Методология изучения темы «Признаки параллельности прямых
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
. Продолжая оба перпендикуляра по другую сторону от прямой MN имеем: СС1 DD1. Это одно из многочисленных решений; через точки А и В можно провести бесчисленное множество пар параллельных прямых.
Действительно, проводим на плоскости ряд произвольных прямых и к ним через точки А и В перпендикуляры. Получаем, что в каждой из точек А и В пучок прямых. При этом каждой прямой пучка с центром в точке А соответствует определенная прямая, ей параллельная, принадлежащая пучку с центром в точке В.
После этого следует решить задачу на построение. Через точку А вне данной прямой провести прямую, параллельную данной.
Запись задачи на доске: Дана прямая MN и вне ее точка А. Провести через точку А прямую, параллельную данной.
Решение. Из данной точки А проводят к прямой MN при помощи линейки и чертежного треугольника перпендикуляр АР. Затем проводят через точку А к прямой АР перпендикуляр АК также при помощи линейки и чертежного треугольника. Прямая АК параллельна MN на основании теоремы: две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.
Необходимо предложить учащимся сделать несколько построений, различно расположив прямую MN относительно края доски или листа бумаги.
Когда построение выполнено, преподаватель должен указать, что необходимо еще исследовать, нет ли помимо построенной прямой еще другой прямой, которая также проходит через точку А и параллельна данной прямой MN, и что если таковой нет, то проведенная прямая является единственной прямой, проходящей через точку А параллельно прямой MN.
Учащимся разъясняется, что доказать это положение нельзя при помощи известных нам аксиом и теорем и что вековой опыт человечества, приобретенный решением практических задач, привел еще древних геометров к заключению, что через данную точку вне прямой на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Последнее суждение есть аксиома о параллельных.
Не лишнее указать учащимся, что, начиная с древнейших времен, лучшими математиками все же делались попытки доказать аксиому о параллельных, т.е. рассматривать ее как теорему, которая, как они предполагали, может быть доказана при помощи уже принятых аксиом. Однако их попытки были и остались безуспешными. В настоящее время рассуждениями, выходящими за пределы элементарного курса геометрии, установлено, что аксиому о параллельных нельзя доказать без внесения дополнительных аксиом к числу тех, которые установлены Евклидом.
На аксиоме о параллельных и следствиях из нее следует заострить внимание учащихся.
Учащиеся должны уметь формулировать словами запись: на плоскости АВ CD и CDMN, уметь сделать к ней нужный чертеж и после соответствующего доказательства записать вывод, вытекающий из взаимного расположения прямых АВ, CD и MN. А именно, что АВMN. К чтению такого рода записей и учению по записи сделать соответствующий вывод следует приучать учащихся.
Большинство учебников обычно приводит аксиому о параллельных непосредственно перед рассмотрением обратной теоремы о параллельных, т.е. теоремы: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы, так как доказательство этой теоремы основано на аксиоме о параллельных. Для прямой теоремы: две прямые, пересеченные третьей, параллельны, если внутренние накрест лежащие углы равны нет необходимости в применении аксиомы о параллельных. Для доказательства прямой теоремы достаточно предшествующих аксиом.
Приводя все же аксиому о параллельных ранее, а именно в связи с анализом решения задачи о проведении прямой, параллельной данной прямой, полагаем, что при таком расположении материала учащимся более доступно понимание необходимости аксиомы о параллельных.
1.2. Углы при параллельных прямых
Ознакомление учащихся с углами, образуемыми двумя параллельными и секущей, целесообразно начать с повторения свойств углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми, рассмотреть получаемые противоположные и смежные углы и лишь затем перейти к рассмотрению углов, образуемых тремя попарно пересекающимися прямыми, из которых одна по отношению к двум другим, параллельным, называется секущей.
Получаемым при этом восьми углам даются названия. Нужно указать, что не следует требовать от учащихся запоминания всех наименований углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей. Достаточно, если учащиеся умеют четко разбираться в расположении соответственных и внутренних накрест лежащих углов. Доказывается, что определенная зависимость между углами какой-либо одной из следующих двенадцати пар углов 3 и 5, 4 и 6, 1 и 7, 2 и 8, 1и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 5, 1 и 8, 3 и 6, 2 и 7 влечет за собою определенную зависимость между углами каждой из остальных пар. Так, если первая пара углов равна, то равны и следующие семь пар углов, а последние четыре пары углов пополнительные и т.д.
Небесполезно обратить внимание учащихся на следующее: углы, образуемые при пересечении двух параллельных третьей прямой, секущей, в общем случае углы острые и тупые, при этом все острые углы между собой и все тупые углы между собой равны, а любая пара углов, из которых один острый, а другой тупой, углы пополнительные. Если же хотя бы один из восьми углов прямой, то все углы равны и все углы попарно пополнительные.
1.3. Признаки параллельности прямых
В ряде учебников теорема о признаках параллельности двух прямых, пересеченных третьей, доказывается способом от противного.
Это доказательство следующее: допустим, что прям?/p>