Многомерные статистические методы и их применение в экономике
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
>
Имеются функции плотности нормально распределённых классов. Задана точка х в пространстве k измерений. Предполагая, что имеет наибольшую плотность, отнесем точку x к мy классу. Существует доказательство, что если априорные вероятности для определяемых точек каждого класса одинаковы и потери при неправильной классификации i-й группы в качестве j-й не зависят от i и j, то решающая процедура минимизирует ожидаемые потери при неправильной классификации.
Приведем пример оценки параметра многомерного нормального распределения и.
и могут быть оценены по выборочным данным: и для классов. Задано выборок из некоторых классов. Математические ожидания могyт быть оценены средними значениями
(7)
Несмещенные оценки элементов ковариационной матрицы есть
(8)
Следовательно, можно определить и по выборкам в каждом классе при помощи (7), (8).
Получив оценки, точку x отнесем к классу, для которой функция максимальна.
Введем предположение, что все классы, среди которых должна проводиться дискриминация, имеют нормальное распределение с одной и той же ковариационной матрицей .
В результате существенно упрощается выражение для дискриминантной функции.
Класс, к которому должна принадлежать точка x, можно определить на основе неравенства
>. (9)
Воспользуемся формулой (6) для случая, когда их ковариационные матрицы равны:, а есть вектор математических ожиданий класса i. Тогда (9) можно представить неравенством их квадратичных форм
>
Раскроем скобки.
>
(10)
Вспомним, если имеем два вектора Z и W, то скалярное произведение можно записать . выражении (10) исключим справа и слева, поменяем у всех членов суммы знаки. Теперь преобразуем
Сократим правую и левую часть неравенства (10) на 2 и, используя запись квадратичных форм, получим
(11)
Введем обозначения в выражение (11):
Тогда выражение (11) примет вид
> (12)
Следствие: проверяемая точка x относится к классу i, для которого линейная функция
(13)
Преимущество метода линейной дискриминации Фишера заключается в линейности дискриминантной функции (13) и надежности оценок ковариационных матриц классов.
Пример
Имеются два класса с параметрами и . По выборкам из этих совокупностей объемом и получены оценки и .
Первоначально проверяется гипотеза о том, что ковариационные матрицы и . равны. В случае если оценки и. статистически неразличимы, то принимается, что и строится общая оценка , основанная на суммарной выборке объемом , после чего строится линейная дискриминантная функция Фишера.
Существуют и другие методы. Так, в математическом обеспечении пакета "Олимп" используется пошаговый дискриминантный анализ.
.2.3 Дискриминантный анализ при нормальном законе распределения показателей
Имеются две генеральные совокупности Х и У, имеющие трехмерный нормальный закон распределения с неизвестными, но равными ковариационными матрицами. Из них взяты обучающие выборки с объемами и
(14)
(15)
Целью дискриминантного анализа является отнесение нового наблюдения (строки матрицы Z) либо к X либо к У.
(16)
Для решения задачи по обучающим выборкам определим векторы средних
и
1.Определим оценки ковариационных матриц
и
Найдем элемент матрицы :
где и - средние значения.
. Рассчитаем несмещенную оценку суммарной ковариационной матрицы
. Определим матрицу , обратную к .
. Вычислим вектор оценок коэффициентов дискриминантной функции
. Рассчитаем оценки векторов значений дискриминантной функции для матриц исходных данных
. Вычислим средние значения оценок дискриминантной функции
. Определим константу
Дискриминантную функцию для v-ого наблюдения, подлежащего дискриминации, получим решив уравнение
Если , то v-е наблюдение надо отнести к совокупности х, если же <, то v-e наблюдение следует отнести к совокупности y.
Правило здесь такое: если параметры максимально удалены друг от друга и равноудалены от среднего их значения, искомые дискриминанты найдены с минимальными погрешностями, объекты разграничены и включены в соответствующие классы верно, задача решена правильно.
И напротив, в случае обнаружения больших уклонений и погрешностей наблюдаемые объекты разграничены неверно, задача должна решаться заново, с уточнением её общей постановки и возможным привлечением дополнительных эмпирических данных.
1.3 Применение СКМ Mathcad при решении задач дискриминантного анализа
Mathcad создавался как мощный микрокалькулятор, позволяющий легко справляться с рутинными задачами инженерной практики, ежедневно встречающимися в работе: решение алгебраических или дифференциальных уравнений с постоянными и переменными параметрами, анализ функций, поиск их экстремумов; численное и аналитическое дифференцирование и интегрирование; вывод таблиц и графиков при анализе найденных решений.
Главными достоинствами Mathcad и его колоссальным преимуществом перед другими расчётными средствами являются лёгкость и наглядность программирования задачи, простота использования , возможность создания средствами Mathcad высококачественных технических