и магнитной проницаемости, проводимости.
Рис 2.3.2 Пространственная сетка Yee.
Рассмотрим двумерный случай. При постановке задачи предполагается, что у нас задана фотонная кристаллическая структура с известным периодом решетки, формой и размером стержней. Также известна магнитная проницаемость среды ?1 и ?2.
Предполагается, что в системе нет свободных зарядов и нет токов. И все пространство разбито на сетку с шагом ?x, ?y и ?t по осям X, Y и времени.
Уравнение Максвелла в общем виде, расписанное для каждой из 3-х координат будет выглядеть следующим образом:
(7)
Предполагается, что двумерная структура простирается вдоль оси Y без изменений в своей структуре в бесконечность. Это значит, что все составляющие полей вдоль направления z равны нулю т.к волна считается однородной в этом направлении. В итоге получается следующая система уравнений:
(8)
Набор синих уравнений (8) имеет аббревиатуру TMz(traveling-magnetic mode - вектор E находится в плоскости перпендикулярной оси Z), а набор красных уравнений (8) имеет название TEz(traveling-electric mode - вектор E находится в плоскости параллельной оси Z). Как видно из системы уравнений, красные и синие уравнения не связаны между собой, а значит могут быть рассчитаны независимо друг от друга.
Теперь, воспользовавшись схемой Yee, мы можем получить следующие расчетные формулы:
(9)
Все параметры поля рассчитываются с помощью этих формул. Формулы вызываются рекурсивно т.е для расчета значения в точке на следующем шаге используется значение, полученное в этой точке, на предыдущем.
Начальное условие: Начальные значения для E и H известны во всех точках для момента времени t=0. Для расчета значений на полушаге используется линейная аппроксимация вида:
(10)
Приведенная выше система уравнений (8) и расчетные формулы к ним (9, 10), являются основой математической базы программных продуктов MEEP и MPB. Реализация MEEP и MPB скрывает эти расчеты от пользователя и весь порядок расчетов берет на себя. Программисту требуется только задать структуру, дефекты в ней, расположение и вид источника, временной интервал в котором будут проводиться измерения. То есть от программиста требуется только задать начальные условия, воспользовавшись программными средствами, и просмотреть конечный результат работы.
.4 PML-слой
Рис 2.4.1 Расчетная область, окруження PML-слоем.
Так как расчеты фотонных кристаллов происходят на ограниченной области, то необходимо задавать специальные условия для E и H. От правильности их задания зависит результат расчета поля на каждо