Методы решения алгебраических уравнений
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?¦ +a2n(1)xn =b2(1),
a33(2)x3 +… +a3n(2)xn =b3(2),
ann(n1)xn =bn(n1).
матрица A(n-1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.
Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, получим xn1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим xn1, xn2, …, x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам
xn = bn(n1) / ann(n1),
xk = (bn(k1) ak,k+1(k1)xk+1 akn(k1)xn) / akk(k1), (k = n 1, 1).
Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk(k1). Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.
Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). Описание метода. На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k + 1, …, n преобразуются по формулам
aij(k) = aij(k1) ? qikakj , bi(k) = bi(k1) ? qikbk(k1) , i = k + 1, …, n.
Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik.
В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется, что |qik| ? 1 для всех k = 1, 2, …, n 1 и i = k + 1, …, n. Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент aikk при неизвестной xk в уравнениях с номерами i = k + 1, …, n. Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akk(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления.
Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора). В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.
На 1-м шаге метода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого.
На k-м шаге метода среди коэффициентов aij(k1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, …, n выбирают максимальный по модулю коэффициент aikjk(k-1). Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное xjk из уравнений с номерами i = k + 1, …, n.
На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: xjn, xjn1, …, xj1.
3. Метод Зейделя 3.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений
Ax = b
с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду
x = Bx + c.
Здесь B квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, …, n), c вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2, …, n).
В развернутой форме записи система имеет следующий вид:
x1 = b11x1 + b12x2 + b13x3 + … + b1nxn + c1
x2 = b21x1 + b22x2 + b23x3 + … + b2nxn + c2
xn = bn1x1 + bn2x2 + bn3x3 + … + bnnxn + cn
Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.
Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1:
x1 = a111 (b1 a12x2 a13x3 … a1nxn),
из второго уравнения неизвестное x2:
x2 = a211 (b2 a22x2 a23x3 … a2nxn),
и т. д. В результате получим систему
x1 = b12x2 +b13x3 +… +b1,n1xn1 +b1nxn+c1 ,
x2 = b21x1 +b23x3 +… +b2,n1xn1 +b2nxn+c2 ,
x3 = b31x1 +b32x2 +… +b3,n1xn1 +b3nxn+c3 ,
xn = bn1x1 +bn2x2 +bn3x3 +… +bn,n1xn1 +cn ,
в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам
bij = aij / aii, ci = bi / aii (i, j = 1, 2, …, n, j ? i)
Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.
Описание метода. Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы
000…00b12b13…b1n
B1 =b2100…0B2 =00b23…b2n
b31b320…0, 000…b3n
bn1bn2bn3…0000…0
Заметим, что B = B1 + B2 и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству
x = B1x + B2 x + c.
Выберем начальное приближение x(0) = [x1(0), x2(0), …, xn(0)]T. Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B2 и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение
x(1) = B1x(0) + B2x(1)
Подставляя приближение x(1), получим
x(2) = B1x(1) + B2x(2)
Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x(0), x(1), …, x(n), … приближений к вычисляемых по формуле
x(k+1) = B1(k+1) + B2(k) + c
или в развернутой форме записи
x1(k+1) =b12x2(k) +b13x2(k) +… +b1nxn(k) +c1 ,
x2(k+1) =b21x1(k+1) +b23x3(k) + … +b2nxn(k) +c2 ,
x3(k+1) =b31x1(k+1) +b32x2(k+1) +… +b3nxn(k) +c3 ,
xn(k+1) =bn1x1(k+1) +bn2x2(k+1) +bn3x3(k+1) +… +cn.
Объединив приведение системы к виду, удобн?/p>