Математическое моделирование полета лыжника при прыжке с трамплина
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ризонту, ось ординат - вверх через край стола отрыва, называемый кантом отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината критической точки - конца участка приземления - равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, центр масс лыжника описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как двухмерную.
Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияют следующие факторы:
кинетический момент системы прыгун-лыжи относительно оси, перпендирулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс системы, в момент отрыва и в полете;
изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете;
различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.
Результаты многих исследований кинограмм [1, 5] доказывают относительную статичность положения каждого прыгуна в полете. Это упрощает описание картины перемещений и скоростей системы прыгун-лыжи и позволяет использовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые в аэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение о неизменности позы лыжника в полете.
Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет, группировку, собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длится примерно 0.3 с, вторая -0.8-0.9 с, третья - 0.3-0.6 с. Все остальное время поза лыжника практически не меняется - см. рис.2 [1].
Рис. 2. Изменение угла атаки прыгуна во время прыжка
(по оси абсцисс отложено отношение текущей дальности к полной дальности прыжка, по оси ординат - угол атаки туловища в градусах по результатам среднего прыжка).
Таким образом, в основной фазе полет прыгуна близок к поступательному движению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения прыгуна рассмотрением движения его центра масс.
3.2 Уравнения движения
На прыгуна в полете действуют две основные силы: аэродинамическая сила и сила тяжести. Разложим аэродинамическую силу на две составляющие - подъемную силу и силу лобового сопротивления (см. рис.3) - и запишем второй закон Ньютона для центра масс системы лыжник-лыжи:
, (1)
где - сила тяжести;
- масса системы прыгун-лыжи;
- ускорение центра масс системы;
- ускорение свободного падения;
- подъемная сила;
В подобных случаях под набегающим потоком воздуха понимается скорость воздуха относительно системы лыжник-лыжи. При старых техниках прыжка (см. рис. 3), когда корпус лыжника находился на относительно большом расстоянии от лыж, необходимо было рассматривать отдельно угол атаки корпуса, ног, рук и лыж [1], но при современных техниках и особенно при так называемом V-стиле, когда прыгун раздвигает лыжи и ложится между ними, становясь как бы треугольным крылом, можно приближенно считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости и рассматривать один угол атаки - угол атаки всей системы в целом.
Вернемся к началу этой главы. Для силы лобового сопротивления (2) и подъемной силы (3) существуют и другие выражения [6,7]:
,(9)
,(10)
где - плотность воздуха, - коэффициент силы лобового сопротивления,
- коэффициент подъемной силы, - площадь миделя (площадь сечения системы прыгун-лыжи в плоскости, перпендикулярной набегающему потоку воздуха). Если считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости, то площадь миделя при заданном угле атаки определяется следующим образом:, где - площадь миделя при угле атаки 900. Угол атаки складывается из угла между горизонталью и скоростью и угла между горизонталью и лыжами (рис. 4).
Система дифференциальных уравнений (7) с аэродинамическими коэффициентами, вычисляемыми в каждый момент времени по формулам (14), (15), образует замкнутую систему уравнений. Если к ней добавить начальные условия (8), данная задача будет являться задачей Коши.
В заключение приводится сравнение реальных аэродинамических коэффициентов прыгунов 60-х и нашей оценки. Криаая А на рис. 6 изображает полученную нами зависимость между коэффициентом подъемной силы и коэффициентом лобового сопротивления, а кривая В - аналогичную зависимость, полученную из экспериментальных зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла атаки [1]. Видно, что вид зависимости коэффициентов друг от друга слабо отличается, и коэффициент подъемной силы в нашей работе выше, чем в
Рис. 6. Зависимость коэффициента подъемной силы от коэффициента сопротивления с углом атаки в качестве параметра (кривая А - наша оценка, кривая В - эксперименты в аэродинамической трубе с моделями прыгунов, использующих старую технику прыжка).
Рис. 7. Зависимость коэффициентов силы лобового сопротивления и подъемной силы от угла атаки.
экспериментах тридцатилетней давности. Это хорошо согласуется с тем фактом, что за прошедшие годы прыгуны научились развивать большую подъемную силу. Также если сравнить полученные нами графики зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки (рис. 7) с аналогичными графиками в [1] на страницах 10-11, 13-14 и 15-16, видно, что вид зависимости сохранился.
- сила лобового сопротивления.
Рис. 3. Система координат и основные силы, действующие на прыгуна в полете.
Сила лобового сопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости и пропорциональна квадрату модуля скорости: ,(2)
а подъемная сила направлена по но