Матричное планирование экспериментов, выбор и расчет циклонов
Контрольная работа - Разное
Другие контрольные работы по предмету Разное
> = 2m = 22 = 4)
При этом уравнение регрессии, описывающее эти опытные данные, записывается с использованием кодированных факторов zj (j = 0,1,2) и соответственно кодированных коэффициентов регрессии :
В кодированном факторном пространстве в соответствии с указанным планом проведения эксперимента проведённые опыты представляются точками вершин квадрата:
Для параметрической идентификации кодированного уравнения регрессии используется метод регрессионного анализа, включающий три этапа: определение кодированных коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов; оценка значимости кодированных коэффициентов регрессии с использованием t - критерия Стьюдента; проверка адекватности кодированного уравнения регрессии с использованием F - критерия Фишера.
Реализация двух последних этапов возможна при выполнении свойства однородности дисперсий (одно из требований регрессионного анализа) и проведении параллельных опытов, например, в точке с координатами z1 = 0 и z2 = 0 (центр плана, на рисунке - тёмная точка).
При проведении k параллельных опытов в центре плана среднее значение определяется как среднее арифметическое результатов измерений во всех параллельных опытах:
В этом случае используется применяемая при линейном регрессионном анализе матричная формула метода наименьших квадратов (МНК), которая с учётом кодирования факторов имеет вид:
где кодированная матрица, зависящая от независимых переменных для двух факторов включает только +1 и -1 и имеет вид:
Матрица при активном экспериментировании называется матрицей планирования и обладает тремя оптимальными свойствами:
симметричности: сумма элементов всех столбцов матрицы, кроме первого (точнее, нулевого) равна нулю
ортогональности: скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю
нормировки: скалярное произведение двух одинаковых столбцов матрицы равно n (n = 2m в ПФЭ)
Благодаря перечисленным оптимальным свойствам матрицы планирования информационная матрица в ПФЭ при m=2 равна
т.е. она является диагональной с одинаковыми элементами на главной диагонали, равными n=22=4. Соответственно, корреляционная матрица также будет диагональной и с одинаковыми элементами главной диагонали:
Результатом подстановки последних соотношений в матричную формулу для определения кодированных коэффициентов регрессии будет простая формула:
При учёте взаимодействия двух факторов z1 и z2 кодированное уравнение регрессии принимает вид:
и в матрицу планирования включается ещё один дополнительный последний столбец, каждый элемент которого равен произведению элементов столбцов, соответствующих взаимодействующим факторам:
При этом матрица планирования сохраняет все три оптимальных свойства - симметричности, ортогональности и нормировки, а кодированный коэффициент уравнения регрессии при члене, характеризующем взаимодействие факторов, определяется по формуле:
В теории ПФЭ доказывается, что при увеличении числа факторов (m >2) матрица планирования строится с использованием рассмотренной методики, в том числе и с учётом взаимодействия факторов (не только двойного, но и тройного, четверного и т.д.).
В этом случае число столбцов матрицы p зависит от числа учёта взаимодействий факторов n = 2m и матрица планирования сохраняет перечисленные оптимальные свойства.
Поэтому для определения кодированных коэффициентов регрессии используются приведённые выше формулы.
Для расчёта натуральных значений коэффициентов в кодированное уравнение регрессии вместо кодированных факторов zj (j = 1, … m) следует подставить выражения для последних через натуральные значения факторов x j (j = 1, … m) в соответствии с приведённой выше схемой кодирования.
Определение значимости кодированных коэффициентов регрессии (ПФЭ). Незначимость кодированных коэффициентов регрессии определяется с использованием квантиля t - распределения Стьюдента при помощи неравенства:
где
? - доверительная вероятность (в инженерных расчётах равная 0,95); fe - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости (при одной серии параллельных опытов равная k -1).
Выборочное значение квадратного корня дисперсии кодированного коэффициента регрессии определяется по формуле:
где
Se - квадратный корень из дисперсии воспроизводимости, определяемой по k параллельным опытам в центре плана эксперимента:
где
SSe - сумма квадратов дисперсии воспроизводимости; fe - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.
Как было показано выше, диагональные элементы корреляционной матрицы в ПФЭ при кодировании факторов одинаковы и равны 1/n, вследствие чего:
В результате условие незначимости кодированных коэффициентов регрессии принимает вид:
Так как корреляционная матрица в этом случае является диагональной, то кодированные коэффициенты регрессии статистически независимы и при одновременной незначимости нескольких кодированных коэффициентов ?/p>