Методика преподавания курса "Матричные игры"
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
f (x,y) = min max f (x,y) = Vв.
2 этап. Рассмотрим данный метод на задаче под названием орлянка
Пример 6.1: Два игрока независимо друг от друга называют числа, если оба числа имеют одинаковую четность, то один получает рубль, если разные, то рубль получает второй.
Решение: Данная игра представлена матрицей А
Здесь игрок 1 и 2 имеет две чистые стратегии. Решаем игру с позиции первого игрока.
Пусть его стратегия х = (?, 1-?), 0 ???1.
Вычислим хА=(?, 1-?)(1 -1)= (?- (1-?), -?+1-?)=(2?-1, 1-2?). (-1 1)
Обозначим f2(?)=2?-1 и f2(?)=1-2?.
Найдем max min (f1 (?), f2 (?))= max( min(2?-1, 1-2?)).
Для нахождения максимина приведем графическую иллюстрацию (1)
Вначале для каждого ? € [0,1] найдем min(2?-1, 1-2?). На рисунке (1) такие минимумы для каждого ? € [0,1] образуют ломанную нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка достигает при ? € [0,1], которое является решением уравнения f1 = f2 , т.е. 2?-1= 1-2?. Здесь ?=1/2. Вторая координата точки P будет 2*1/2-1=0. итак P(1/2, 0). В смешанном расширении данной игры max( min(2?-1, 1-2?))=0.
Максиминная стратегия первого игрока хн = (?, 1-?)=(1/2, 1/2). По аналогичной схеме найдем минимаксную стратегию второго игрока. Его стратегию обозначим y=(?, 1-?), 0???1.
Вычислим Аy=( 2?-1, 1-2?).
Обозначим f1(?)= 2?-1, f2(?)= 1-2?
Найдем min max (f1(?), f2(?))= min (max (2?-1, 1-2?)).
Проведем геометрическую иллюстрацию на рисунке 2.
Для каждого ?€[0,1] найдем min(2?-1, 1-2?).
На рисунке (2) такие минимумы для каждого ? € [0,1] образуют ломанную верхнюю огибающую RST. Затем на огибающей находим наименьшее значение, которое будет в точке S. Координаты точки S(1/2,0).
В смешанном расширении данной игры min (max (2?-1, 1-2?))=0.
YВ=( ?, 1-?)=(1/2, 1/2) и выполняется условие, что
VH = max min аij = min max аij = Vв. Значит цена игры V* =0 и седловая точка равна (х*, у*) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)).
Ответ: (х*, у*)=((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)), V* =0.
3 этап. Учитель повторяет последовательность решения данной задачи графоаналитическим методом. Дает домашнее задание.
Домашнее задание: придумать каждому ученику 1 задачу, чтобы она решалась графоаналитическим методом.
Задача:
Графоаналитическим методом найти цену и седловую точку матричной игры, заданную матрицей выигрыша первого игрока.
> with(simplex):
> A := Matrix(4,4, [[4, 2,3,-1],[-4,0,-2,2],[-5,-1,-3,-2],[-5,-1,-3,-2]]);
>
C:={ A[1,1]*x+A[1,2]*y+A[1,3]*z+A[1,4]*t <=1,
A[2,1]*x+A[2,2]*y+A[2,3]*z+A[2,4]*t <=1,
A[3,1]*x+A[3,2]*y+A[3,3]*z+A[3,4]*t
<=1,A[4,1]*x+A[4,2]*y+A[4,3]*z+A[4,4]*t <=1};
- X:=maximize(f,C ,NONNEGATIVE );
> f_max:=subs(X,f);
>
> XX:=X*V;
>
- C1:={ A[1,1]*p1+A[2,1]*p2+A[3,1]*p3+A[4,1]*p4 >=1,
- A[1,2]*p1+A[2,2]*p2+A[3,2]*p3+A[4,2]*p4 >=1,
- A[1,3]*p1+A[2,3]*p2+A[3,3]*p3+A[4,3]*p4
- >=1,A[1,4]*p1+A[2,4]*p2+A[3,4]*p3+A[4,4]*p4 >=1};
- Y:=minimize(f1,C1 ,NONNEGATIVE);
>
>
- YY:=V*Y;
>
> VV:=XX*V*L;
Занятие №3 Решение систем неравенств графическим методом
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока: Лекция, урок решения задач.
Продолжительность: 2 часа.
Цели:1) Изучить графический метод.
2) Показать применение программы Maple при решении систем неравенств графическим методом.
3)Развить восприятие и мышление по данной теме.
План занятия: 1 этап: изучение нового материала.
2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple.
3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание.
Ход занятия.
1 этап: Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции.
В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду.
Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:
- На первом этапе надо построить область допустимых решений. Для данного примера удобнее всего выбрать X2 за абсциссу, а X1 за ординату и записать неравенства в следующем виде:
Так как и графики и область допустимых решении находятся в первой четверти. Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).
Как видно из иллюстрации многогранник ABCDE образует область допустимых решений.
Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ?, либо min(f)= -?.
- Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f.
Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что f(C)=f(4;1)=19 максимум функции.
Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много.
В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа a от -? до +? прямые f=a смещаются по вектору нормали. Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X)- минимум f на множестве ABCDE. Если X- последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X)- максимум на множестве допустимых решений. Если при а>-? прямая f=a пересекает множество допуст