Многомерная геометрия
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?араллелепипед с вершинами
;
2-параллелепипеды называются параллелограммами.
Условимся называть k-параллелепипед с вершинами А0, А1, А2, …, А12…k параллелепипедом А0 А1 А2 … А12…k.
На рисунке 22 изображён 3-параллелепипед
А0 А1 А2 А3 А12 А13 А123
и параллелограмм А0 А1 А2 А12.
а) б)
Рис. 22
2. Грани параллелепипеда
Придавая в уравнении (7. 1) значения всем параметрам при , а параметру - значения или , мы получим (k - 1)-параллелепипеды, являющиеся гранями k-параллелепипеда. Грани этих (k- 1)-параллелепипедов называются (k - 2)-гранями k-параллелепипеда, грани этих (k3)-гранями k-параллелепипеда и т. д. Таким образом, k-параллелепипед обладает р гранями, где р пробегает значения от 0 до k 1, 0-грани параллелепипеда совпадают с его вершинами, 1-грани называются рёбрами (при m= 2 - сторонами). На рисунке 22 (а) стороны параллелограмма четыре отрезка А0 А1, А0 А2, А0 А3, А0 А12, А1 А13, А2 А12, А2 А23, А3 А13, А12 А123, А13 А123, А23 А123; 2-грани - шесть параллелограммов А0 А1 А1 А12, А0 А1 А3 А13, А0 А2 А3 А23, А1 А12 А13 А123, А2 А12 А23 А123, А3 А13 А23 А123.
Число р-граней k-параллелепипеда равно , где - число сочетаний из k по р.
3. Объём прямоугольного параллелепипеда
Определим объём прямоугольного k-параллелепипеда, то есть такого k-параллелепипеда, у которого все векторы ра попарно перпендикулярны. Длина любого отрезка прямоугольного k параллелепипеда называется его измерением.
Объём прямоугольного k-параллелепипеда называется его измерением.
Объём прямоугольного k-параллелепипеда только постоянным множителем отличается от произведения его измерений, т. е. функция отличается от произведения измерений прямоугольного параллелепипеда только постоянным множителем .
В дальнейшем будем считать этот постоянный множитель равным 1, то есть будем считать, что объём Vk прямоугольного k параллелепипеда равен произведению его измерений.
(7. 4)
4. Объём произвольного параллелепипеда
Сравнивая прямоугольные k-параллелепипед и (k1)-параллелепипед с объёмами, равному данному k-параллелепипеду и одной из его граней мы получим, что объём Vk k-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 одной из его (k1)-граней на расстояние hk между этой гранью и параллельной ей (k1)-гранью.
(7. 5)
Если назвать выделенную (k1)-грань k-параллелепипеда его основанием, а расстояние hk его высотой, то формула (7. 5) показывает, что объём k-параллелепипеда равен произведению объёма его основания на высоту.
Объём Vk k-параллелепипеда, определяемого уравнением , при , определяется соотношением
,
т. е. квадрат объёма этого параллелепипеда равен определителю Грамма, составленному из k векторов ра.
Утверждение очевидно при k =1, когда параллелепипед совпадает с отрезком, определяемым вектором р1, и объём этого параллелепипеда совпадает с длиной этого отрезка , т. е. .
Рассмотрим теперь k-параллелепипед и предположим, что наше утверждение справедливо для его (k 1)-граней. Рассмотрим его (k 1)-грань, определяемую уравнением , при и . Тогда скалярный квадрат векторного произведения в k-плоскости k-параллелепипеда, равный определителю Грамма, составленному из k1 векторов (а < k), равен объёму этой (k 1)-грани. Так как объём Vk k-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 этой (k1)-грани на соответствующую высоту hk , то объём Vk равен
, (7. 7)
где - угол между вектором рk и перпендикуляром к (k1)-грани в k-плоскости k-параллелепипеда.
5. Аффинность k-параллелепипедов
Если даны два произвольных k-параллелепипеда А0 А1… Аk… А12…k и
В0 В1… Вk… В12…k, то системы точек А0, А1, … ,Аk и В0, В1, … ,Вk определяют аффинное преобразование, переводящее первые из этих точек во вторые. Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, а параллельные плоскости в параллельные плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k- параллелепипед А0 А1… Аk… А12…k в k-параллелепипед В0 В1… Вk… В12…k. Поэтому всякие два k-параллелепипеда аффинны.
Относительный объём k-параллелепипеда, определяемого уравнением и , при аффинном преобразовании относительные величины преобразуются по формуле, то есть умножается на определитель матрицы этого аффинного преобразования, если k-параллелепипед с объёмом Vk переходит при аффинном преобразовании с матрицей в k-параллелепипед с объёмом , то
(7. 8)
Отсюда вытекает, что отношения относительных объёмов k-параллелепипедов не изменяются при аффинных преобразованиях.
Выпуклые многогранники
В этом пункте будем рассматривать действительное k-мерное аффинное пространство , считая, что в нем дана аффинная система координат.
Пусть через некоторую точку имеющую координаты , проведена прямая в направлении вектора , координаты которого обозначим . Согласно изложенному ранее эту прямую можно задать параметрическими уравнениями
, . (7.9)
.
Пусть на прямой (9) выбраны какие-нибудь точки и . Соответствующие им значения параметра